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摘要：初中数学中的“圆问题”一直是一个饶有兴趣的课题。因为它切入的角度实在太多，也因为有关它的诸多问题实在是有趣。笔者认为，学习圆问题，趣味引入不可或缺、自主探索不可或缺、探究延伸不可或缺，以此讓学生在摇曳生姿的圆问题的学习中，锻造思维，发展思维，在数学的密林中得到多重淬炼和提升。
关键词：圆问题；趣味引入；自主探索；探究延伸
从小学到中学，“圆问题”一直是数学学习中一个饶有兴趣的课题。因为它切入的角度实在太多，也因为有关它的诸多问题实在是有趣，比如圆有无数个半径和直径；比如从一点、两点或三点画圆，其结果大不一样；比如三角形的外接圆、三角形的外心等概念都与圆有千丝万缕的关系。生活情境中处处有圆的身形，具体操作中处处有圆的影子，诸多设计中离不开一个“圆”所需要的基本要素……那么，如何引领学生走进圆的核心概念深处，让圆的形象渐渐丰满，以此锻造和滋养学生呢？本人认为，学习圆问题，趣味引入不可或缺、自主探索不可或缺、探究延伸不可或缺，以此引领学生在数学的密林中得到多重淬炼和提升。
一、 趣味引入不可或缺
泰戈尔说：“不是槌的打击，而是水的载歌载舞，使鹅卵石臻于完美。”为使教育的目标这枚鹅卵石更完美，教育需要水一样的“载歌载舞”。初中数学教学亦然。尽管初中生相比较于小学生，已经有了更大的自控力，但他们在课堂上的注意力和热情仍然难以持久和集中，这就要求教师必须精心打造水一样的“载歌载舞”的课堂，以此吸引学生，打造趣味课堂。
以下是苏科版九年级数学《确定圆的条件》上课伊始的设计：
1. PPT课件出示：考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，追问学生：你能帮助考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？
2. 多媒体演示一副残轮片，工人师傅要铸造一个和残轮片同样大小的圆轮，需要知道它的半径，你能帮助工人师傅解决这一问题吗？
3. 引领孩子们回忆确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径。然后进一步引领孩子们说说，过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？对于圆来讲，是否也存在由几点确定一个圆的问题呢？
情境“1”中从考古学家的发现引入新课，使关于圆的认知像“盐”一样溶进情境的“汤”中，必将引发孩子们浓浓的兴趣。随后，帮助工人师傅解决残轮片进一步唤醒学生的思维，给学生搭建出施展思维拳脚的平台；再随后，从具体情境到问题产生，从“半径和圆心”这两个圆所具备的最基本的两个条件切入，自然而然引出本节课的所学内容。实践证明，孩子们正是带着对这些情境和问题的不断思考与开掘，“确定圆的条件”等诸多极具内涵的数学问题才得以深刻探讨与深度认知，才推动着孩子们找半径、找直径，找不在同一条直线上的三个点，彼此分享、交流、补充，一步步接近圆的核心概念之中。
二、 自主探索不可或缺
新的课改理念和课程视角下，初中数学课堂究竟是以教师为主体，还是以学生为中心，是以教师的教去激发学生的学，还是以学生的学去促进教师的教，显然，只有后者才是足以称道的。好的数学课堂就是：基于“学”（学习、学生）来设计、实施、改变“教”（教学、教师）。在这个意义上说，教师应充分注重孩子们的自主探索、自主建构和自我反馈，以此激发和培植学生的自主意识和自主能力。
仍然以《确定圆的条件》的教学为例，可以引领孩子们进行以下自主探索：
1. 经过一个点A，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？学生独立思考操作后，请一名学生上黑板作图，其他学生在练习本上作图。（优等生很容易就明白：这样的圆有无数多个，且能说出为什么。但对于学困生而言，肯定也知道能够作出无数个圆，但至于为什么就不一定能说明白，此时可让学困生相互讨论交流后渐渐明白：虽有一个已知点A，但点A以外的任一点都可以为圆心，也就是说任何一点和点A的距离，都可以成为这个圆的半径，半径无数条，自然圆也就有无数个。）
2. 经过两个点A，B如何作圆呢？能作几个？用以上的方法让学生作图。（从一个点画圆到用两个点画圆，由易到难，螺旋上升，训练的不仅仅是学生有序思考问题的习惯，同时也趁此明白作圆的实质是确定圆心和半径。）
3. 经过三个已知点作圆又会怎么样呢？让学生自主作图，自主讨论，自主总结。（三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的三个点两种情况，教师应引领孩子们思考：作圆的关键是什么？在思考的基础上把问题转化为找圆心的问题，最终还得让学生明白：过不在同一直线上的三个点确定一个圆，且是唯一的。）
显然，通过这样的自主探索，远比直接抛给学生“必须过三点才能确定一个圆”的结论更有意思，更有教学价值，更能激发学生探索的兴趣和热情。事实上，放权给学生作图，隐含着我们对于数学教学一种更理想的期盼：“最能获得实践效果的东西是，在操作中去洞悉我们内心发生的事。”为此，教师需要通过充分地放权，让学生获得真正的实践效果。
三、 探究延伸不可或缺
好的数学课堂不满足于当下，当拘囿在课堂，不止步于教材，而是引领学生在更广的层面上进行探究延伸。就《确定圆的条件》而言，感受“圆”的神奇魅力，不仅仅是情境中的“圆”，不仅仅是自主合作中的“圆”，同时也应该是探究延伸中的“圆”。
比如，《确定圆的条件》进行到最后，可以设计以下拓展题：
1. 请找出一个圆的圆心，并写出你找圆心的方法？有几种方法？
2. 市里决定要建一个圆形公园，其中里面包括三个建筑点：儿童游乐场、旱冰场和人工湖，要求是这个圆形的面积最小，同时这三个建筑点不在同一条直线上，请你给出这个公园的施工图。
3. 某市在一块空地新建了三个学区房居民小区，但这三个小区不在同一直线上。其中打算在这中间新建一所中学。假如这所中学到三个小区的距离都相等，那么这所中学建在什么样的位置？该如何确定这个位置呢？
可以看出，正是对“你有几种找圆心的方法”的追问，才让学生在探究完三个点作圆以后，思维上有进一步的延续：可以将圆一次又一次地对折找到圆心，也可以做垂直平分线找到圆心，也可以……总之，这样的探索让学生渐渐明白，找圆心并不是只有一种方法，条条大道通罗马。找圆心如此，解决其他问题何尝不是如此呢？这样的一种举一反三、由此及彼的数学思想，不正是新课改理念下数学课堂所孜孜以求的理想境界吗？
随后，“建一个圆形公园和新建一所中学”的课外拓展，让孩子们从理论的高坛上下来，切切实实进入到实践的层面，从具体的实践中印证所学所得，并在实践中进一步提高思维的开放性和创造性，这不仅仅是理论层面的拓展延伸，也是实践层面的拓展延伸。这样的延伸让课堂受益，让学生受益，让学生走得更远，收获得更多。
从最初的“情境中的圆”到“自主探索中的圆”，再到“探究延伸中的圆”，随着学习氛围的不断高涨，随着学习空间的不断敞开，学生不仅仅轻松地走进了有关圆的核心概念之中，而且积累了“过不在同一条直线上的三点作圆”的经验，同时形成了解决有关圆问题的一些基本策略、方法和思路，生与生之间的自主合作能力也得到了进一步的提高。或许，重要的已不仅仅是“确定圆的条件”这一知识本身，实践过程中所折射出的自主合作意识、探索性经验的积累、思想的领悟和扩展，构筑起更加丰富多彩的学习时空，而这恰恰是数学教学更加需要的境界。
参考文献：
[1]王荣.做水还是做槌[J].教师月刊，2016，（8）：14.
[2]林茶居.文晖中学的课堂辩证法[J].教师月刊，2013，（1）：18.
[3][美]帕克·帕默尔.教学勇气——漫步教师心灵[M].上海：华东师范大学出版社，2014：158.
作者简介：
李雪静，江苏省苏州市吴中区木渎实验中学。
关键词：圆问题；趣味引入；自主探索；探究延伸
从小学到中学，“圆问题”一直是数学学习中一个饶有兴趣的课题。因为它切入的角度实在太多，也因为有关它的诸多问题实在是有趣，比如圆有无数个半径和直径；比如从一点、两点或三点画圆，其结果大不一样；比如三角形的外接圆、三角形的外心等概念都与圆有千丝万缕的关系。生活情境中处处有圆的身形，具体操作中处处有圆的影子，诸多设计中离不开一个“圆”所需要的基本要素……那么，如何引领学生走进圆的核心概念深处，让圆的形象渐渐丰满，以此锻造和滋养学生呢？本人认为，学习圆问题，趣味引入不可或缺、自主探索不可或缺、探究延伸不可或缺，以此引领学生在数学的密林中得到多重淬炼和提升。
一、 趣味引入不可或缺
泰戈尔说：“不是槌的打击，而是水的载歌载舞，使鹅卵石臻于完美。”为使教育的目标这枚鹅卵石更完美，教育需要水一样的“载歌载舞”。初中数学教学亦然。尽管初中生相比较于小学生，已经有了更大的自控力，但他们在课堂上的注意力和热情仍然难以持久和集中，这就要求教师必须精心打造水一样的“载歌载舞”的课堂，以此吸引学生，打造趣味课堂。
以下是苏科版九年级数学《确定圆的条件》上课伊始的设计：
1. PPT课件出示：考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，追问学生：你能帮助考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？
2. 多媒体演示一副残轮片，工人师傅要铸造一个和残轮片同样大小的圆轮，需要知道它的半径，你能帮助工人师傅解决这一问题吗？
3. 引领孩子们回忆确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径。然后进一步引领孩子们说说，过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？对于圆来讲，是否也存在由几点确定一个圆的问题呢？
情境“1”中从考古学家的发现引入新课，使关于圆的认知像“盐”一样溶进情境的“汤”中，必将引发孩子们浓浓的兴趣。随后，帮助工人师傅解决残轮片进一步唤醒学生的思维，给学生搭建出施展思维拳脚的平台；再随后，从具体情境到问题产生，从“半径和圆心”这两个圆所具备的最基本的两个条件切入，自然而然引出本节课的所学内容。实践证明，孩子们正是带着对这些情境和问题的不断思考与开掘，“确定圆的条件”等诸多极具内涵的数学问题才得以深刻探讨与深度认知，才推动着孩子们找半径、找直径，找不在同一条直线上的三个点，彼此分享、交流、补充，一步步接近圆的核心概念之中。
二、 自主探索不可或缺
新的课改理念和课程视角下，初中数学课堂究竟是以教师为主体，还是以学生为中心，是以教师的教去激发学生的学，还是以学生的学去促进教师的教，显然，只有后者才是足以称道的。好的数学课堂就是：基于“学”（学习、学生）来设计、实施、改变“教”（教学、教师）。在这个意义上说，教师应充分注重孩子们的自主探索、自主建构和自我反馈，以此激发和培植学生的自主意识和自主能力。
仍然以《确定圆的条件》的教学为例，可以引领孩子们进行以下自主探索：
1. 经过一个点A，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？学生独立思考操作后，请一名学生上黑板作图，其他学生在练习本上作图。（优等生很容易就明白：这样的圆有无数多个，且能说出为什么。但对于学困生而言，肯定也知道能够作出无数个圆，但至于为什么就不一定能说明白，此时可让学困生相互讨论交流后渐渐明白：虽有一个已知点A，但点A以外的任一点都可以为圆心，也就是说任何一点和点A的距离，都可以成为这个圆的半径，半径无数条，自然圆也就有无数个。）
2. 经过两个点A，B如何作圆呢？能作几个？用以上的方法让学生作图。（从一个点画圆到用两个点画圆，由易到难，螺旋上升，训练的不仅仅是学生有序思考问题的习惯，同时也趁此明白作圆的实质是确定圆心和半径。）
3. 经过三个已知点作圆又会怎么样呢？让学生自主作图，自主讨论，自主总结。（三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的三个点两种情况，教师应引领孩子们思考：作圆的关键是什么？在思考的基础上把问题转化为找圆心的问题，最终还得让学生明白：过不在同一直线上的三个点确定一个圆，且是唯一的。）
显然，通过这样的自主探索，远比直接抛给学生“必须过三点才能确定一个圆”的结论更有意思，更有教学价值，更能激发学生探索的兴趣和热情。事实上，放权给学生作图，隐含着我们对于数学教学一种更理想的期盼：“最能获得实践效果的东西是，在操作中去洞悉我们内心发生的事。”为此，教师需要通过充分地放权，让学生获得真正的实践效果。
三、 探究延伸不可或缺
好的数学课堂不满足于当下，当拘囿在课堂，不止步于教材，而是引领学生在更广的层面上进行探究延伸。就《确定圆的条件》而言，感受“圆”的神奇魅力，不仅仅是情境中的“圆”，不仅仅是自主合作中的“圆”，同时也应该是探究延伸中的“圆”。
比如，《确定圆的条件》进行到最后，可以设计以下拓展题：
1. 请找出一个圆的圆心，并写出你找圆心的方法？有几种方法？
2. 市里决定要建一个圆形公园，其中里面包括三个建筑点：儿童游乐场、旱冰场和人工湖，要求是这个圆形的面积最小，同时这三个建筑点不在同一条直线上，请你给出这个公园的施工图。
3. 某市在一块空地新建了三个学区房居民小区，但这三个小区不在同一直线上。其中打算在这中间新建一所中学。假如这所中学到三个小区的距离都相等，那么这所中学建在什么样的位置？该如何确定这个位置呢？
可以看出，正是对“你有几种找圆心的方法”的追问，才让学生在探究完三个点作圆以后，思维上有进一步的延续：可以将圆一次又一次地对折找到圆心，也可以做垂直平分线找到圆心，也可以……总之，这样的探索让学生渐渐明白，找圆心并不是只有一种方法，条条大道通罗马。找圆心如此，解决其他问题何尝不是如此呢？这样的一种举一反三、由此及彼的数学思想，不正是新课改理念下数学课堂所孜孜以求的理想境界吗？
随后，“建一个圆形公园和新建一所中学”的课外拓展，让孩子们从理论的高坛上下来，切切实实进入到实践的层面，从具体的实践中印证所学所得，并在实践中进一步提高思维的开放性和创造性，这不仅仅是理论层面的拓展延伸，也是实践层面的拓展延伸。这样的延伸让课堂受益，让学生受益，让学生走得更远，收获得更多。
从最初的“情境中的圆”到“自主探索中的圆”，再到“探究延伸中的圆”，随着学习氛围的不断高涨，随着学习空间的不断敞开，学生不仅仅轻松地走进了有关圆的核心概念之中，而且积累了“过不在同一条直线上的三点作圆”的经验，同时形成了解决有关圆问题的一些基本策略、方法和思路，生与生之间的自主合作能力也得到了进一步的提高。或许，重要的已不仅仅是“确定圆的条件”这一知识本身，实践过程中所折射出的自主合作意识、探索性经验的积累、思想的领悟和扩展，构筑起更加丰富多彩的学习时空，而这恰恰是数学教学更加需要的境界。
参考文献：
[1]王荣.做水还是做槌[J].教师月刊，2016，（8）：14.
[2]林茶居.文晖中学的课堂辩证法[J].教师月刊，2013，（1）：18.
[3][美]帕克·帕默尔.教学勇气——漫步教师心灵[M].上海：华东师范大学出版社，2014：158.
作者简介：
李雪静，江苏省苏州市吴中区木渎实验中学。