函数的单调性是函数的一个重要性质，学会判断函数的单调性对学生来说尤为重要。函数单调性的定义是我们判断函数单调性的主要依据。
　　一、判断函数单调性的几种方法
　　1.定义法：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1■，x■2，当x1＜x■2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1■，x■2，当x1>x■2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。
　　2.复合函数法：（1）f(x)与g(x)都是增（减）函数,它们的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差为增（减）函数。
　　（2）如果y=f(u)和u=g(x)单调性相同，那么y=f［g(x)］是增函数；如果y=f(u)和u=g(x)单调性相反，那么y=f［g(x)］是减函数。
　　3.结论法：（1）奇函数在对称的两个区间上单调性相同，偶函数在对称的两个区间上单调性相反。
　　（2）互为反函数的两个函数在各自的区间上单调性相同。
　　4.导数法：以导数知识为工具，研究函数单调性，导数提供了简单程序化的方法，具有普遍的可操作性。
　　二、例题分析
　　例1 设f(x)=ex■+e-x■，求证： f(x)在(0，+∞)上是增函数。
　　证明：设0　　=（e■-e■）+（■-■）
　　=e■（e■）■
　　由x1>0，x2>0，x2-x1>0，x1+x2>0，e■－1>0，1-e■<0
　　所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)　　点评 对于一个具体的函数，可用定义法判断函数单调性，其一般步骤是：
　　（1）在区间内任取值；
　　（2）作差；
　　（3）变形；
　　（4）定号；
　　（5）下结论。
　　例2 确定函数f(x)= ■的单调性。
　　解：函数f(x)的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)， 且f′(x)= ■
　　令f′(x)=0，解得实根x1=0、x2=3,列表如下：
　　■
　　可知，f(x)在区间（-∞，1）∪（3，+∞）是单调增加的，在（1,3）内是单调递减的。
　　点评 利用导数求函数的单调性的步骤是：
　　（1）确定f(x)的定义域；
　　（2）求导数f′(x)；
　　（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
　　（4）确定f(x)的单调区间，若在函数式中含有字母系数，往往要分类讨论。
　　例3 已知f(x)＝８＋２x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x)（）
　　A.在区间（-1，0）上是减函数
　　B.在区间（0，1）上是减函数
　　C.在区间（-2，0）上是增函数
　　D.在区间（0，2）上是增函数
　　解：函数g(x)是由f(u)=8+2u-u2和u=2-x2复合而成的。
　　又f(u)=8+2u-u2在u∈［1，＋∞）上递减，在x∈(－∞，１］上递增；
　　u=2-x2上x∈［０，＋∞）上为减函数，在x∈（－∞，０］上为增函数。
　　当u≥1时，得-1≤x≤1。
　　当u≤1时，得x≥1或x≤-1。
　　由此可得，函数g(x)在-1≤x≤0或x≥1时为减函数,
　　函数g(x)在x≤－1或０≤x≤１时为增函数；故选A。
　　(作者单位：江西省南昌县莲塘第二中学)
　　责任编辑：周瑜芽