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平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现，它很好的体现了数学知识间的联系与迁移，具体到平面向量基本定理，又在向量这部分知识中占有重要地位，是向量坐标法的基础，是联系几何和代数的桥梁，本文从不同角度介绍定理的应用.
一、利用平面向量基本定理表示未知向量
平面向量基本定理的内容：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1 λ2e2，平面内选定两个不共线向量为基底，可以表示平面内的任何一个向量.
例1在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=2DC，CE=3EA，若AB=a，AC=b，则DE=（用向量a，b表示）.
解析：DE=DB BA AE=23CB BA 14AC=23（a-b）-a 14b=-13a-512b.
点评：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
例2在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，用a，b表示OM.
分析：若e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用e1，e2线性表示.本例中向量a，b可作基底，故可设OM=ma nb，为求实数m，n，需利用向量AM与AD共线，向量CM与CB共线，建立关于m，n的两个方程.
解析：设OM=ma nb，则AM=（m-1）a nb，AD=-a 12b，
∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，∴m-1-1=n0.5，∴m 2n=1.①
而CM=OM-OC=（m-14）a nb，
CB=-14a b，
∵C、M、B共線，∴CM与CB共线，
∴m-14-14=n1，∴4m n=1.②
联立①②解得：m=17，n=37，∴OM=17a 37b.
二、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题
平面向量基本定理是向量坐标的理论基础，通过建立平面直角坐标系，将点用坐标表示，利用坐标相等列方程，寻找变量的等量关系，进而表示目标函数，转化为函数的最值问题.
例3（2017年高考江苏，12）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA nOB（m，n∈R），则m n=.
解析：由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，根据向量的分解，
易得ncos45° mcosα=2nsin45°-msinα=0，即22n 210m=222n-7210m=0，即5n m=105n-7m=0，即得m=54，n=74，
所以m n=3.
点评：（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
例4如图所示，A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO的延长线与线段BA交于圆外的一点D，若OC=λOA μOB（λ∈R，μ∈R），则λ μ的取值范围是.
解析：因为|OA|=|OB|=|OC|，OC=λOA μOB，所以OC2=（λOA μOB）2，
展开得（λOA）2 （μOB）2 2λμOA·OB=OC2，所以λ2 μ2 2λμcos∠AOB=1，
当∠AOB=60°时，λ2 μ2 λμ=（λ μ）2-λμ=1即（λ μ）2=1 λμ<1，
所以-1<λ μ<1.当OA，OB趋近于射线OD时，
由平行四边形法则可知OC=OE OF=λOA μOB，此时λ<0，μ>0且|λ|>|μ|，
所以λ μ<0，因此λ μ的取值范围是（-1，0）.
三、三点共线向量式
三点共线问题.A，B，C三点共线等价于AB与AC共线.设A，B，C是共线三点，O是平面内任意一点，则OB=λOA （1-λ）OC，其特征是“起点一致，终点共线，系数和为1”，利用向量式，可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值.
例5O为△ABC内一点，且2OA OB OC=0，AD=tAC，若B，O，D三点共线，则t的值为.
解析：由AD=tAC有OD-OA=t（OC-OA），所以OD=tOC （1-t）OA，
因为B，O，D三点共线，所以BO=λOD，则2OA OC=λtOC （1-t）λOA，
故有2=（1-t）λ1=λt，t=13.
一、利用平面向量基本定理表示未知向量
平面向量基本定理的内容：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1 λ2e2，平面内选定两个不共线向量为基底，可以表示平面内的任何一个向量.
例1在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=2DC，CE=3EA，若AB=a，AC=b，则DE=（用向量a，b表示）.
解析：DE=DB BA AE=23CB BA 14AC=23（a-b）-a 14b=-13a-512b.
点评：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
例2在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC交于点M，设OA=a，OB=b，用a，b表示OM.
分析：若e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，则根据平面向量的基本定理，平面内的任何向量都可用e1，e2线性表示.本例中向量a，b可作基底，故可设OM=ma nb，为求实数m，n，需利用向量AM与AD共线，向量CM与CB共线，建立关于m，n的两个方程.
解析：设OM=ma nb，则AM=（m-1）a nb，AD=-a 12b，
∵点A、M、D共线，∴AM与AD共线，∴m-1-1=n0.5，∴m 2n=1.①
而CM=OM-OC=（m-14）a nb，
CB=-14a b，
∵C、M、B共線，∴CM与CB共线，
∴m-14-14=n1，∴4m n=1.②
联立①②解得：m=17，n=37，∴OM=17a 37b.
二、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题
平面向量基本定理是向量坐标的理论基础，通过建立平面直角坐标系，将点用坐标表示，利用坐标相等列方程，寻找变量的等量关系，进而表示目标函数，转化为函数的最值问题.
例3（2017年高考江苏，12）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为α，且tanα=7，OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA nOB（m，n∈R），则m n=.
解析：由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，根据向量的分解，
易得ncos45° mcosα=2nsin45°-msinα=0，即22n 210m=222n-7210m=0，即5n m=105n-7m=0，即得m=54，n=74，
所以m n=3.
点评：（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
例4如图所示，A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO的延长线与线段BA交于圆外的一点D，若OC=λOA μOB（λ∈R，μ∈R），则λ μ的取值范围是.
解析：因为|OA|=|OB|=|OC|，OC=λOA μOB，所以OC2=（λOA μOB）2，
展开得（λOA）2 （μOB）2 2λμOA·OB=OC2，所以λ2 μ2 2λμcos∠AOB=1，
当∠AOB=60°时，λ2 μ2 λμ=（λ μ）2-λμ=1即（λ μ）2=1 λμ<1，
所以-1<λ μ<1.当OA，OB趋近于射线OD时，
由平行四边形法则可知OC=OE OF=λOA μOB，此时λ<0，μ>0且|λ|>|μ|，
所以λ μ<0，因此λ μ的取值范围是（-1，0）.
三、三点共线向量式
三点共线问题.A，B，C三点共线等价于AB与AC共线.设A，B，C是共线三点，O是平面内任意一点，则OB=λOA （1-λ）OC，其特征是“起点一致，终点共线，系数和为1”，利用向量式，可以求交点位置向量或者两条线段长度的比值.
例5O为△ABC内一点，且2OA OB OC=0，AD=tAC，若B，O，D三点共线，则t的值为.
解析：由AD=tAC有OD-OA=t（OC-OA），所以OD=tOC （1-t）OA，
因为B，O，D三点共线，所以BO=λOD，则2OA OC=λtOC （1-t）λOA，
故有2=（1-t）λ1=λt，t=13.