对于高考中的解析几何问题，不少考生由于运算方法不当，致使运算过程复杂、繁琐，解答烦琐费力，一些考生只好望题兴叹.而借助曲线的参数方程，通过借水行舟的方法往往可优化解题过程，有效地简化运算，下面通过几例，以示说明.
　　
　　例1 （2013年高考数学北京卷）已知A、B、C是椭圆
　　
　　w:x2 4+y2=1上的三个点，O是坐标原点.
　　
　　(1)当点B是w的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积;
　　
　　(2)当点B不是w的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
　　
　　解析：（1）（略）
　　
　　 （2）假设四边形OABC是菱形，设OB与AC相交于点P（m，n），则B（2m，2n）.
　　
　　设直线AC的参数方程为x=m+tcosα,
　　y=n+tsinα
　　（t为参数，α为倾斜角）,将之代入方程
　　w:x2 4+y2=1得
　　
　　(4sin2α+cos2α)t2+(2mcosα+8nsinα)t+m2+4n2-4=0.因为A、C两点关于点P（m，n）对称，故上述关于t的方程两根分别为
　　t0,-t0.
　　
　　所以
　　t0+(-t0)=-2mcosα+8nsinα
　　
　　4sin2α+cos2α，
　　t0•(-t0)=
　　m2+4n2-4 4sin2α+cos2α.
　　
　　因为B（2m，2n）在椭圆上，所以m2+4n2-4=0，因此
　　t0=0.这说明A、C两点重合与已知条件矛盾，故假设不成立，所以四边形OABC不可能为菱形.
　　
　　评论：本题巧妙运用直线的参数方程，充分考虑A、C两点的对应参数互为相反数的特征，避免了复杂的运算，很快地解决问题.
　　
　　例2 （2013年高考数学山东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为2 2.
　　
　　(1)求椭圆C的方程;
　　
　　(2)A、B为椭圆C上满足△AOB的面积为
　　6 4的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P，设
　　
　　OP=tOE，求实数t的值.
　　
　　解析：（1）易求椭圆C的方程为
　　x2 2+y2=1.
　　
　　（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设R（x，y）是直线OA上任意一点，则
　　OR=(x,y)
　　.又
　　
　　OA=
　　
　　(x1,y1)，因O、P、R三点共线，所以
　　
　　OR∥OP，所以
　　y1x-x1y=0，此即为直线OA的方程.点B（x2，y2）到直线OA的距离为
　　d=
　　|x1y2-y1x2|
　　
　　x21+y21，又
　　
　　|OA|=x21+y21，故
　　S△AOB=1 2|OA|d=
　　1 2|x1y2-y1x2|=6 4，即|x1y2-y1x2|=6 2.
　　
　　又因为点A、B在椭圆上，故可设
　　x1=2cosα,
　　y1=sinα,
　　
　　
　　x2=2cosβ,
　　y2=sinβ,
　　 将之代入
　　
　　|x1y2-y1x2|=6 2
　　 得
　　|2cosαsinβ-
　　
　　2sinαcosβ|=
　　
　　2|sin(α-β)|
　　=6 2,
　　
　　所以
　　|sin(α-β)|=3 2
　　.
　　
　　因为E为线段AB的中点，所以
　　
　　OE=
　　
　　
　　(2(cosα+cosβ） 2，
　　sinα+sinβ 2),又
　　
　　OP=tOE，所以
　　
　　xP=2t(cosα+cosβ) 2，
　　yP=t(sinα+sinβ) 2.又点P在椭圆上，所以有
　　
　　t2(cosα+cosβ)2+t2(sinα+sinβ)2=4即
　　
　　t2［1+cos(α-β)］=2.由
　　
　　|sin(α-β)|=3 2得
　　
　　cos(α-β)=±1 2,代入上式得
　　
　　t=2或
　　
　　t=23 3.
　　
　　评论：本题巧妙借助椭圆的参数方程设点，将椭圆方程化整为零，最后只要进行三角函数的化简、运算即可，从而避免了繁琐的运算.
　　
　　例3 （2013年高考数学陕西卷）已知动圆过定点A（4,0），且在y轴上截得弦MN的长为8.
　　
　　(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
　　
　　(2)已知点B（-1,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q，若x轴为∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点.
　　
　　解析：(1)易求得轨迹C的方程为y2=8x.
　　
　　 (2)不妨设P(8t21,8t1)、Q（
　　8t22,8t2），由x轴为∠PBQ的角平分线得
　　
　　kPB+kQB=0,即
　　
　　8t1
　　
　　8t21+1+
　　
　　8t2 8t22+1=0,即
　　
　　8t1(8t22+1)+8t2(8t21+1)=0.整理得8(8t1t2+1)(t1+t2)=0.由
　　
　　l不垂直于x轴可得
　　
　　t1+t2≠0，所以
　　
　　8t1t2=-1.而直线l的方程为
　　
　　y=8t1-8t2 8t21-8t22(x-8t21
　　
　　)+8t1,整理得
　　
　　y=1 t1+t2(x+8t1t2)，故直线l过定点（1，0）.
　　
　　评注：本题借助抛物线的参数方程来设点，避免了方程联点，充分利用t1t2的意义，简化了运算.
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