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【摘要】物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物，借助数学方法可以使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，达到快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的求解过程离不开数学知识和方法的应用，随着近几年全国卷物理高考对数学要求越来越高，让学生掌握必备的数学物理方法势在必行。
【关键词】数学方法;解决;物理问题
数学方法在物理解题中的应用是非常普遍的，从近几年的高考可以看出，明显加强了数学方法解决物理问题的考查。我们在物理教学中不仅要培养学生的基本运算能力，同时也要学生掌握几种常见的数学方法。例如，通过图像提取物理信息，函数求极值，不等式求极值，几何法分析三力平衡等。下面笔者谈谈几种常见的数学方法在物理解题中的应用。
一、用图像法解决物理问题。
图像在解决物理问题中经常用到，比如，运动学里面的V-t图，S-t图，a-t图等。电学实验中经常使用到U-I图，我们通过图像可以直观地得出物理规律。一些复杂的物理问题很快就可以迎刃而解。比如通过V-t图分析追及相遇问题，使多次相遇问题可以通过图像直观展现出来。
教学案例1用图像法解决交变电场问题。
例1.如图1（a）所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上则t0可能属于的时间段是（ ）
问题分析，此题是一道交变电场题，如果按照常规思维则学生会去研究粒子的具体运动过程，但是题目没有给出明确的释放粒子时刻，因此没法分析粒子具体的运动过程。我们如果画出某些特殊时刻开始释放粒子的V-t图，我们就可以直观地看出图像是如何变化的。
具体解题过程如下：设粒子的速度方向、位移方向向右为正，依题意知，粒子的速度方向时而为正，时而为负，最终打在A板上时位移为负，速度方向为负。分别作出t0=0、、、时粒子运动的V-t图象，如图2所示，由于v-t图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图象知，0T时情况类似。因粒子最终打在A板上，则要求粒子在每个周期内的总位移应小于零，对照各项可知B正确。
二、用数学函数解决物理极值问题
1.用二次函数求某些物理量的最值
教学案例2 用二次函数求极值解决平抛水平距离最大问题。
例2.如图3，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度大小为g）（ ）
问题分析，此题是2017年全国高考II卷的第17题，属于竖直方向上的圆周运动与平抛运动结合求平抛运动水平最大距离综合问题。解决此题主要是写出平抛水平距离的表达式，写出表达式x=2会发现更好里面是个关于半径r的二次函数，当当r= 对称轴时，x最大。
具体解题过程如下：小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得mv2=2mgr+mv12，小物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x=v1t，t=2，联立解得，x=2，
由数学知识可知，当r = 时，x最大，故选项B正确。
2.用三角函数解决物理极值问题
例4.如图4所示，一质量m=0.4 kg的小物块，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2 s的时间物块由A点运动到B点，物块在A点的速度为v0=2 m/s，A、B之间的距离L=10 m.已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=，重力加速度g取10 m/s2 .
（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。
（2）拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
问题分析，本题中第二问如果用三角函数的辅助角公式就可以很好第求出拉力F的最小值。因为是沿斜面匀加速向上运动，根据牛顿第二定律列出有关F的方程，结合垂直斜面方向的力的平衡方程。然后得到拉力F与夹角ɑ（ɑ为拉力F与斜面的夹角）关系。最后问题就可以轻易解决了。
具体解题过程如下（1）设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得
①
②
联立①②式，代入数据得
a=3 m/s2 ③
v=8 m/s ④
（2）设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得
Fcos α-mgsin θ-Ff=ma ⑤
Fsin α+FN-mgcos θ=0 ⑥
又Ff=μFN ⑦
联立⑤⑥⑦式得
F= ⑧
由数学知识得cos α+sin α=sin（60o+α） ⑨
由⑧⑨式可知对应F最小时与斜面间的夹角α=30° ⑩
联立③⑧⑩式，代入數据得F的最小值为Fmin=N
三、用几何法解决物理问题
例5.如图9所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可不计），B端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前（ ）
A.绳子拉力不变 B.绳子拉力减小
C.AB杆受力增大 D.AB杆受力不变
问题分析，此题是高中物理教学中常用例子，此类问题有一个共同点是总数有个力绕某支点在转动，比如，某小球在某圆表面缓慢沿圆弧移动。往往通过与受力相似的三角形边长变化确定受力三角形各力的变化情况。
具体解题过程如下：以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力FT1（等于重物的重力G）、轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT2，作出受力图如图所示：
由平衡条件得，FN和FT2的合力与FT1大小相等、方向相反，根据三角形相似可得：
又F=FT2
解得：FN=·G，F=·G
∠BAO缓慢变小时，AB、AO保持不变，BO变小，则FN保持不变，F变小。故选项B、D正确。
总之，物理与数学存在着紧密的联系，随着数学方法在高中物理的广泛应用。巧用数学方法解决物理问题有助于革新物理教学理念，更有利于新高考的备考。
参考文献：
[1]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程力学（第二版）[M].高等教育出版社，2012.
责任编辑 钟春雪
【关键词】数学方法;解决;物理问题
数学方法在物理解题中的应用是非常普遍的，从近几年的高考可以看出，明显加强了数学方法解决物理问题的考查。我们在物理教学中不仅要培养学生的基本运算能力，同时也要学生掌握几种常见的数学方法。例如，通过图像提取物理信息，函数求极值，不等式求极值，几何法分析三力平衡等。下面笔者谈谈几种常见的数学方法在物理解题中的应用。
一、用图像法解决物理问题。
图像在解决物理问题中经常用到，比如，运动学里面的V-t图，S-t图，a-t图等。电学实验中经常使用到U-I图，我们通过图像可以直观地得出物理规律。一些复杂的物理问题很快就可以迎刃而解。比如通过V-t图分析追及相遇问题，使多次相遇问题可以通过图像直观展现出来。
教学案例1用图像法解决交变电场问题。
例1.如图1（a）所示，两平行正对的金属板A、B间加有如图（b）所示的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间P处。若在t0时刻释放该粒子，粒子会时而向A板运动，时而向B板运动，并最终打在A板上则t0可能属于的时间段是（ ）
问题分析，此题是一道交变电场题，如果按照常规思维则学生会去研究粒子的具体运动过程，但是题目没有给出明确的释放粒子时刻，因此没法分析粒子具体的运动过程。我们如果画出某些特殊时刻开始释放粒子的V-t图，我们就可以直观地看出图像是如何变化的。
具体解题过程如下：设粒子的速度方向、位移方向向右为正，依题意知，粒子的速度方向时而为正，时而为负，最终打在A板上时位移为负，速度方向为负。分别作出t0=0、、、时粒子运动的V-t图象，如图2所示，由于v-t图线与时间轴所围面积表示粒子通过的位移，则由图象知，0
二、用数学函数解决物理极值问题
1.用二次函数求某些物理量的最值
教学案例2 用二次函数求极值解决平抛水平距离最大问题。
例2.如图3，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度大小为g）（ ）
问题分析，此题是2017年全国高考II卷的第17题，属于竖直方向上的圆周运动与平抛运动结合求平抛运动水平最大距离综合问题。解决此题主要是写出平抛水平距离的表达式，写出表达式x=2会发现更好里面是个关于半径r的二次函数，当当r= 对称轴时，x最大。
具体解题过程如下：小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得mv2=2mgr+mv12，小物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x=v1t，t=2，联立解得，x=2，
由数学知识可知，当r = 时，x最大，故选项B正确。
2.用三角函数解决物理极值问题
例4.如图4所示，一质量m=0.4 kg的小物块，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2 s的时间物块由A点运动到B点，物块在A点的速度为v0=2 m/s，A、B之间的距离L=10 m.已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=，重力加速度g取10 m/s2 .
（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。
（2）拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
问题分析，本题中第二问如果用三角函数的辅助角公式就可以很好第求出拉力F的最小值。因为是沿斜面匀加速向上运动，根据牛顿第二定律列出有关F的方程，结合垂直斜面方向的力的平衡方程。然后得到拉力F与夹角ɑ（ɑ为拉力F与斜面的夹角）关系。最后问题就可以轻易解决了。
具体解题过程如下（1）设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得
①
②
联立①②式，代入数据得
a=3 m/s2 ③
v=8 m/s ④
（2）设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得
Fcos α-mgsin θ-Ff=ma ⑤
Fsin α+FN-mgcos θ=0 ⑥
又Ff=μFN ⑦
联立⑤⑥⑦式得
F= ⑧
由数学知识得cos α+sin α=sin（60o+α） ⑨
由⑧⑨式可知对应F最小时与斜面间的夹角α=30° ⑩
联立③⑧⑩式，代入數据得F的最小值为Fmin=N
三、用几何法解决物理问题
例5.如图9所示，质量均可忽略的轻绳与轻杆，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可不计），B端吊一重物。现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力F将B端缓慢上拉，在AB杆达到竖直前（ ）
A.绳子拉力不变 B.绳子拉力减小
C.AB杆受力增大 D.AB杆受力不变
问题分析，此题是高中物理教学中常用例子，此类问题有一个共同点是总数有个力绕某支点在转动，比如，某小球在某圆表面缓慢沿圆弧移动。往往通过与受力相似的三角形边长变化确定受力三角形各力的变化情况。
具体解题过程如下：以B点为研究对象，分析受力情况：重物的拉力FT1（等于重物的重力G）、轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT2，作出受力图如图所示：
由平衡条件得，FN和FT2的合力与FT1大小相等、方向相反，根据三角形相似可得：
又F=FT2
解得：FN=·G，F=·G
∠BAO缓慢变小时，AB、AO保持不变，BO变小，则FN保持不变，F变小。故选项B、D正确。
总之，物理与数学存在着紧密的联系，随着数学方法在高中物理的广泛应用。巧用数学方法解决物理问题有助于革新物理教学理念，更有利于新高考的备考。
参考文献：
[1]漆安慎，杜婵英.普通物理学教程力学（第二版）[M].高等教育出版社，2012.
责任编辑 钟春雪