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摘 要：在高效课堂的教育改革中，数学课堂的教学逐渐形成“自主先学，小组讨论，交流展示，质疑拓展，检测反馈，总结反思”的教学课堂模式. 这种模式下，教师要变课堂教学的“主宰者”为学习活动的指导者、组织者、协助者.教师充分把时间留给学生，把讲台留给学生，把发现留给学生，让学生一起分析、猜想、归纳，然后共同学习，互帮互助，发扬教学民主，发挥了学生的主动意识.
关键词：高效课堂；设计反思；直线的斜率；小组讨论
前段时间笔者有幸参加了本市的一次县县行课改汇报课. 在高效课堂的教育改革中，数学课堂的教学逐渐形成“自主先学，小组讨论，交流展示，质疑拓展，检测反馈，总结反思”的教学课堂模式. 这节课是苏教版普通高中课程标准试验教科书必修2第二章第一节第一课时《直线的斜率》，在准备这节课时，笔者一直思考，学生已经会或者自己可以学会什么知识？课堂上要学什么知识？本文是笔者在此活动中的三次磨课中的不同的反思和思考，将磨课中的设计（以下称设计一和设计二），与反思之后的最后一次设计（设计三）进行对比与反思，谈谈数学课堂教学设计的“思前想后”.
教学设计与反思：
[?] 课堂的导入从杂乱到有序
【设计一】
1. 在同一个坐标系内，画出一次函数y=x 1，y=2x 1，y=-x 1的图象，并观察它们的共同特点与不同特点.
2. 给你一个边长为100 cm的正方形，和一个腰长为30 cm的直角三角板，你怎么画正方形的对角线？
【设计二】
预习课本第77页和第78页，初步感受坡度和斜率的概念.
1. 下图，这是我们熟悉的两个滑梯A，B，你更喜欢滑哪个？怎么刻画它们的“陡”与“缓”？
【设计三】
自我尝试：（课堂实录片段）
预习课本第77页和第78页，尝试完成以下探究，初步感受坡度和斜率的概念及异同.
1. 如图2，滑滑梯这个游戏，大家都玩过，如果要增加刺激性，你想如何改造？如何来刻画它的“陡”与“缓”？
学生1：（学生将自己的改造方法用实物投影仪展示）我认为要想增加滑梯刺激性，就要让滑梯更陡些. 方案一：宽度不变，增加它的高度；方案二：高度不变，缩短它的宽度.其他同学还有需要补充的吗？
学生2：也可以高度，宽度同时变，但得保证高度/宽度这个比值变大，就可以让坡度变陡.大家还有补充吗？（掌声响起）
教师：这位同学总结很到位，坡度大，实际上就是高度与宽度这个比值大.
【设计反思】：
[设计一] 先通过问题1、2让学生自主回答，感悟确定直线的要素.和后面的概念的引入不连贯，有点脱节.
[设计二] 从生活实例直接到研究数学问题，比设计一流畅多了.但问题2的提出，想让学生从具体的直线着手研究，再到一般问题. 可是学生还是比较茫然，不知该如何讨论回答.
[设计三] 第三次的修改中，滑梯的数学化的图形改成了三角形，并让学生动手去改造设计的方案，使滑梯更陡. 这样直观性、目的性和操作性更强了. 滑梯的引入能为学生提供了丰富的感知认识，使得课堂气氛异常活跃，调动了学生的学习积极性. 并通过学生实际操作，发表个人意见，能很快将坡度的概念呈现出来，更有利于学生接下来对新知识的探究，建立新旧知识的矛盾.
精妙得体的导入，往往是上好一节数学课的好开端.数学学习的兴趣是学生学习内动力的源泉、保证. 著名的教育家苏霍姆林斯基曾说过：“如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么，这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦.” 因此，在课堂导入中，通过创设滑梯一例情境，能让学生，感觉数学就在自己的身边，数学来源于生活，应用于生活. 激起学生学习新知识的兴趣和欲望，自然地进入探究直线的斜率的学习.
[?] 概念的探索：从茫然到有据
【设计一】
1. 生活中有涉及倾斜程度的例子吗？请你举例说明它们是怎么刻画倾斜程度的？
2. 类比生活中楼梯、滑梯、山坡的倾斜程度的刻画，小组讨论思考：数学中，直线的倾斜程度如何来刻画？
【设计二】
1. 以下的两条直线有什么区别？怎么将这种区别数量化？
2. 一般的，直线的斜率如何定义？
【设计三】
1. 在同一个坐标系内，画出一次函数y=x 1，y=2x 1，y=-x 1对应的图象l1，l2，l3，并观察它们的共同点和不同特点. 思考确定直线需要几个要素？类比坡度，如何来刻画直线的倾斜程度？（PPT呈现）
教师：对于第二个问题，同学们在课前预习时已经有了自己的想法，现在同学们带着下面的任务在小组内讨论交流.
小组活动：（PPT呈现要求）
（1）检查所画直线的正确性，分享画直线的方法，通过比较它们的共同点和不同点，进一步感受确定一条直线所需的要素；
（2）类比滑梯的刻画，如何计算出直线l1与l2哪条直线更陡？
（3）通过计算，你能区分直线l与l的倾斜程度吗？
讨论结束后，小组代表展示讨论交流成果.
学生3：我们组认为，对于问题（1），画直线时只需要选取两个点即可，也就是说，两点就能确定一条直线. 三条直线的共同点是都过一个点，但是他们的倾斜程度不同，所以直线是不同的. 由一个点和直线的倾斜程度也能确定一条直线.
对于问题（2），我们组认为，如图（学生实物投影仪展示），在直线l1上选两点（-1，0），（0，1）就可以构造出直角三角形，从而计算坡度为1，同理计算直线l2的坡度为2，我们能发现l2更陡. 其他组有什么意见吗？ 学生4：我们组在计算l1的坡度时，选取的两点为（0，1），（1，2），与你们选取得两点不同，但计算坡度是一样的. 是不是计算坡度时可以任意选两点吗？
众生：当然一样了，两个相似三角形对应边成比例.
教师：问题问得好，同学们答得也漂亮.我们只要在直线上任意选两点即可.
学生3：对于问题（3），我们计算它们的坡度，发现坡度相同，但是倾斜方向不同，看来仅仅用坡度无法区分这两条直线了. 其他组有好办法区分它们吗？
教师：这位学生代表讲述得很详细，同时他又提出了一个新的问题，坡度无法刻画倾斜程度同，但方向不同的直线，看来我们需要拓展一个新的量来刻画.其他组有什么想法？
学生5：老师，我们组有想法，但还不完整. l1和l3与x轴的交点不同，一个与正半轴相交，一个与负半轴相交，也就是说相对于x轴的正方向倾斜程度是不同的，我们组觉得应该用正负号来体现倾斜程度的不同.
学生6：我们组认为，直线l1的方向是从左下到右上，l3的方向是从右下到左上. 既然有方向，我们在直线上取两点计算时，就找准方向，这样就有正有负了.
教师：这两位同学都提到方向性，想法非常好，从一个点到另一个点来作差计算，大家动手计算下，是不是这样就能区分l1与l3了？
（通过学生的验证，发现这样计算是可以的）
教师：那么我们就用这个比值可以准确地刻画直线的倾斜程度，称为直线的斜率. 大家觉得该如何给直线的斜率下定义？
学生7：（生板书）已知两点P（x1，y1），Q（x2，y2），如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为
k=.
学生8：分母不能为零，即要求x1≠x2.如果x1=x2，那么k不存在（斜率不存在），此时直线PQ⊥x轴.其他同学还有补充吗？
学生9：既然是按点的顺序来写，斜率也可以这样表示
k=（x1≠x2）.
教师：这几位同学已经把问题表述得很清楚了，对于一条（与x轴不垂直的）直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的直线的斜率总是相等的. 斜率刻画了直线的方向，要注意公式中坐标对应性的和谐美.
这是我们这节课共同努力获得的重大研究成果“直线的斜率”（板书课题）. 这种用代数方法来解决几何问题的思想正是解析几何的核心.
【设计反思】
[设计一] 从生活实例中，理解“坡度”刻画楼梯、山坡、滑梯之类的陡峭程度. 再回到数学中的问题. 小组讨论第四个问题时，问题提得有点“大”，学生的讨论有点无所适从，只能根据预习情况直接回答出斜率的概念，却少了探究的过程.
[设计二] 但问题2的提出，想让学生从具体的直线着手研究，再到一般问题. 可是这个问题“两条直线有什么区别？怎么将这种区别数量化”？很多学生在量化区别时还是比较茫然，不知该如何讨论回答.
[设计三] 在问题2小组活动时，教师给学生指明了小组讨论交流的目标和任务，使得学生有目的、有任务地去思考问题. 在设置学生讨论任务问题（2） “类比滑梯的刻画，如何“计算”出直线l1与l2哪条直线更陡”，刚开始用“刻画”一词，学生不知道从什么角度去研究问题，学生讨论问题时只是通过预习能说出用直线的斜率来刻画，但是并没有深入得去探究到底怎么去研究这个问题，学生还是有点茫然. 后来又改用“计算”一词，想让学生在已有的认知结构中，能否按“坡度”来比较直线的陡与缓. 再去设置问题（3），学生通过计算，发现再用“坡度”已经无法刻画陡峭程度相同但方向不同的两条直线的陡与缓了，学生必须想办法找到一个新的量去区分它们，更能调动学生的思维，从而让学生体会到斜率的概念的必要性与合理性.
学生学习新知识之前，是具有一定的原有的认知结构，学生往往利用原有的认知结构来同化新知识，当原有的认知结构不能同化新知识时，就产生了认知冲突. 所以，在课堂教学中，教师应该有意设置一些恰当的问题，诱发学生产生认知冲突，不断形成悬念，可以使学生的认知结构产生不平衡，从而出现欲答不能、欲罢不忍的心理状态，由此调动其全身心地投入学习活动中，从而有效培养学生发现问题、解决问题的能力.
对这个问题的探究正是本节课的核心问题，当学生遇到自己不能解决的问题，教师要设计有梯度，逐渐有难度的问题，可以激起学生探索的热情，让知识本身吸引学生，不需要任何标签与点赞，就可以让小组及时展开讨论，让学生充分发表自己的认识和观点，寻求解决问题的最佳路径，真正达到生生互助. 这样能使得每个学生在亲自经历的两种不同方法的尝试后，再给学生机会提出自己的见解，在讨论、交流、探究中，形成多种认知冲突，学生的思路会越来越明确，从而增强自信心. 可见真正的有效教学体现在“自己学，互助学”.
[?] 习题的选取从无章法到有逻辑
【设计一、二】
例1 已知直线过两点P（3，2），Q（3t，t），如何求直线的斜率？
例2 在同一个坐标系内，画出一次函数y=x 1，y=2x 1，y=-x 1的图象，并分别求出它们的斜率.
【设计三】
例1 如图4，直线l1，l2，l3都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（-2，-1），Q2（4，-2），Q3（-3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率.
例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为：（1）；（2）-；（3）0.
小组活动（PPT展示小组活动的要求）：
（1）推荐两名学生板书题1和题2（1）.
（2）由题1思考：根据三条直线在坐标系中的分布情况，你有什么发现？
（3）题2中的（1），交流你们的解题方法. 把你们组的解题方法写在公共白纸上. （板书的学生10讲出自己的做题思路.第一题讲解完后回答问题（2），并做以下变式练习.）
变式练习1：已知直线过两点P（3，2），Q（3t，t），如何求直线的斜率？
（涉及直线的斜率，必须考虑斜率是否存在.）
变式练习2：求直线y=x 1，y=-x 1与的斜率.
（学生讨论的过程中发现了直线的斜率恰好是一次项的系数.）
教师：若直线斜率确定了，直线能确定下来吗？多少条？他们之间的位置关系是怎样？
学生11：无数条直线，它们互相平行.
教师：对于例2 ，直线能确定下来吗？你能画出直线吗？
（板书第二题的学生12讲解：已经知道一个点了，我们的目标是再确定一个点.
这样我们就能画出了直线.
并问：其他学生还有补充吗？
学生13：上面的方程，解有无数多组，应该是个不定方程. 所以，方程应该有无数组解.我们可以“取”出一个特殊点，就可以画图象了.
教师：很好，大家都应该向你学习这种细心的好习惯，大家做题一定要注意规范解答.
学生14：可以用待定系数法，设直线方程y=x b，过点（3，2），所以b= -，然后就可画出直线.
学生15：可以选（0，0），（4，3）两点，画出直线，再过（3，2）作出平行线即可.
学生16：根据斜率的定义，可以将（3，2）水平向右移动4个单位，再竖直向上移动3个单位，得到点（7，5）.
众生掌声响起，这个方法更方便.且很多学生说根据生16的方法找点，可以找到无数个点.
教师：同学们的好点子很多，请同学们选择你喜欢的方法来做（2）和（3）.
【设计反思】
[设计一、二] 刚开始认为课本上题目较为简单，学生提前预习后应该能掌握，课堂上可以直接变式提高. 可让学生做后，发现书本上能从例题中提炼出来的知识与方法却无法提炼与变式.题目显得空洞.
[设计三] 将课本上的例题作为基础问题，然后再加以变式练习. 让学生演算，讲解自己的做题思路，矫正. 接着再讲解：根据三条直线在坐标系中的分布情况，你有什么发现？让学生观察斜率的符号的关系. 通过例2简单问题，从很多学生的不同做法中体会斜率的真正含义，和斜率的作用.
同一个问题，通过变换问题的部分条件和设问方式，在原有的认知冲突消失后，不断出现新的认知冲突，学生的认知状态经历了“平衡—不平衡—平衡—不平衡”的发展过程，使学生的思维处在不断的碰撞、调整、兴奋之中，是学生对问题的认识不断深化，思维水平不断提高. 同一个问题，学生用多种方法解题，扩展了思维，体验到解题时有方法，方法多，方法好，从而树立了学生学习信心，激发了学生的学习积极性，让学生真正成为课堂的主人.
检测促学：
1. 已知过点A（-1，2m）， B（m，m 3）的直线l的斜率为2，则实数m的值为__________.
2. 已知直线l的斜率k=2，直线l上有一点P（2，3），若将点P沿x轴方向右移3个单位，则再沿y轴方向上移__________个单位后，所得到点P1仍在直线上.
[?] 课后反思
1. 让概念的“出场”再迟缓些
这节课概念的引入是一难点，本课作为解析几何起始课，担负着一门学科的入门教育重任. 因此，学生掌握数学概念与否，并不在于他们能够一成不变地记下了有关概念的表述，而是要经历概念建立的过程：概念是怎么来的；体会概念建立的方法；为什么要建立这样的概念（必要性），这样建立概念是合理的吗（可行性），从中体会解析几何这门学科的基本特点，为进一步学好解析几何打下思想方法基础. 著名数学家华罗庚提到：“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.”所谓“退”，就是把一个较复杂的问题“退”到最原始、最简单的问题，再以这些问题为出发点，去解决问题，接受新知. 本节课笔者设计滑梯引入，能为学生提供了丰富的感知认识，并通过学生实际操作，能很快感悟坡度的概念，更有利于学生接下来对新知识的探究，建立新旧知识的矛盾.把握概念的本质属性，完成从具体到一般的抽象，达到概念的自然形成和“一切皆出吾之心”的境界. 从这一点上讲，拉长活动过程，推迟概念“亮相”的时间，不仅是有益的，而且是符合学生认知规律的. 本节课建构斜率的概念，花了二十多分钟的时间，可能稍显长了些，但笔者认为是值得的.
2. 让概念的生成再自然些
学生对概念的建立与掌握，要经历从具体到抽象、从抽象到具体、再从孤立到系统的过程；概念的教学，是数学活动的过程；笔者设计滑梯引入，并让学生动手去改造设计的方案，使滑梯更陡，这样让数学离生活更近些，让学生从生活中更自然地感受到了数学. 让概念的学习，不仅要获取并掌握概念，而且要体验概念形成的过程与方法.建构概念时，教师设计出有梯度，逐渐有难度的问题，可以激起学生探索的热情，让学生在讨论、争辩、交流、补充中寻求解决问题的最佳路径，更自然地得到概念. 在进行课堂小结时，笔者有意让学生用自己的语言去回顾概念建立的过程.学生是学习的主人，教学要突出学生的主体地位，促进学生的主动发现与探究，激发学生的学习热情，发展学生的思维能力；而教师，则是数学教学活动的向导. 从这一点上说，笔者也许做了一点有益的尝试.
3. 让小组合作更主动些
当前课改形式下，学生才是课堂教学的主人，以“学生为主体，教师为主导”的教学模式已经深入了我们的课堂教学. 我们提倡课堂上运用小组合作学习，引导学生小组交流，讨论、互教互学，汇报反馈. 对于新的数学知识，如果只靠教师一人教授，缺少学生的亲身体验，知识内容永远无法为学生所掌握. 而如果只交给学生自己去思考应用，又难免为个人的思维角度不广所限制. 因此，为了突破重难点，笔者主要让学生通过独立思考、自主探索、合作交流、估算验证等学习方式，在思考交流、小组讨论的数学活动中既能够让学生真正触摸到知识本身，又能够让学生在自主实践知识的过程当中互相启发、激发思考，无需教师的主导同样能够实现对知识的深入探究. 但是小组讨论中，教师给学生指明了小组讨论交流的目标和任务，充分把时间留给学生，把讲台留给学生，把发现留给学生，让学生一起分析、猜想、归纳、发现问题的着手点在哪，然后共同学习，互帮互助，发扬教学民主，发挥了学生的主动意识. 这样的课堂就有了生机，有了生命，就能培养出有生命力的学生、有智慧的学生.
关键词：高效课堂；设计反思；直线的斜率；小组讨论
前段时间笔者有幸参加了本市的一次县县行课改汇报课. 在高效课堂的教育改革中，数学课堂的教学逐渐形成“自主先学，小组讨论，交流展示，质疑拓展，检测反馈，总结反思”的教学课堂模式. 这节课是苏教版普通高中课程标准试验教科书必修2第二章第一节第一课时《直线的斜率》，在准备这节课时，笔者一直思考，学生已经会或者自己可以学会什么知识？课堂上要学什么知识？本文是笔者在此活动中的三次磨课中的不同的反思和思考，将磨课中的设计（以下称设计一和设计二），与反思之后的最后一次设计（设计三）进行对比与反思，谈谈数学课堂教学设计的“思前想后”.
教学设计与反思：
[?] 课堂的导入从杂乱到有序
【设计一】
1. 在同一个坐标系内，画出一次函数y=x 1，y=2x 1，y=-x 1的图象，并观察它们的共同特点与不同特点.
2. 给你一个边长为100 cm的正方形，和一个腰长为30 cm的直角三角板，你怎么画正方形的对角线？
【设计二】
预习课本第77页和第78页，初步感受坡度和斜率的概念.
1. 下图，这是我们熟悉的两个滑梯A，B，你更喜欢滑哪个？怎么刻画它们的“陡”与“缓”？
【设计三】
自我尝试：（课堂实录片段）
预习课本第77页和第78页，尝试完成以下探究，初步感受坡度和斜率的概念及异同.
1. 如图2，滑滑梯这个游戏，大家都玩过，如果要增加刺激性，你想如何改造？如何来刻画它的“陡”与“缓”？
学生1：（学生将自己的改造方法用实物投影仪展示）我认为要想增加滑梯刺激性，就要让滑梯更陡些. 方案一：宽度不变，增加它的高度；方案二：高度不变，缩短它的宽度.其他同学还有需要补充的吗？
学生2：也可以高度，宽度同时变，但得保证高度/宽度这个比值变大，就可以让坡度变陡.大家还有补充吗？（掌声响起）
教师：这位同学总结很到位，坡度大，实际上就是高度与宽度这个比值大.
【设计反思】：
[设计一] 先通过问题1、2让学生自主回答，感悟确定直线的要素.和后面的概念的引入不连贯，有点脱节.
[设计二] 从生活实例直接到研究数学问题，比设计一流畅多了.但问题2的提出，想让学生从具体的直线着手研究，再到一般问题. 可是学生还是比较茫然，不知该如何讨论回答.
[设计三] 第三次的修改中，滑梯的数学化的图形改成了三角形，并让学生动手去改造设计的方案，使滑梯更陡. 这样直观性、目的性和操作性更强了. 滑梯的引入能为学生提供了丰富的感知认识，使得课堂气氛异常活跃，调动了学生的学习积极性. 并通过学生实际操作，发表个人意见，能很快将坡度的概念呈现出来，更有利于学生接下来对新知识的探究，建立新旧知识的矛盾.
精妙得体的导入，往往是上好一节数学课的好开端.数学学习的兴趣是学生学习内动力的源泉、保证. 著名的教育家苏霍姆林斯基曾说过：“如果教师不想方设法使学生进入情绪高昂和智力振奋的内心状态，就急于传授知识，那么，这种知识只能使人产生冷漠的态度，而不动感情的脑力劳动就会带来疲倦.” 因此，在课堂导入中，通过创设滑梯一例情境，能让学生，感觉数学就在自己的身边，数学来源于生活，应用于生活. 激起学生学习新知识的兴趣和欲望，自然地进入探究直线的斜率的学习.
[?] 概念的探索：从茫然到有据
【设计一】
1. 生活中有涉及倾斜程度的例子吗？请你举例说明它们是怎么刻画倾斜程度的？
2. 类比生活中楼梯、滑梯、山坡的倾斜程度的刻画，小组讨论思考：数学中，直线的倾斜程度如何来刻画？
【设计二】
1. 以下的两条直线有什么区别？怎么将这种区别数量化？
2. 一般的，直线的斜率如何定义？
【设计三】
1. 在同一个坐标系内，画出一次函数y=x 1，y=2x 1，y=-x 1对应的图象l1，l2，l3，并观察它们的共同点和不同特点. 思考确定直线需要几个要素？类比坡度，如何来刻画直线的倾斜程度？（PPT呈现）
教师：对于第二个问题，同学们在课前预习时已经有了自己的想法，现在同学们带着下面的任务在小组内讨论交流.
小组活动：（PPT呈现要求）
（1）检查所画直线的正确性，分享画直线的方法，通过比较它们的共同点和不同点，进一步感受确定一条直线所需的要素；
（2）类比滑梯的刻画，如何计算出直线l1与l2哪条直线更陡？
（3）通过计算，你能区分直线l与l的倾斜程度吗？
讨论结束后，小组代表展示讨论交流成果.
学生3：我们组认为，对于问题（1），画直线时只需要选取两个点即可，也就是说，两点就能确定一条直线. 三条直线的共同点是都过一个点，但是他们的倾斜程度不同，所以直线是不同的. 由一个点和直线的倾斜程度也能确定一条直线.
对于问题（2），我们组认为，如图（学生实物投影仪展示），在直线l1上选两点（-1，0），（0，1）就可以构造出直角三角形，从而计算坡度为1，同理计算直线l2的坡度为2，我们能发现l2更陡. 其他组有什么意见吗？ 学生4：我们组在计算l1的坡度时，选取的两点为（0，1），（1，2），与你们选取得两点不同，但计算坡度是一样的. 是不是计算坡度时可以任意选两点吗？
众生：当然一样了，两个相似三角形对应边成比例.
教师：问题问得好，同学们答得也漂亮.我们只要在直线上任意选两点即可.
学生3：对于问题（3），我们计算它们的坡度，发现坡度相同，但是倾斜方向不同，看来仅仅用坡度无法区分这两条直线了. 其他组有好办法区分它们吗？
教师：这位学生代表讲述得很详细，同时他又提出了一个新的问题，坡度无法刻画倾斜程度同，但方向不同的直线，看来我们需要拓展一个新的量来刻画.其他组有什么想法？
学生5：老师，我们组有想法，但还不完整. l1和l3与x轴的交点不同，一个与正半轴相交，一个与负半轴相交，也就是说相对于x轴的正方向倾斜程度是不同的，我们组觉得应该用正负号来体现倾斜程度的不同.
学生6：我们组认为，直线l1的方向是从左下到右上，l3的方向是从右下到左上. 既然有方向，我们在直线上取两点计算时，就找准方向，这样就有正有负了.
教师：这两位同学都提到方向性，想法非常好，从一个点到另一个点来作差计算，大家动手计算下，是不是这样就能区分l1与l3了？
（通过学生的验证，发现这样计算是可以的）
教师：那么我们就用这个比值可以准确地刻画直线的倾斜程度，称为直线的斜率. 大家觉得该如何给直线的斜率下定义？
学生7：（生板书）已知两点P（x1，y1），Q（x2，y2），如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为
k=.
学生8：分母不能为零，即要求x1≠x2.如果x1=x2，那么k不存在（斜率不存在），此时直线PQ⊥x轴.其他同学还有补充吗？
学生9：既然是按点的顺序来写，斜率也可以这样表示
k=（x1≠x2）.
教师：这几位同学已经把问题表述得很清楚了，对于一条（与x轴不垂直的）直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的直线的斜率总是相等的. 斜率刻画了直线的方向，要注意公式中坐标对应性的和谐美.
这是我们这节课共同努力获得的重大研究成果“直线的斜率”（板书课题）. 这种用代数方法来解决几何问题的思想正是解析几何的核心.
【设计反思】
[设计一] 从生活实例中，理解“坡度”刻画楼梯、山坡、滑梯之类的陡峭程度. 再回到数学中的问题. 小组讨论第四个问题时，问题提得有点“大”，学生的讨论有点无所适从，只能根据预习情况直接回答出斜率的概念，却少了探究的过程.
[设计二] 但问题2的提出，想让学生从具体的直线着手研究，再到一般问题. 可是这个问题“两条直线有什么区别？怎么将这种区别数量化”？很多学生在量化区别时还是比较茫然，不知该如何讨论回答.
[设计三] 在问题2小组活动时，教师给学生指明了小组讨论交流的目标和任务，使得学生有目的、有任务地去思考问题. 在设置学生讨论任务问题（2） “类比滑梯的刻画，如何“计算”出直线l1与l2哪条直线更陡”，刚开始用“刻画”一词，学生不知道从什么角度去研究问题，学生讨论问题时只是通过预习能说出用直线的斜率来刻画，但是并没有深入得去探究到底怎么去研究这个问题，学生还是有点茫然. 后来又改用“计算”一词，想让学生在已有的认知结构中，能否按“坡度”来比较直线的陡与缓. 再去设置问题（3），学生通过计算，发现再用“坡度”已经无法刻画陡峭程度相同但方向不同的两条直线的陡与缓了，学生必须想办法找到一个新的量去区分它们，更能调动学生的思维，从而让学生体会到斜率的概念的必要性与合理性.
学生学习新知识之前，是具有一定的原有的认知结构，学生往往利用原有的认知结构来同化新知识，当原有的认知结构不能同化新知识时，就产生了认知冲突. 所以，在课堂教学中，教师应该有意设置一些恰当的问题，诱发学生产生认知冲突，不断形成悬念，可以使学生的认知结构产生不平衡，从而出现欲答不能、欲罢不忍的心理状态，由此调动其全身心地投入学习活动中，从而有效培养学生发现问题、解决问题的能力.
对这个问题的探究正是本节课的核心问题，当学生遇到自己不能解决的问题，教师要设计有梯度，逐渐有难度的问题，可以激起学生探索的热情，让知识本身吸引学生，不需要任何标签与点赞，就可以让小组及时展开讨论，让学生充分发表自己的认识和观点，寻求解决问题的最佳路径，真正达到生生互助. 这样能使得每个学生在亲自经历的两种不同方法的尝试后，再给学生机会提出自己的见解，在讨论、交流、探究中，形成多种认知冲突，学生的思路会越来越明确，从而增强自信心. 可见真正的有效教学体现在“自己学，互助学”.
[?] 习题的选取从无章法到有逻辑
【设计一、二】
例1 已知直线过两点P（3，2），Q（3t，t），如何求直线的斜率？
例2 在同一个坐标系内，画出一次函数y=x 1，y=2x 1，y=-x 1的图象，并分别求出它们的斜率.
【设计三】
例1 如图4，直线l1，l2，l3都经过点P（3，2），又l1，l2，l3分别经过点Q1（-2，-1），Q2（4，-2），Q3（-3，2），试计算直线l1，l2，l3的斜率.
例2 经过点（3，2）画直线，使直线的斜率分别为：（1）；（2）-；（3）0.
小组活动（PPT展示小组活动的要求）：
（1）推荐两名学生板书题1和题2（1）.
（2）由题1思考：根据三条直线在坐标系中的分布情况，你有什么发现？
（3）题2中的（1），交流你们的解题方法. 把你们组的解题方法写在公共白纸上. （板书的学生10讲出自己的做题思路.第一题讲解完后回答问题（2），并做以下变式练习.）
变式练习1：已知直线过两点P（3，2），Q（3t，t），如何求直线的斜率？
（涉及直线的斜率，必须考虑斜率是否存在.）
变式练习2：求直线y=x 1，y=-x 1与的斜率.
（学生讨论的过程中发现了直线的斜率恰好是一次项的系数.）
教师：若直线斜率确定了，直线能确定下来吗？多少条？他们之间的位置关系是怎样？
学生11：无数条直线，它们互相平行.
教师：对于例2 ，直线能确定下来吗？你能画出直线吗？
（板书第二题的学生12讲解：已经知道一个点了，我们的目标是再确定一个点.
这样我们就能画出了直线.
并问：其他学生还有补充吗？
学生13：上面的方程，解有无数多组，应该是个不定方程. 所以，方程应该有无数组解.我们可以“取”出一个特殊点，就可以画图象了.
教师：很好，大家都应该向你学习这种细心的好习惯，大家做题一定要注意规范解答.
学生14：可以用待定系数法，设直线方程y=x b，过点（3，2），所以b= -，然后就可画出直线.
学生15：可以选（0，0），（4，3）两点，画出直线，再过（3，2）作出平行线即可.
学生16：根据斜率的定义，可以将（3，2）水平向右移动4个单位，再竖直向上移动3个单位，得到点（7，5）.
众生掌声响起，这个方法更方便.且很多学生说根据生16的方法找点，可以找到无数个点.
教师：同学们的好点子很多，请同学们选择你喜欢的方法来做（2）和（3）.
【设计反思】
[设计一、二] 刚开始认为课本上题目较为简单，学生提前预习后应该能掌握，课堂上可以直接变式提高. 可让学生做后，发现书本上能从例题中提炼出来的知识与方法却无法提炼与变式.题目显得空洞.
[设计三] 将课本上的例题作为基础问题，然后再加以变式练习. 让学生演算，讲解自己的做题思路，矫正. 接着再讲解：根据三条直线在坐标系中的分布情况，你有什么发现？让学生观察斜率的符号的关系. 通过例2简单问题，从很多学生的不同做法中体会斜率的真正含义，和斜率的作用.
同一个问题，通过变换问题的部分条件和设问方式，在原有的认知冲突消失后，不断出现新的认知冲突，学生的认知状态经历了“平衡—不平衡—平衡—不平衡”的发展过程，使学生的思维处在不断的碰撞、调整、兴奋之中，是学生对问题的认识不断深化，思维水平不断提高. 同一个问题，学生用多种方法解题，扩展了思维，体验到解题时有方法，方法多，方法好，从而树立了学生学习信心，激发了学生的学习积极性，让学生真正成为课堂的主人.
检测促学：
1. 已知过点A（-1，2m）， B（m，m 3）的直线l的斜率为2，则实数m的值为__________.
2. 已知直线l的斜率k=2，直线l上有一点P（2，3），若将点P沿x轴方向右移3个单位，则再沿y轴方向上移__________个单位后，所得到点P1仍在直线上.
[?] 课后反思
1. 让概念的“出场”再迟缓些
这节课概念的引入是一难点，本课作为解析几何起始课，担负着一门学科的入门教育重任. 因此，学生掌握数学概念与否，并不在于他们能够一成不变地记下了有关概念的表述，而是要经历概念建立的过程：概念是怎么来的；体会概念建立的方法；为什么要建立这样的概念（必要性），这样建立概念是合理的吗（可行性），从中体会解析几何这门学科的基本特点，为进一步学好解析几何打下思想方法基础. 著名数学家华罗庚提到：“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.”所谓“退”，就是把一个较复杂的问题“退”到最原始、最简单的问题，再以这些问题为出发点，去解决问题，接受新知. 本节课笔者设计滑梯引入，能为学生提供了丰富的感知认识，并通过学生实际操作，能很快感悟坡度的概念，更有利于学生接下来对新知识的探究，建立新旧知识的矛盾.把握概念的本质属性，完成从具体到一般的抽象，达到概念的自然形成和“一切皆出吾之心”的境界. 从这一点上讲，拉长活动过程，推迟概念“亮相”的时间，不仅是有益的，而且是符合学生认知规律的. 本节课建构斜率的概念，花了二十多分钟的时间，可能稍显长了些，但笔者认为是值得的.
2. 让概念的生成再自然些
学生对概念的建立与掌握，要经历从具体到抽象、从抽象到具体、再从孤立到系统的过程；概念的教学，是数学活动的过程；笔者设计滑梯引入，并让学生动手去改造设计的方案，使滑梯更陡，这样让数学离生活更近些，让学生从生活中更自然地感受到了数学. 让概念的学习，不仅要获取并掌握概念，而且要体验概念形成的过程与方法.建构概念时，教师设计出有梯度，逐渐有难度的问题，可以激起学生探索的热情，让学生在讨论、争辩、交流、补充中寻求解决问题的最佳路径，更自然地得到概念. 在进行课堂小结时，笔者有意让学生用自己的语言去回顾概念建立的过程.学生是学习的主人，教学要突出学生的主体地位，促进学生的主动发现与探究，激发学生的学习热情，发展学生的思维能力；而教师，则是数学教学活动的向导. 从这一点上说，笔者也许做了一点有益的尝试.
3. 让小组合作更主动些
当前课改形式下，学生才是课堂教学的主人，以“学生为主体，教师为主导”的教学模式已经深入了我们的课堂教学. 我们提倡课堂上运用小组合作学习，引导学生小组交流，讨论、互教互学，汇报反馈. 对于新的数学知识，如果只靠教师一人教授，缺少学生的亲身体验，知识内容永远无法为学生所掌握. 而如果只交给学生自己去思考应用，又难免为个人的思维角度不广所限制. 因此，为了突破重难点，笔者主要让学生通过独立思考、自主探索、合作交流、估算验证等学习方式，在思考交流、小组讨论的数学活动中既能够让学生真正触摸到知识本身，又能够让学生在自主实践知识的过程当中互相启发、激发思考，无需教师的主导同样能够实现对知识的深入探究. 但是小组讨论中，教师给学生指明了小组讨论交流的目标和任务，充分把时间留给学生，把讲台留给学生，把发现留给学生，让学生一起分析、猜想、归纳、发现问题的着手点在哪，然后共同学习，互帮互助，发扬教学民主，发挥了学生的主动意识. 这样的课堂就有了生机，有了生命，就能培养出有生命力的学生、有智慧的学生.