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[摘 要]“等额本息”和“等额本金”是按揭买房两种不同的还款方式，似乎和小学数学教学没有多少关联。源于一道批错的习题和一个质疑的声音，围绕“等额本息”和“等额本金”开展了一堂由生活问题引发的拓展教学课，透析“等额本息”和“等额本金”中蕴涵的数学思想和原理。
[关键词]利率;等额本息;等额本金;深度学习
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）05-0030-02
一、缘起：一道批错的习题
人教版教材配套的六年级下册《数学课堂作业本》第7页是关于“利率”的练习，这是其中的第4题：“沈老师向银行贷款30万元买房，贷款期为5年，年利率为4.90%。如果每月还款的金额相同，沈老师平均每月应还款多少元？”以6225元作为正确答案进行统计，学生的正确率为83.8%。下面是两种主要的解题方法：
方法一：先算出5年一共产生利息7.35万元，加上本金总共要还37.35万元，然后把37.35万元平均分成60份（5年），即求得每月要还的钱。方法二：先求出每个月产生的利息1225元，加上每个月要还本金5000元，从而求得平均每月应还款6225元。这两种方法的解题依据都是“本金×利率×存期=利息”，那么5年总利息为30 × 4.90% × 5 = 7.35（万元），或每月利息为30 × 4.90% ×[112]= 0.1225（万元）。
无论是计算5年产生的总利息，还是[112]年（即1个月）产生的利息，都严格按照利率问题的公式“本金×利率×存期=利息”进行的。然而，当利率问题遇见按揭买房，还能一成不变地套用公式吗？
二、质疑：每月还款金额同样多？
作业发下去后的第二天，张同学拿着作业本提出了疑惑。
张同学：老师，我家刚买了新房子，我们每个月还的金额不一样，为什么这里每个月还的金额是一样的呢？
师：买房还款有两种方式，一种是像你家那样的，每个月越还越少;还有一种（方法一）就是你在作业本上解答的这种方式，即每个月还款金额同样多。
张同学：每还一次，本金不是都变少了吗，为什么一直按30万的本金计算利息？我觉得这样算有问题。
“为什么一直按30万的本金计算利息？”这个问题把笔者问住了。笔者静下心来思考张同学的两个疑惑：1.为什么每个月还款金额同样多？2.如果本金变了，为什么每个月还是按照30万的本金计算利息？
三、明晰：本金变化是利息变少的原因
（一）调查访问，理解“等额本息”和“等额本金”
“等额本息”和“等额本金”是贷款的两种还款方式，其中等额本息是指每月还款总金额不变，其中本金部分逐月递增，利息部分逐月递减;等额本金是指每月还款总金额逐月减少，其中本金部分不变，利息逐月减少。简而言之，每月还款同样多的叫等额本息;每月越还越少的叫等额本金。
可以发现，不管是哪种还款方式，利息部分都是逐月递减的，这与上面的解题过程（每月产生同样多的利息1225元）相矛盾。也就是说每月还6225元，既不属于等额本息，也不属于等额本金。其实张同学的第2个疑惑（本金变少）可以解释其中的道理。而张同学说的他们家每个月还的钱数不相同（即等额本金），笔者当时给他的解释（即等额本息）自然也不合理。
（二）月供計算器，明晰错误
网页中有一个功能叫“月供计算器”，输入题中的数据，选择“等额本息”，显示结果如下：
计算器上清晰显示月均还款 5647.64元，比“标准答案”6225元少得多。问题出在哪里呢？
四、探究：“等额本息”和“等额本金”
（一）问题引领，布置任务
提出问题：《数学课堂作业本》第7页第4题是一个与买房贷款有关的问题，大部分同学利用“利息=本金×利率×存期”这个公式先算出利息，再计算出每月应还款6225元。而张同学家刚买了新房子，他发现他们家每个月还款的钱数是逐月减少的，所以他对同学们的算法（包括他自己的算法）提出了两个疑问，一是按揭买房每月还款钱数会同样多吗？二是每还一次，本金会变少吗？张同学觉得这样算是有问题的。对此，你们有何看法？
生1：我家也买了新房子，听爸爸说，我们每个月还的金额确实是同样多的。
师：其实按揭买房的还款方式就是你们说的两种方式。今天老师布置一个任务，同学们可以回家向家长咨询，或采访银行工作人员，也可以上网查阅资料。
任务单：
1.什么叫“按揭贷款”？还款方式有哪几种？你们家选用哪种还款方式？
2.这道题中，同学们的计算方法是否正确？如果不正确，应该怎样计算？
（二）积极调查，汇报结果
学生通过调查，形成了汇报稿和PPT。下面呈现其中一个小组的汇报结果。
该小组共有4位成员，有两位同学的家里有按揭买房，其中张同学家采用等额本金的方式还款，王同学家采用等额本息的方式还款。该小组认为，不管是哪一种还款方式，平均每月应还款6225元都是错误的。
（三）深入剖析，发现奥秘
打开“月供计算器”，分别在“等额本息”和“等额本金”两种模式下输入本金30万、年利率4.90%、存期5年等信息，得到的结果如下：
等额本息（如图1）：月均还款5647.64元。5647.64≠6225。
等额本金：每个月具体还款数目如图2所示。（图略）
师：仔细观察图2中每个月的还款金额，你能发现什么？把你的发现和小组同学交流。
生1：我发现第一个月还款金额最多，是6225元，这和我们计算的结果相同。
生2：最后一个月的还款金额最少，是5020.42元。 师：原来6225元是还款金额最多的第一个月！现在你们明白原来的算法的错因了吗？
生3：没有考虑到本金在减少。
生4：我发现每个月减少的金额是有规律的，基本都减少20.42元。
（四）深度学习，有效探究
师：你们还有什么想问的问题吗？
生1：为什么算出来的6225元就是第一个月应还的金额？
生2：我想知道为什么逐月减少20.42元？20.42元是怎么计算得到？
生3：最后一个月的5020.42元是怎么得到的？
让学生自己提出问题，通过观察、计算、交流解决问题，同时明白生活知识背后蕴涵的数学道理，学生学习的积极性高涨，同时收获惊喜。
生1：我终于明白了！把30万本金平均分成60份，每月还5000元本金，这就是等额本金的本金部分;第一个月按照30万的本金来计算利息，即利息为300000×4.90%×[112]=1225（元），应还钱数：1225 5000=6225（元）。第二个月，因为已经还了5000元的本金，所以本金变成300000-5000=295000（元），利息为295000×4.90%×[112]≈1204.58（元），应还钱数：1204.58 5000=6204.58（元）。最后一个月：本金只剩下5000元，利息为5000×4.90%×[112]≈20.42（元），也意味着把所有的钱都还清了。
生2：因为本金每月减少5000元，所以20.42元就是最后一个月的利息，也是相邻两个月相差的金额。
师：这其实是一组……
生（齐）：等差数列！
师：那么“平均每月应还款多少元”怎样计算？
生（齐）：可以用“（首项 末项）÷2”来计算平均数，即（6225 5020.42）÷2≈5622.71（元）。
“等额本息”和“等额本金”，这两种还款方式并不是我们要明晰的概念，但其中蕴含的数学知识、数学原理和方法是数学课堂应追求的本质。学习数学不应只停留在书本上的知识，脱离生活的数学学习是没有生长力的。结合生活實际，站在学生的立场，倾听质疑的声音，因势而为、顺势而导，才能让深度学习在课堂上真正发生。
（责编 吴美玲）
[关键词]利率;等额本息;等额本金;深度学习
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）05-0030-02
一、缘起：一道批错的习题
人教版教材配套的六年级下册《数学课堂作业本》第7页是关于“利率”的练习，这是其中的第4题：“沈老师向银行贷款30万元买房，贷款期为5年，年利率为4.90%。如果每月还款的金额相同，沈老师平均每月应还款多少元？”以6225元作为正确答案进行统计，学生的正确率为83.8%。下面是两种主要的解题方法：
方法一：先算出5年一共产生利息7.35万元，加上本金总共要还37.35万元，然后把37.35万元平均分成60份（5年），即求得每月要还的钱。方法二：先求出每个月产生的利息1225元，加上每个月要还本金5000元，从而求得平均每月应还款6225元。这两种方法的解题依据都是“本金×利率×存期=利息”，那么5年总利息为30 × 4.90% × 5 = 7.35（万元），或每月利息为30 × 4.90% ×[112]= 0.1225（万元）。
无论是计算5年产生的总利息，还是[112]年（即1个月）产生的利息，都严格按照利率问题的公式“本金×利率×存期=利息”进行的。然而，当利率问题遇见按揭买房，还能一成不变地套用公式吗？
二、质疑：每月还款金额同样多？
作业发下去后的第二天，张同学拿着作业本提出了疑惑。
张同学：老师，我家刚买了新房子，我们每个月还的金额不一样，为什么这里每个月还的金额是一样的呢？
师：买房还款有两种方式，一种是像你家那样的，每个月越还越少;还有一种（方法一）就是你在作业本上解答的这种方式，即每个月还款金额同样多。
张同学：每还一次，本金不是都变少了吗，为什么一直按30万的本金计算利息？我觉得这样算有问题。
“为什么一直按30万的本金计算利息？”这个问题把笔者问住了。笔者静下心来思考张同学的两个疑惑：1.为什么每个月还款金额同样多？2.如果本金变了，为什么每个月还是按照30万的本金计算利息？
三、明晰：本金变化是利息变少的原因
（一）调查访问，理解“等额本息”和“等额本金”
“等额本息”和“等额本金”是贷款的两种还款方式，其中等额本息是指每月还款总金额不变，其中本金部分逐月递增，利息部分逐月递减;等额本金是指每月还款总金额逐月减少，其中本金部分不变，利息逐月减少。简而言之，每月还款同样多的叫等额本息;每月越还越少的叫等额本金。
可以发现，不管是哪种还款方式，利息部分都是逐月递减的，这与上面的解题过程（每月产生同样多的利息1225元）相矛盾。也就是说每月还6225元，既不属于等额本息，也不属于等额本金。其实张同学的第2个疑惑（本金变少）可以解释其中的道理。而张同学说的他们家每个月还的钱数不相同（即等额本金），笔者当时给他的解释（即等额本息）自然也不合理。
（二）月供計算器，明晰错误
网页中有一个功能叫“月供计算器”，输入题中的数据，选择“等额本息”，显示结果如下：
计算器上清晰显示月均还款 5647.64元，比“标准答案”6225元少得多。问题出在哪里呢？
四、探究：“等额本息”和“等额本金”
（一）问题引领，布置任务
提出问题：《数学课堂作业本》第7页第4题是一个与买房贷款有关的问题，大部分同学利用“利息=本金×利率×存期”这个公式先算出利息，再计算出每月应还款6225元。而张同学家刚买了新房子，他发现他们家每个月还款的钱数是逐月减少的，所以他对同学们的算法（包括他自己的算法）提出了两个疑问，一是按揭买房每月还款钱数会同样多吗？二是每还一次，本金会变少吗？张同学觉得这样算是有问题的。对此，你们有何看法？
生1：我家也买了新房子，听爸爸说，我们每个月还的金额确实是同样多的。
师：其实按揭买房的还款方式就是你们说的两种方式。今天老师布置一个任务，同学们可以回家向家长咨询，或采访银行工作人员，也可以上网查阅资料。
任务单：
1.什么叫“按揭贷款”？还款方式有哪几种？你们家选用哪种还款方式？
2.这道题中，同学们的计算方法是否正确？如果不正确，应该怎样计算？
（二）积极调查，汇报结果
学生通过调查，形成了汇报稿和PPT。下面呈现其中一个小组的汇报结果。
该小组共有4位成员，有两位同学的家里有按揭买房，其中张同学家采用等额本金的方式还款，王同学家采用等额本息的方式还款。该小组认为，不管是哪一种还款方式，平均每月应还款6225元都是错误的。
（三）深入剖析，发现奥秘
打开“月供计算器”，分别在“等额本息”和“等额本金”两种模式下输入本金30万、年利率4.90%、存期5年等信息，得到的结果如下：
等额本息（如图1）：月均还款5647.64元。5647.64≠6225。
等额本金：每个月具体还款数目如图2所示。（图略）
师：仔细观察图2中每个月的还款金额，你能发现什么？把你的发现和小组同学交流。
生1：我发现第一个月还款金额最多，是6225元，这和我们计算的结果相同。
生2：最后一个月的还款金额最少，是5020.42元。 师：原来6225元是还款金额最多的第一个月！现在你们明白原来的算法的错因了吗？
生3：没有考虑到本金在减少。
生4：我发现每个月减少的金额是有规律的，基本都减少20.42元。
（四）深度学习，有效探究
师：你们还有什么想问的问题吗？
生1：为什么算出来的6225元就是第一个月应还的金额？
生2：我想知道为什么逐月减少20.42元？20.42元是怎么计算得到？
生3：最后一个月的5020.42元是怎么得到的？
让学生自己提出问题，通过观察、计算、交流解决问题，同时明白生活知识背后蕴涵的数学道理，学生学习的积极性高涨，同时收获惊喜。
生1：我终于明白了！把30万本金平均分成60份，每月还5000元本金，这就是等额本金的本金部分;第一个月按照30万的本金来计算利息，即利息为300000×4.90%×[112]=1225（元），应还钱数：1225 5000=6225（元）。第二个月，因为已经还了5000元的本金，所以本金变成300000-5000=295000（元），利息为295000×4.90%×[112]≈1204.58（元），应还钱数：1204.58 5000=6204.58（元）。最后一个月：本金只剩下5000元，利息为5000×4.90%×[112]≈20.42（元），也意味着把所有的钱都还清了。
生2：因为本金每月减少5000元，所以20.42元就是最后一个月的利息，也是相邻两个月相差的金额。
师：这其实是一组……
生（齐）：等差数列！
师：那么“平均每月应还款多少元”怎样计算？
生（齐）：可以用“（首项 末项）÷2”来计算平均数，即（6225 5020.42）÷2≈5622.71（元）。
“等额本息”和“等额本金”，这两种还款方式并不是我们要明晰的概念，但其中蕴含的数学知识、数学原理和方法是数学课堂应追求的本质。学习数学不应只停留在书本上的知识，脱离生活的数学学习是没有生长力的。结合生活實际，站在学生的立场，倾听质疑的声音，因势而为、顺势而导，才能让深度学习在课堂上真正发生。
（责编 吴美玲）