论文部分内容阅读
数学思想就是对数学理论和内容的本质认识，是对数学规律的理性认识；数学方法是数学思想的具体化形式。中学数学大纲已明确提出数学思想方法是数学基础的重要组成部分。笔者结合自身的教学实践，浅谈对数学思想方法教学的几点思考。
一、数学思想方法教学的原则
（一）在解题教学中，要自觉应用数学思想方法
每一道数学题都有一定的数学内容，它们都是一定的数学思想方法的具体形式，寻求已知与未知之间的联系—解题，表面上是具体数学形式的连续转化、逻辑沟通，但在过程探索、方法选择和思路发现的背后，在进行每一步简化、转化、分解与化归之前，都有数学思维方向的调控，实质上是对题目中所蕴涵的数学思想方法的不断显化与横向沟通。由于同一数学形式可以用不同的数学思想方法来解释，因而产生不同原理的“一题多解”；同样，同一数学思想方法可以有不同的表现形式，因而产生不同题目的“一解多题”。又由于对数学思想方法有理解深浅上的差异和沟通宽窄上的不同，因而既产生解题上的清醒与盲目、简捷与麻烦，又导致解题的会不会推广与能不能引申，所谓“用数学思想方法指导解题”，就是要揭示题目内容与求解方法中所蕴涵的数学思想方法，自觉从数学思想方法的高度去理解题意、去寻找思路、去分析解题过程、去扩大解题成果，使得解题的过程既是运用数学思想方法的过程，又是领悟和提炼数学思想方法的过程。
（二）把知识的学习与思想方法的培养同时纳入教学目的原则
适当章节的强化训练与贯通复课全程的反复运用相结合的原则数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用、被认知的思想方法只有在反复的运用中才能被真正掌握这一教学规律，都决定了成功的思想方法和教学只能是有意识的贯通复课全程的教学。特别是有广泛应用性的数学思想的教学更是如此。如数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出”柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。在某种思想方法应用频繁的章节，应适当强化这种思想方法的训练。如在数学归纳法一节，应精心设计循序渐进的组题，在问题解决中提炼并明确总结联合运用不完全归纳法、数学归纳法解题这一思想方法，在学生能熟练运用的基础上，通过反复运用，才能形成自觉运用的意识。
二、数学思想方法教学的途径
（一）用数学思想指导基础复习，在基础复习中培养思想方法
基础知识的复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如几何体体积公式的推导体系，集公理化思想、转化思想、等积类比思想及割补转换方法之大成，就是这些思想方法灵活运用的完美范例。只有通过展现体积问题解决的思路分析，并同时形成系统的条理的体积公式的推导线索，才能把这些思想方法明确地呈现在学生的眼前。学生才能从中领悟到当初数学家的创造思维进程，这对激发学生的创造思维，形成数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的。注重知识在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用。如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程，不等式，联想函数图象可提供方程，不等式的解的几何意义。运用转化、数形结合的思想，这三块知识可相互为用。注意总结建构知识体系中的教学思想方法，揭示思想方法对形成科学的系统的知识结构，把握知识的运用，深化对知识的理解等数学活动中指导作用。如函数图象变换的复习中，我把散见于二次函数、反函数、正弦型函数等知识中的平移、伸缩、对称变换，引导学生运用化曲线间的关系为对应动点之间的关系的转化思想及求相关动点轨迹的方法统一处理，得出图象变换的一般结论。深化学生图象变换的认识，提高了学生解决问题的能力及观点。
（二）学思想方法指导解题练习
在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识，注意分析探求解题思路时数学思想方法的运用。解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与题断间的差异的过程。也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。如解题中求二面角大小最常用的方法之一就是：根据已知条件，在二面角内寻找或作出过一个面内一点到另一个面上的垂线，过这点再作二面角的棱的垂线，然后连结二垂足。这样平面角即为所得的直角三角形的一锐角。这个通法就是在化立体问题为平面问题的转化思想的指导下求得的。
其中三垂线定理在构图中的运用，也是分析，联想等数学思维方法运用之所得。调整思路，克服思维障碍时，注意数学思想方法的运用。通过认真观察，以产生新的联想；分类讨论，使条件确切，结论易求；化一般为特殊，化抽象为具体，使问题简化等都值得我们一试。分析、归纳、类比等数学思维方法，数形结合、分类讨论、转化等数学思想是走出思维困境的武器与指南。用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性，灵活性，敏捷性；对习题灵活变通，引伸推广，培养思维的深刻性，抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性，批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。
因此，教师必须通过日常教学的渗透，知识的归纳概括，反复运用，及时总结形成系统，切实加强数学思想方法的教学。
（作者单位：江苏靖江市靖城中学）
一、数学思想方法教学的原则
（一）在解题教学中，要自觉应用数学思想方法
每一道数学题都有一定的数学内容，它们都是一定的数学思想方法的具体形式，寻求已知与未知之间的联系—解题，表面上是具体数学形式的连续转化、逻辑沟通，但在过程探索、方法选择和思路发现的背后，在进行每一步简化、转化、分解与化归之前，都有数学思维方向的调控，实质上是对题目中所蕴涵的数学思想方法的不断显化与横向沟通。由于同一数学形式可以用不同的数学思想方法来解释，因而产生不同原理的“一题多解”；同样，同一数学思想方法可以有不同的表现形式，因而产生不同题目的“一解多题”。又由于对数学思想方法有理解深浅上的差异和沟通宽窄上的不同，因而既产生解题上的清醒与盲目、简捷与麻烦，又导致解题的会不会推广与能不能引申，所谓“用数学思想方法指导解题”，就是要揭示题目内容与求解方法中所蕴涵的数学思想方法，自觉从数学思想方法的高度去理解题意、去寻找思路、去分析解题过程、去扩大解题成果，使得解题的过程既是运用数学思想方法的过程，又是领悟和提炼数学思想方法的过程。
（二）把知识的学习与思想方法的培养同时纳入教学目的原则
适当章节的强化训练与贯通复课全程的反复运用相结合的原则数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用、被认知的思想方法只有在反复的运用中才能被真正掌握这一教学规律，都决定了成功的思想方法和教学只能是有意识的贯通复课全程的教学。特别是有广泛应用性的数学思想的教学更是如此。如数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出”柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。在某种思想方法应用频繁的章节，应适当强化这种思想方法的训练。如在数学归纳法一节，应精心设计循序渐进的组题，在问题解决中提炼并明确总结联合运用不完全归纳法、数学归纳法解题这一思想方法，在学生能熟练运用的基础上，通过反复运用，才能形成自觉运用的意识。
二、数学思想方法教学的途径
（一）用数学思想指导基础复习，在基础复习中培养思想方法
基础知识的复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如几何体体积公式的推导体系，集公理化思想、转化思想、等积类比思想及割补转换方法之大成，就是这些思想方法灵活运用的完美范例。只有通过展现体积问题解决的思路分析，并同时形成系统的条理的体积公式的推导线索，才能把这些思想方法明确地呈现在学生的眼前。学生才能从中领悟到当初数学家的创造思维进程，这对激发学生的创造思维，形成数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的。注重知识在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用。如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程，不等式，联想函数图象可提供方程，不等式的解的几何意义。运用转化、数形结合的思想，这三块知识可相互为用。注意总结建构知识体系中的教学思想方法，揭示思想方法对形成科学的系统的知识结构，把握知识的运用，深化对知识的理解等数学活动中指导作用。如函数图象变换的复习中，我把散见于二次函数、反函数、正弦型函数等知识中的平移、伸缩、对称变换，引导学生运用化曲线间的关系为对应动点之间的关系的转化思想及求相关动点轨迹的方法统一处理，得出图象变换的一般结论。深化学生图象变换的认识，提高了学生解决问题的能力及观点。
（二）学思想方法指导解题练习
在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识，注意分析探求解题思路时数学思想方法的运用。解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与题断间的差异的过程。也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。如解题中求二面角大小最常用的方法之一就是：根据已知条件，在二面角内寻找或作出过一个面内一点到另一个面上的垂线，过这点再作二面角的棱的垂线，然后连结二垂足。这样平面角即为所得的直角三角形的一锐角。这个通法就是在化立体问题为平面问题的转化思想的指导下求得的。
其中三垂线定理在构图中的运用，也是分析，联想等数学思维方法运用之所得。调整思路，克服思维障碍时，注意数学思想方法的运用。通过认真观察，以产生新的联想；分类讨论，使条件确切，结论易求；化一般为特殊，化抽象为具体，使问题简化等都值得我们一试。分析、归纳、类比等数学思维方法，数形结合、分类讨论、转化等数学思想是走出思维困境的武器与指南。用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性，灵活性，敏捷性；对习题灵活变通，引伸推广，培养思维的深刻性，抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性，批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。
因此，教师必须通过日常教学的渗透，知识的归纳概括，反复运用，及时总结形成系统，切实加强数学思想方法的教学。
（作者单位：江苏靖江市靖城中学）