论文部分内容阅读
摘要：“推理意识”就是在判断一个命题的真假时会自觉或者不自觉地使用的一种心理倾向性，它是推理能力的基础。义务教育数学课程标准修订的预审稿在已有“推理能力”的情况下新增“推理意识”，是为了凸显推理能力的心理来源，细化推理的心理倾向性的萌生过程和推理能力的培养路径。培养学生的“推理意识”，主要依托小学数学课程内容完成。教师要充分利用小学“数与代数”内容的算法（计算）与思辨（推理）“二重性”，发掘其中蕴含的培养学生“推理意识”乃至“推理能力”的因素。
关键词：推理意识;小学数学;数与代数;算法;思辨
2021年3月，义务教育数学课程标准修订的预审稿（以下简称“预审稿”），结合《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的6个数学核心素养，基于《义务教育数学课程标（2011年版）》提出的10个“核心词”，抽绎出15个数学核心素养，作为课程目标。其中，除在“数感”的基础上新增“量感”，在“符号意识”的基础上新增“抽象能力”，还将3个“核心词”演化为3对（6个）数学核心素养，即将“推理能力”演化为“推理意识”和“推理能力”，将“数据分析观念”演化为“数据意识”和“数据观念”，将“模型思想”演化为“模型意识”和“模型观念”。本文重点探讨“推理意识”及其培养。
一、“推理意识”的内涵
《现代汉语词典（第7版）》将“推理”解释为“逻辑学指思维的基本形式之一，是由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程”。这里，“已知的判断（前提）”指的是已知的定义、公理、定理等真命题，而“新判断（结论）”也应该是真命题，只不过在没有经过由“已知的判断（前提）”的推证，无法确定其真假。此外，相对而言，意识主要是指基于经验的感悟，而能力（观念）主要是指基于概念的理解——当然，意识与能力（观念）之间不存在绝对的界线，意识会不自觉地过渡到能力，而能力是建立在意识的基础上的。因此，所谓“推理意识”，就是在判断一个命题的真假时会自觉或者不自觉地使用的一种心理倾向性。
预审稿指出：“推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题。能够通过简单的归纳或者类比，猜想或者发现一些初步的结论;通过法则运用，体验数学从一般到特殊的论证过程;对自己及他人的问题解决过程给出合理解释。推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，是形成推理能力的经验基础。”
二、新增“推理意识”的意图：为初中阶段培养“推理能力”做好铺垫
既然“推理能力”是建立在“推理意识”的基础上的，而“推理意识”会不自觉地过渡到“推理能力”，那么，预审稿为什么要在已有“推理能力”的情况下新增“推理意识”？其意图在于，凸显推理能力的心理来源，细化推理的心理倾向性的萌生过程和推理能力的培养路径。作为一种工具性中介，推理意识最终服务于培养推理能力的课程目标，同时体现了“螺旋上升”的课程理念。
因此，预审稿进一步指出：培养学生的“推理意识”，主要依托小学数学课程内容（多为算术计算性知识）完成;相应地，培养学生的“推理能力”，主要依托初中数学课程内容（多为平面几何推理论证性知识）完成。由此，试图改变主要依靠初中平面几何知识来培养学生“推理能力”的“一步到位”的现状，引导一线教师开拓利用小学算术乃至代数知识来培养学生的“推理意识”，进而更好地（逐步地、充分地）培养学生的“推理能力”。
三、培养“推理意识”的方法：利用“数與代数”内容的“二重性”
如何在小学阶段培养学生的“推理意识”？首先需要选择合适的课程内容（教学资源）。
过去，一些教师习惯性地认为，小学的算术乃至代数知识偏向于计算，不适合培养学生的“推理意识”乃至“推理能力”。这种观点是不正确的。
实际上，著名数学教育家弗赖登塔尔曾经揭示“算法数学”与“思辨数学”的联系与区别，指出：很多数学问题（知识）既可以通过计算解决（得到），也可以通过推理（当然免不了一些必要的计算）解决（得到）。史宁中教授也曾强调，小学阶段的很多“数与代数”知识和问题都存在“二重性”：既可以培养学生的“运算能力”，也可以培养学生的“推理意识”和“推理能力”。
因此，教师要充分利用这些内容的“二重性”，发掘其中蕴含的培养学生“推理意识”乃至“推理能力”的因素，做好培养学生的“运算能力”与“推理意识”乃至“推理能力”的平衡，发挥这些内容的教学价值。这样，也有助于教师理解“有了直接计算的方程方法，为什么还要教费力思考的算术方法”和“有了直接计算的解析几何方法，为什么还要教费力思考的平面几何方法”——因为它们蕴含着不同的教学价值。
例如，有教师在一节五年级的数学复习课上，通过四道“数与代数”例题的思辨（算术）解法，尝试培养学生的“推理意识”乃至“推理能力”。教学过程及简要说明如下：
（教师出示例1。）
例1 两个同学的钱都以元为最小单位，且至少有1元。他们准备各买一个数字计算器。当他们知道计算器的价格时，第一个同学发现自己缺35元，第二个同学发现自己缺2元。于是，两个同学决定将两人的钱合在一起买一个计算器，可惜所带的钱依然不够。问：计算器的价格是多少？两人各带了多少钱？
师 如何解答这个问题？
（学生沉默。）
师 计算器的价格是不是可以用35+2=37（元）来计算呢？
生 显然不是。因为这是两个同学买一个计算器各自所缺的钱数，所以不是计算器的价格。
师 仔细观察题中的两个数据“35”与“2”，探讨其内涵：第一个同学缺35元，距离买一个计算器的钱数很远;而第二个同学只缺2元，距离买一个计算器的钱数就很近了。这两个条件给了我们什么启示呢？
生 我产生了一种想法：假如第一个同学带了2元，将其借给第二个同学，此时，第二个同学就可以买一个计算器了，所以，第一个同学带了不到2元。加上第一个同学至少有1元钱的条件，可以判断第一个同学只有1元钱。 师 他产生了独到的想法，其实使用了一种从已知到未知的判断，也就是推理，由此确定了第一个同学仅有1元钱。那么，在这种情况下，剩下的问题如何解决呢？
生 由于第一个同学缺35元，现在只有1元，因此，每个计算器的价格为35+1=36（元）。而第二个同学缺2元，可知其现有的钱数为36-2=34（元）。
师答：每只计算器的价格为36元，第一个同学有1元，第二个同学有34元。
显然，解这道题的思维活动与其说是计算，不如说是推理（其实，具体数字推理占据了很重要的成分），计算很简单（35+1=36，36-2=34），都是推理的直接结果。当然，初中生可以通过设未知数（计算器的价格），列不等式，结合取值范围和取整要求得到最终结果，但是对小学生而言，这种解法不太现实，也不能培养“推理意识”。
（教师出示例2。）
例2 一桶水，丈夫独饮可饮14天，夫妻同饮可饮10天，若妻子独饮，则可饮多少天？
师 如何解答这个问题？
（学生思考。）
师 注意“丈夫独饮可饮14天，夫妻同饮可饮10天”这个条件具有怎样的内涵？
生 我发现这句话中隐含着“丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水”。
师 有价值的发现。在他发现的内涵下，如何解决这个问题呢？
生 这道题可以改写为一道等价的题目：丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水，那么丈夫14天所喝的水等于妻子多少天所喝的水？或者更简单一点：丈夫2天所喝的水等于妻子5天所喝的水，那么丈夫14天所喝的水等于妻子多少天所喝的水？在这种情况下，问题的解决便十分容易了：丈夫14天所喝的水等于妻子7×5=35（天）所喝的水。
师答：妻子独饮这桶水，可饮35天。
显然，这道题的成功解决主要也是推理的结果：从已知条件出发，推理得到“丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水”，进一步推理得到“丈夫2天所喝的水等于妻子5天所喝的水”。由此，这道题的计算便十分简单了。当然，初中生也可以通过设未知数（妻子独饮的天数），列分式方程解决……
（教师出示例3。）
例3 轮船顺水航行速度为20千米/小时，逆水航行速度为15千米/小时，从A地驶往B地比从B地驶往A地少用5小时，则A地与B地之间的距离是多少？
师 如何解答这个问题？
（学生沉默。）
师 轮船航行速度20千米/小时与15千米/小时中的时间是以“小时”为单位的，这个单位比较大，可能不利于探究问题解决的思路，可以将它转化为小一些的时间单位吗？
生 我是这样想的：可以将速度单位中的“小时”转化为“分钟”。在这种情况下，轮船的速度其实就是，顺水航行1千米需要3分钟，逆水航行1千米需要4分钟。
师 轮船顺水航行1千米需要3分钟，逆水航行1千米需要4分钟，说明了什么问题？
生 这句话的内涵是，轮船逆水航行1千米比顺水航行1千米需要多花1分钟。而题目中，轮船在A地与B地之间逆水航行比顺水航行多花了5小时，即300分钟。因此，A地与B地之间的距离为300千米。
师答：A地与B地之间的距离为300千米。
显然，这道题的成功解决也是建立在推理基础上的：从已知条件出发，推理得到“轮船逆水航行1千米比顺水航行1千米需要多花1分钟”。由此，这道题的计算便十分简单了。当然，初中生也可以通过设未知数（两地之间的距离），列一次方程解决——这里，特别值得一提的是，预审稿将原来安排在小学高年级的简易方程（一元一次方程）知识安排到了初中阶段，可能也有在小学阶段充分培养学生“推理意识”的考虑吧。
（教师出示例4。）
例4 说明形如213213、356356、875875的数都可以被13整除。
师 如何解答这个问题？
生 我将这三个数作为被除数，13作为除数，进行除法运算，发现这三个数都可以被13整除。
师 但是，这三个数不能代表所有这种形式的数。因此，我们首先必须解决怎样的问题？
生 我想，首先应该找到形如213213、356356、875875这样的数的一般表达式。
师 非常好！那么，这些数的一般表达式究竟是什么呢？
（学生沉默。）
师 我们假设一个十位数，其个位上的数字为2，十位上的数字为5，那么这个十位数可以写成25。这个25本质上是如何得来的呢？
生 应该是十位上的数字2乘10与个位上的数字的和，即2×10+5。
师 那么，应该如何表达形如213213、356356、875875这样的数的一般形式呢？
生 我想，如果使用字母a表示形如213213、356356、875875的数的两个循环节中的一个，即使用字母a表示213、356、875，那么213213=213×1000+213，356356=356×1000+356，875875=875×1000+875，于是这种由两个循环节组成的六位数的一般表达式为1000a+a。……
师 他提供了很好的想法。下面只要说明表达式1000a+a能够被13整除，问题就解决了。如何说明表达式1000a+a能够被13整除呢？
生 這是容易办到的。对于表达式1000a+a，逆用乘法对加法的分配律，可知1000a+a=（1000+1）a=1001a。因为1001÷13=77，所以1001a可以被13整除。
这是一道真正需要使用演绎推理论证的数学题。探究这道题的困难之处（也是关键之处）在于从213213、356356、875875这三个具体的数中得出一般形式的表达式，这就需要对这种形式的数进行抽象表达，从而完成从“几个具体数据”的命题成立过渡到“一切这种形式的数据”的命题都成立的过程。很明显，解答这道题不仅需要“推理意识”，而且需要“推理能力”。
四、结束语
1963年，《全日制小学算术教学大纲（草案）》指出：“小学算术的教学目的是，使学生牢固地掌握算术与珠算的基础知识，培养学生正确、迅速地进行四则计算的能力，正确地解答应用题的能力，以及具有初步的逻辑推理的能力和空间观念。”要培养学生正确、迅速地进行计算的能力，就必须站在算理的高度审视问题的内涵，由算理过渡到算法，最后进行具体的数据处理。这里的算理主要指的应该就是推理。推理与计算如影随形、亦步亦趋，解决复杂一些的数学计算问题时，离开推理，计算便寸步难行。因此，小学高年级的计算内容通常都能作为推理的素材，这正是“数与代数”内容“二重性”的突出体现。
参考文献：
[1] 程嵘，练冬兰，廖运章.高中生解决数学应用题策略及表征偏向的调查研究[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（7）.
[2] 克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学[M].李伯黍，洪宝林，艾国英，等译.上海：上海教育出版社，1983.
[3] 课程教材研究所.20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编：数学卷[M]. 北京：人民教育出版社，2001.
关键词：推理意识;小学数学;数与代数;算法;思辨
2021年3月，义务教育数学课程标准修订的预审稿（以下简称“预审稿”），结合《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出的6个数学核心素养，基于《义务教育数学课程标（2011年版）》提出的10个“核心词”，抽绎出15个数学核心素养，作为课程目标。其中，除在“数感”的基础上新增“量感”，在“符号意识”的基础上新增“抽象能力”，还将3个“核心词”演化为3对（6个）数学核心素养，即将“推理能力”演化为“推理意识”和“推理能力”，将“数据分析观念”演化为“数据意识”和“数据观念”，将“模型思想”演化为“模型意识”和“模型观念”。本文重点探讨“推理意识”及其培养。
一、“推理意识”的内涵
《现代汉语词典（第7版）》将“推理”解释为“逻辑学指思维的基本形式之一，是由一个或几个已知的判断（前提）推出新判断（结论）的过程”。这里，“已知的判断（前提）”指的是已知的定义、公理、定理等真命题，而“新判断（结论）”也应该是真命题，只不过在没有经过由“已知的判断（前提）”的推证，无法确定其真假。此外，相对而言，意识主要是指基于经验的感悟，而能力（观念）主要是指基于概念的理解——当然，意识与能力（观念）之间不存在绝对的界线，意识会不自觉地过渡到能力，而能力是建立在意识的基础上的。因此，所谓“推理意识”，就是在判断一个命题的真假时会自觉或者不自觉地使用的一种心理倾向性。
预审稿指出：“推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。知道可以从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题。能够通过简单的归纳或者类比，猜想或者发现一些初步的结论;通过法则运用，体验数学从一般到特殊的论证过程;对自己及他人的问题解决过程给出合理解释。推理意识有助于养成讲道理、有条理的思维习惯，增强交流能力，是形成推理能力的经验基础。”
二、新增“推理意识”的意图：为初中阶段培养“推理能力”做好铺垫
既然“推理能力”是建立在“推理意识”的基础上的，而“推理意识”会不自觉地过渡到“推理能力”，那么，预审稿为什么要在已有“推理能力”的情况下新增“推理意识”？其意图在于，凸显推理能力的心理来源，细化推理的心理倾向性的萌生过程和推理能力的培养路径。作为一种工具性中介，推理意识最终服务于培养推理能力的课程目标，同时体现了“螺旋上升”的课程理念。
因此，预审稿进一步指出：培养学生的“推理意识”，主要依托小学数学课程内容（多为算术计算性知识）完成;相应地，培养学生的“推理能力”，主要依托初中数学课程内容（多为平面几何推理论证性知识）完成。由此，试图改变主要依靠初中平面几何知识来培养学生“推理能力”的“一步到位”的现状，引导一线教师开拓利用小学算术乃至代数知识来培养学生的“推理意识”，进而更好地（逐步地、充分地）培养学生的“推理能力”。
三、培养“推理意识”的方法：利用“数與代数”内容的“二重性”
如何在小学阶段培养学生的“推理意识”？首先需要选择合适的课程内容（教学资源）。
过去，一些教师习惯性地认为，小学的算术乃至代数知识偏向于计算，不适合培养学生的“推理意识”乃至“推理能力”。这种观点是不正确的。
实际上，著名数学教育家弗赖登塔尔曾经揭示“算法数学”与“思辨数学”的联系与区别，指出：很多数学问题（知识）既可以通过计算解决（得到），也可以通过推理（当然免不了一些必要的计算）解决（得到）。史宁中教授也曾强调，小学阶段的很多“数与代数”知识和问题都存在“二重性”：既可以培养学生的“运算能力”，也可以培养学生的“推理意识”和“推理能力”。
因此，教师要充分利用这些内容的“二重性”，发掘其中蕴含的培养学生“推理意识”乃至“推理能力”的因素，做好培养学生的“运算能力”与“推理意识”乃至“推理能力”的平衡，发挥这些内容的教学价值。这样，也有助于教师理解“有了直接计算的方程方法，为什么还要教费力思考的算术方法”和“有了直接计算的解析几何方法，为什么还要教费力思考的平面几何方法”——因为它们蕴含着不同的教学价值。
例如，有教师在一节五年级的数学复习课上，通过四道“数与代数”例题的思辨（算术）解法，尝试培养学生的“推理意识”乃至“推理能力”。教学过程及简要说明如下：
（教师出示例1。）
例1 两个同学的钱都以元为最小单位，且至少有1元。他们准备各买一个数字计算器。当他们知道计算器的价格时，第一个同学发现自己缺35元，第二个同学发现自己缺2元。于是，两个同学决定将两人的钱合在一起买一个计算器，可惜所带的钱依然不够。问：计算器的价格是多少？两人各带了多少钱？
师 如何解答这个问题？
（学生沉默。）
师 计算器的价格是不是可以用35+2=37（元）来计算呢？
生 显然不是。因为这是两个同学买一个计算器各自所缺的钱数，所以不是计算器的价格。
师 仔细观察题中的两个数据“35”与“2”，探讨其内涵：第一个同学缺35元，距离买一个计算器的钱数很远;而第二个同学只缺2元，距离买一个计算器的钱数就很近了。这两个条件给了我们什么启示呢？
生 我产生了一种想法：假如第一个同学带了2元，将其借给第二个同学，此时，第二个同学就可以买一个计算器了，所以，第一个同学带了不到2元。加上第一个同学至少有1元钱的条件，可以判断第一个同学只有1元钱。 师 他产生了独到的想法，其实使用了一种从已知到未知的判断，也就是推理，由此确定了第一个同学仅有1元钱。那么，在这种情况下，剩下的问题如何解决呢？
生 由于第一个同学缺35元，现在只有1元，因此，每个计算器的价格为35+1=36（元）。而第二个同学缺2元，可知其现有的钱数为36-2=34（元）。
师答：每只计算器的价格为36元，第一个同学有1元，第二个同学有34元。
显然，解这道题的思维活动与其说是计算，不如说是推理（其实，具体数字推理占据了很重要的成分），计算很简单（35+1=36，36-2=34），都是推理的直接结果。当然，初中生可以通过设未知数（计算器的价格），列不等式，结合取值范围和取整要求得到最终结果，但是对小学生而言，这种解法不太现实，也不能培养“推理意识”。
（教师出示例2。）
例2 一桶水，丈夫独饮可饮14天，夫妻同饮可饮10天，若妻子独饮，则可饮多少天？
师 如何解答这个问题？
（学生思考。）
师 注意“丈夫独饮可饮14天，夫妻同饮可饮10天”这个条件具有怎样的内涵？
生 我发现这句话中隐含着“丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水”。
师 有价值的发现。在他发现的内涵下，如何解决这个问题呢？
生 这道题可以改写为一道等价的题目：丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水，那么丈夫14天所喝的水等于妻子多少天所喝的水？或者更简单一点：丈夫2天所喝的水等于妻子5天所喝的水，那么丈夫14天所喝的水等于妻子多少天所喝的水？在这种情况下，问题的解决便十分容易了：丈夫14天所喝的水等于妻子7×5=35（天）所喝的水。
师答：妻子独饮这桶水，可饮35天。
显然，这道题的成功解决主要也是推理的结果：从已知条件出发，推理得到“丈夫4天所喝的水等于妻子10天所喝的水”，进一步推理得到“丈夫2天所喝的水等于妻子5天所喝的水”。由此，这道题的计算便十分简单了。当然，初中生也可以通过设未知数（妻子独饮的天数），列分式方程解决……
（教师出示例3。）
例3 轮船顺水航行速度为20千米/小时，逆水航行速度为15千米/小时，从A地驶往B地比从B地驶往A地少用5小时，则A地与B地之间的距离是多少？
师 如何解答这个问题？
（学生沉默。）
师 轮船航行速度20千米/小时与15千米/小时中的时间是以“小时”为单位的，这个单位比较大，可能不利于探究问题解决的思路，可以将它转化为小一些的时间单位吗？
生 我是这样想的：可以将速度单位中的“小时”转化为“分钟”。在这种情况下，轮船的速度其实就是，顺水航行1千米需要3分钟，逆水航行1千米需要4分钟。
师 轮船顺水航行1千米需要3分钟，逆水航行1千米需要4分钟，说明了什么问题？
生 这句话的内涵是，轮船逆水航行1千米比顺水航行1千米需要多花1分钟。而题目中，轮船在A地与B地之间逆水航行比顺水航行多花了5小时，即300分钟。因此，A地与B地之间的距离为300千米。
师答：A地与B地之间的距离为300千米。
显然，这道题的成功解决也是建立在推理基础上的：从已知条件出发，推理得到“轮船逆水航行1千米比顺水航行1千米需要多花1分钟”。由此，这道题的计算便十分简单了。当然，初中生也可以通过设未知数（两地之间的距离），列一次方程解决——这里，特别值得一提的是，预审稿将原来安排在小学高年级的简易方程（一元一次方程）知识安排到了初中阶段，可能也有在小学阶段充分培养学生“推理意识”的考虑吧。
（教师出示例4。）
例4 说明形如213213、356356、875875的数都可以被13整除。
师 如何解答这个问题？
生 我将这三个数作为被除数，13作为除数，进行除法运算，发现这三个数都可以被13整除。
师 但是，这三个数不能代表所有这种形式的数。因此，我们首先必须解决怎样的问题？
生 我想，首先应该找到形如213213、356356、875875这样的数的一般表达式。
师 非常好！那么，这些数的一般表达式究竟是什么呢？
（学生沉默。）
师 我们假设一个十位数，其个位上的数字为2，十位上的数字为5，那么这个十位数可以写成25。这个25本质上是如何得来的呢？
生 应该是十位上的数字2乘10与个位上的数字的和，即2×10+5。
师 那么，应该如何表达形如213213、356356、875875这样的数的一般形式呢？
生 我想，如果使用字母a表示形如213213、356356、875875的数的两个循环节中的一个，即使用字母a表示213、356、875，那么213213=213×1000+213，356356=356×1000+356，875875=875×1000+875，于是这种由两个循环节组成的六位数的一般表达式为1000a+a。……
师 他提供了很好的想法。下面只要说明表达式1000a+a能够被13整除，问题就解决了。如何说明表达式1000a+a能够被13整除呢？
生 這是容易办到的。对于表达式1000a+a，逆用乘法对加法的分配律，可知1000a+a=（1000+1）a=1001a。因为1001÷13=77，所以1001a可以被13整除。
这是一道真正需要使用演绎推理论证的数学题。探究这道题的困难之处（也是关键之处）在于从213213、356356、875875这三个具体的数中得出一般形式的表达式，这就需要对这种形式的数进行抽象表达，从而完成从“几个具体数据”的命题成立过渡到“一切这种形式的数据”的命题都成立的过程。很明显，解答这道题不仅需要“推理意识”，而且需要“推理能力”。
四、结束语
1963年，《全日制小学算术教学大纲（草案）》指出：“小学算术的教学目的是，使学生牢固地掌握算术与珠算的基础知识，培养学生正确、迅速地进行四则计算的能力，正确地解答应用题的能力，以及具有初步的逻辑推理的能力和空间观念。”要培养学生正确、迅速地进行计算的能力，就必须站在算理的高度审视问题的内涵，由算理过渡到算法，最后进行具体的数据处理。这里的算理主要指的应该就是推理。推理与计算如影随形、亦步亦趋，解决复杂一些的数学计算问题时，离开推理，计算便寸步难行。因此，小学高年级的计算内容通常都能作为推理的素材，这正是“数与代数”内容“二重性”的突出体现。
参考文献：
[1] 程嵘，练冬兰，廖运章.高中生解决数学应用题策略及表征偏向的调查研究[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（7）.
[2] 克鲁捷茨基.中小学生数学能力心理学[M].李伯黍，洪宝林，艾国英，等译.上海：上海教育出版社，1983.
[3] 课程教材研究所.20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编：数学卷[M]. 北京：人民教育出版社，2001.