论文部分内容阅读
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）24-0168-02
核心素养正成为引领教育发展的一面旗帜。如何培养学生的数学核心素养，取决于教师对数学教学活动的理解，而数学作业是教学活动的重要环节，是学生巩固、深化课堂所学知识的主要方式。数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；能形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
以素质教育为背景的我国当前教学改革则倡导面向全体学生、使学生全面发展的现代发展式教学观。这一观点认为，教学的本质是激励学生的学习积极性，帮助学生全面发展。而前苏联教育家维果茨基的“最近发展区理论”所倡导的教学观恰好与之暗合。教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到其困难发展到的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展。而在这一过程中，教师扮演着“促进者”和“帮助者”的角色，指导、激励、帮助学生全面发展。
一个班级的学生在知识能力、学习态度、学习方法等方面存在着较大的差异，而素质教育要求我们要面向全体学生，使每个学生的才能得到充分的发展。如何让优等生“吃得好”、中等生“吃得饱”、差等生“吃得了”，这就决定了现行的教育必须遵循新型的“因材施教”原则，实行分层教学。本文主要从数学作业的分层设计阐述数学运算核心素养的形成。对于这一问题，笔者以为，从以下几个方面进行数学作业分层设计与数学运算核心素养的对接：
一、问卷调查，划分学生层次
实施分层教学，教师要通过观察学生的行为习惯、测验成绩以及问卷调查等各种途径，充分认识每位学生个体间的差异，综合考虑每位学生现有的认知基础、学习能力、学习态度等，掌握全班学生的基本情况，将学生按一定的比例分为A（基础、思维能力不强和态度较差的学生）、B（基础中等、思维能力较好和态度端正的学生）、C（基础扎实、思维能力强和态度积极的学生）三个不同层次。各层次学生人数的比例一般设置为1：2：1为好，经过一段时间的学习测试，在做微调。
二、精选习题，划分作业层次
可将作业难易程度分为A（基础类）、B（提高类）、C（创新探究类）三个不同层次。A层次学生必做A层和B层第一问作业，B层第二问选做；B层次学生必做A层和B层作业，C层选做；C层学生全做。这样可使A、B层学生有练习的机会，C层学生也有充分发展的余地，都能享受到成功的喜悦，因而提高学习数学的兴趣。这也暗合了前苏联教育家维果茨基的“最近发展区”理论。由于分层作业的份量、难度适宜，选择自主、完成时间灵活，不同层次的学生完成作业不再有困难，这无疑激发了学生完成作业的乐趣。
三、解析几何课后作业的分层设计与数学运算核心素养的对接
解析几何用坐标法来研究图形的几何性质，问题一般涉及的参数、变量多，运算量大，素来有“方法易得，结果难求”的特质。看得懂题目，算不出答案，成为不少学生心中“永远的痛”。下面我们从课后作业的分层设计来论述如何在解析几何教学中，从树立运算信心、增强意志力、重视学生认知发展、加强算法指导等方面来培养学生的运算能力。以下三道试题是某一天的分层作业训练：
A层.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且，，。
求双曲线的方程。
解：由题意知，在中，，
即，所以c=5。
由双曲线的定义，知，即a=1。
所以，故双曲线的方程为。
点评：该题是解析几何的基础运算题，运用圆锥曲线的常见方法就可以解决，是增强学生运算积极性的一个好题目，为所有学生必做题。
B层.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），且点A（x1，y1） 与点B（x2，y2）均在抛物线上。
（1）求该抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证直线AB的斜率为定值。
解：（1）由已知，设抛物线的方程为y2=2px（p>0）。
∵点P（1，2）在抛物线上，∴22=2p×12，解得p=2。
故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1。
（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则，。
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴。
由，均在抛物线上，得，①；，②。
∴，∴。
由①-②得，，
∴。
点评：该题第一问是解析几何的基础题，学生容易解决，为所有学生必做题；第二问是解析几何的中档题，是A层次学生的“最近发展区”问题，该问题的解法中虽然涉及较多参数，有一定的运算难度，但只要把握点A、B都在抛物线上和处理圆锥曲线的弦的斜率常用方法“点差法”就可解决。该问题在培养学生基本运算技能和方法的同时，也可以训练学生的心理素质和意志品质。让学生在解题体验中寻求合理的运算方案以及简化运算的基本途径和方法，亲身经历运算困难的发生与克服困难的完整过程，增强解决复杂问题的信心。
C层.已知椭圆C1的中心为坐标原点O，离心率，其中一个焦点的坐标为，
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）当点在椭圆C1上运动时，设动点的运动轨迹为C2若点T满足：，其中M，N是C2上的点。直线OM，ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由。
解：（1）C1：。
（2）设P（x，y），则
因为点在椭圆C1上运动，
所以。
故动点P的轨迹C2的方程为x2+2y2=12。
设M（x1，y1），N（x2，y2），T（m，n），
由，得，①
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由已知条件知
所以。
因为点M，N在椭圆C2上，
所以，②
故，
从而知T点是椭圆上的点，
所以，存在两个定点F1，F2，且为椭圆的两个焦
點，使得|TF1|+|TF2|为定值。其坐标分别为。
点评：该题是解析几何的难题，涉及参数多，运算难度大，运算难在含有多个参数的化简和转化上，是B层次学生的选做题，是该层次学生的“最近发展区”问题，是C层次学生必做题。解析几何题目本身并不很难，难就难在运算上，解决运算问题，必须要有信心，理清思路按部就班计算就行了，不要怕麻烦。事实上，如果平时教学中教师不断加强、引导，自然会提高学生算下去的信心。解决第2问是先用“相关点法”求出轨迹C2的方程，再由已知得到点M，N的坐标和点T的坐标之间的等量关系①，关键是利用点M，N的坐标满足轨迹C2的方程得到等量关系②，并观察等量关系之间①与②的整体特征，从而化简消去参数x1，y1，x2，y2，得到点T的坐标所满足的方程，最后由椭圆定义得到所求的定值。
著名数学教育家波利亚有一句名言“教学生解题是意志的教育”，在教学中要对学生进行解题的心理训练和意志磨炼，练出过硬的心理素质和意志品质，克服畏难情绪，提高运算能力。通过以上分层作业训练，学生树立了运算的信心，培养了学生的运算能力，让学生自己领悟和反思运算的步骤、方法和技巧，才能够真正提高学生的数学运算核心素养。
核心素养正成为引领教育发展的一面旗帜。如何培养学生的数学核心素养，取决于教师对数学教学活动的理解，而数学作业是教学活动的重要环节，是学生巩固、深化课堂所学知识的主要方式。数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；能形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。
以素质教育为背景的我国当前教学改革则倡导面向全体学生、使学生全面发展的现代发展式教学观。这一观点认为，教学的本质是激励学生的学习积极性，帮助学生全面发展。而前苏联教育家维果茨基的“最近发展区理论”所倡导的教学观恰好与之暗合。教学应着眼于学生的最近发展区，为学生提供带有难度的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能，超越其最近发展区而达到其困难发展到的水平，然后在此基础上进行下一个发展区的发展。而在这一过程中，教师扮演着“促进者”和“帮助者”的角色，指导、激励、帮助学生全面发展。
一个班级的学生在知识能力、学习态度、学习方法等方面存在着较大的差异，而素质教育要求我们要面向全体学生，使每个学生的才能得到充分的发展。如何让优等生“吃得好”、中等生“吃得饱”、差等生“吃得了”，这就决定了现行的教育必须遵循新型的“因材施教”原则，实行分层教学。本文主要从数学作业的分层设计阐述数学运算核心素养的形成。对于这一问题，笔者以为，从以下几个方面进行数学作业分层设计与数学运算核心素养的对接：
一、问卷调查，划分学生层次
实施分层教学，教师要通过观察学生的行为习惯、测验成绩以及问卷调查等各种途径，充分认识每位学生个体间的差异，综合考虑每位学生现有的认知基础、学习能力、学习态度等，掌握全班学生的基本情况，将学生按一定的比例分为A（基础、思维能力不强和态度较差的学生）、B（基础中等、思维能力较好和态度端正的学生）、C（基础扎实、思维能力强和态度积极的学生）三个不同层次。各层次学生人数的比例一般设置为1：2：1为好，经过一段时间的学习测试，在做微调。
二、精选习题，划分作业层次
可将作业难易程度分为A（基础类）、B（提高类）、C（创新探究类）三个不同层次。A层次学生必做A层和B层第一问作业，B层第二问选做；B层次学生必做A层和B层作业，C层选做；C层学生全做。这样可使A、B层学生有练习的机会，C层学生也有充分发展的余地，都能享受到成功的喜悦，因而提高学习数学的兴趣。这也暗合了前苏联教育家维果茨基的“最近发展区”理论。由于分层作业的份量、难度适宜，选择自主、完成时间灵活，不同层次的学生完成作业不再有困难，这无疑激发了学生完成作业的乐趣。
三、解析几何课后作业的分层设计与数学运算核心素养的对接
解析几何用坐标法来研究图形的几何性质，问题一般涉及的参数、变量多，运算量大，素来有“方法易得，结果难求”的特质。看得懂题目，算不出答案，成为不少学生心中“永远的痛”。下面我们从课后作业的分层设计来论述如何在解析几何教学中，从树立运算信心、增强意志力、重视学生认知发展、加强算法指导等方面来培养学生的运算能力。以下三道试题是某一天的分层作业训练：
A层.已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且，，。
求双曲线的方程。
解：由题意知，在中，，
即，所以c=5。
由双曲线的定义，知，即a=1。
所以，故双曲线的方程为。
点评：该题是解析几何的基础运算题，运用圆锥曲线的常见方法就可以解决，是增强学生运算积极性的一个好题目，为所有学生必做题。
B层.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），且点A（x1，y1） 与点B（x2，y2）均在抛物线上。
（1）求该抛物线的方程及其准线方程；
（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求证直线AB的斜率为定值。
解：（1）由已知，设抛物线的方程为y2=2px（p>0）。
∵点P（1，2）在抛物线上，∴22=2p×12，解得p=2。
故所求抛物线的方程是y2=4x，准线方程是x=-1。
（2）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则，。
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴。
由，均在抛物线上，得，①；，②。
∴，∴。
由①-②得，，
∴。
点评：该题第一问是解析几何的基础题，学生容易解决，为所有学生必做题；第二问是解析几何的中档题，是A层次学生的“最近发展区”问题，该问题的解法中虽然涉及较多参数，有一定的运算难度，但只要把握点A、B都在抛物线上和处理圆锥曲线的弦的斜率常用方法“点差法”就可解决。该问题在培养学生基本运算技能和方法的同时，也可以训练学生的心理素质和意志品质。让学生在解题体验中寻求合理的运算方案以及简化运算的基本途径和方法，亲身经历运算困难的发生与克服困难的完整过程，增强解决复杂问题的信心。
C层.已知椭圆C1的中心为坐标原点O，离心率，其中一个焦点的坐标为，
（1）求椭圆C1的标准方程；
（2）当点在椭圆C1上运动时，设动点的运动轨迹为C2若点T满足：，其中M，N是C2上的点。直线OM，ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由。
解：（1）C1：。
（2）设P（x，y），则
因为点在椭圆C1上运动，
所以。
故动点P的轨迹C2的方程为x2+2y2=12。
设M（x1，y1），N（x2，y2），T（m，n），
由，得，①
设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由已知条件知
所以。
因为点M，N在椭圆C2上，
所以，②
故，
从而知T点是椭圆上的点，
所以，存在两个定点F1，F2，且为椭圆的两个焦
點，使得|TF1|+|TF2|为定值。其坐标分别为。
点评：该题是解析几何的难题，涉及参数多，运算难度大，运算难在含有多个参数的化简和转化上，是B层次学生的选做题，是该层次学生的“最近发展区”问题，是C层次学生必做题。解析几何题目本身并不很难，难就难在运算上，解决运算问题，必须要有信心，理清思路按部就班计算就行了，不要怕麻烦。事实上，如果平时教学中教师不断加强、引导，自然会提高学生算下去的信心。解决第2问是先用“相关点法”求出轨迹C2的方程，再由已知得到点M，N的坐标和点T的坐标之间的等量关系①，关键是利用点M，N的坐标满足轨迹C2的方程得到等量关系②，并观察等量关系之间①与②的整体特征，从而化简消去参数x1，y1，x2，y2，得到点T的坐标所满足的方程，最后由椭圆定义得到所求的定值。
著名数学教育家波利亚有一句名言“教学生解题是意志的教育”，在教学中要对学生进行解题的心理训练和意志磨炼，练出过硬的心理素质和意志品质，克服畏难情绪，提高运算能力。通过以上分层作业训练，学生树立了运算的信心，培养了学生的运算能力，让学生自己领悟和反思运算的步骤、方法和技巧，才能够真正提高学生的数学运算核心素养。