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学是具有方法论意义的学科。在数学教学中，数学思想方法蕴含其中，相对于知识的教学，数学思想和数学方法的传授则渗透其间。数学思想作为数学的灵魂和精髓，它是理解数学概念，掌握数学技能，训练思维品质，形成数学精神的核心，有了它才意味着真正拥有数学。因此，教师在传授数学知识的过程中，尤其要指导学生真正理解和应用数学思想方法。例如：二次函数教学中所蕴含的数形结合思想，这是帮助学生深入了解数形关系，并运用数形结合思想解决数学问题的契机，教师可抓住这个机会，让学生从中发现和认识数形关系，学习和掌握数学思想。
数形结合思想是数学思想方法之一。早在学生“识数”时，就有了这一思想的萌芽，开始将具体的模型与抽象的数联系起来，产生数的“形象”。随着学习的深入和知识的积累，数形结合思想被逐步用来指导解决数学问题。在初中二次函数教学中，数形结合思想方法得到进一步渗透并被广泛运用。学生从类似“一元二次方程ax2+bx+c=0的实根和二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交点的关系”、“二次函数y=ax2+bx+c的图象分布情况与一元二次不等式ax2+bx+c﹥0(或ax2+bx+c﹤0，或ax2+bx+c≠0等)解集的关系”、“二次函数中其自变量在规定的取值范围内函数的最值问题”等问题中，开始由狭隘的、具体的、形象的数形结合发展到具有一定的数形结合思想，并在具体的数学内容中渗透和贯穿数学思想，解决数学问题，从根本上提高数学素质。这其中教师的“引航”作用很重要。在教学中设置适当的铺垫、创设问题的情境，让学生从中体验到发现的兴奋，使思维过程达到更高层次，教学中应注意下列三个环节：
“读懂图”—— 这是运用数形结合思想构建问题的基础
二次函数及其图象性质内容，是教学中的重点和难点，要训练学生对其中文字语言、图象语言和符号语言的表述和理解， 读懂图，会看图说话，会根据图形或关系式构建数学问题，把“数”与“形”联系起来，为掌握二次函数图象性质及其应用打下基础。
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下所示，根据图象表述和构建问题(让学生充分想象)。
例2 设y与x之间的函数关系为y=f(x)，对自变量x在其允许值范围由特定的一个值m，其对应的函数值就记为f(m)：
(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a﹥0)，作出满足下列各组条件的函数f(x)的图象的示意图，其中f(m)出现了f(0)，f(1)两种情形。
(2)根据以上各组所画的示意图，写出一元二次方程ax2+bx+c=0的根的取值范围。(文字语言)
(A)方程有两个不相等的实数根，且有一根0﹤x1﹤1，另一根x2﹥1；
(B)方程有两个不相等的正实数根；
(C)方程有两个不相等的实数根，且0﹤x1﹤x2﹤1。
“选择载体”——这是运用数形结合思想分析问题的关键
在数与形之间建立桥梁关系，使数形结合思想获得成功，需要根据条件，选择恰当的“载体”，促使数与形合理结合而不是生搬硬套，这就必须对二次函数概念有较深刻的理解，真正领会数形思想的内涵，找到解题的突破口。常常是“形”为“教”的载体，而“教”又为“形”的载体。
例3 解不等式2x2-3x+1﹥0的解集。
以二次函数y=2x2-3x+1的图象作“载体”，其在x轴上方的图象中所对应的所有的x的值即为所求的不等式的解集。
例4 若直线y=5x+m与抛物线y=x2+3x+5相交于两点，求m的取值范围。
解题突破口在于“两个图象的交点即两个图象的公共部分”，其代数语言表述为“两个方程的公共解”，故可求方程组的解。由于交点有两个，所以，所列方程组有两个不相等的解。因此再将方程组化为一元二次方程x2+3x+5=5x+m，即方程x2-2x+(5-m)=0，将问题转化为“求一元二次方程有两个不相等的实根的条件”。然后运用“判别式△﹥0”这个载体可获得解。
“转换关系”——这是运用数形结合思想解决问题的途径
运用数形结合思想解决问题，归根到底，就是要寻找解题的钥匙和途径，变难为易，变繁为简，如例1中所要构建的问题可由关系式b2-4ac﹥0(a≠0)解决；图2提出的问题可转化到由关系式组来获得。
例5 实数a在什么范围内取值时，关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于-2，而小于0；另一个根大于1而小于3？
这个问题如果单纯地从一元二次方程根与系数的关系去考虑，解题比较麻烦且不易求解。但如果用数形结合思想，将问题转化为“二次函数y=3x2-5x+a与x轴相交于两点(x1，0)，(x2，0)，且-2﹤x1﹤0，1﹤x2﹤3，求a的取值范围”。即用数形结合思想来考虑就要方便多了。可从图形角度入手，记f(m)为当x=m时的函数值。则根据图形分析，该题可通过解下列不等式组：的解集，求得a的取值范围。
图7
其实，数形结合思想的运用在教材中有很多事例，而数学思想更是渗透在各个知识点内。要让学生在潜移默化中运用数学思想方法，掌握解决问题的杠杆，发展思维和个性，提高创新思维的水平。
（作者单位：湖北省郧西县上津镇初级中学）
数形结合思想是数学思想方法之一。早在学生“识数”时，就有了这一思想的萌芽，开始将具体的模型与抽象的数联系起来，产生数的“形象”。随着学习的深入和知识的积累，数形结合思想被逐步用来指导解决数学问题。在初中二次函数教学中，数形结合思想方法得到进一步渗透并被广泛运用。学生从类似“一元二次方程ax2+bx+c=0的实根和二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交点的关系”、“二次函数y=ax2+bx+c的图象分布情况与一元二次不等式ax2+bx+c﹥0(或ax2+bx+c﹤0，或ax2+bx+c≠0等)解集的关系”、“二次函数中其自变量在规定的取值范围内函数的最值问题”等问题中，开始由狭隘的、具体的、形象的数形结合发展到具有一定的数形结合思想，并在具体的数学内容中渗透和贯穿数学思想，解决数学问题，从根本上提高数学素质。这其中教师的“引航”作用很重要。在教学中设置适当的铺垫、创设问题的情境，让学生从中体验到发现的兴奋，使思维过程达到更高层次，教学中应注意下列三个环节：
“读懂图”—— 这是运用数形结合思想构建问题的基础
二次函数及其图象性质内容，是教学中的重点和难点，要训练学生对其中文字语言、图象语言和符号语言的表述和理解， 读懂图，会看图说话，会根据图形或关系式构建数学问题，把“数”与“形”联系起来，为掌握二次函数图象性质及其应用打下基础。
例1 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下所示，根据图象表述和构建问题(让学生充分想象)。
例2 设y与x之间的函数关系为y=f(x)，对自变量x在其允许值范围由特定的一个值m，其对应的函数值就记为f(m)：
(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a﹥0)，作出满足下列各组条件的函数f(x)的图象的示意图，其中f(m)出现了f(0)，f(1)两种情形。
(2)根据以上各组所画的示意图，写出一元二次方程ax2+bx+c=0的根的取值范围。(文字语言)
(A)方程有两个不相等的实数根，且有一根0﹤x1﹤1，另一根x2﹥1；
(B)方程有两个不相等的正实数根；
(C)方程有两个不相等的实数根，且0﹤x1﹤x2﹤1。
“选择载体”——这是运用数形结合思想分析问题的关键
在数与形之间建立桥梁关系，使数形结合思想获得成功，需要根据条件，选择恰当的“载体”，促使数与形合理结合而不是生搬硬套，这就必须对二次函数概念有较深刻的理解，真正领会数形思想的内涵，找到解题的突破口。常常是“形”为“教”的载体，而“教”又为“形”的载体。
例3 解不等式2x2-3x+1﹥0的解集。
以二次函数y=2x2-3x+1的图象作“载体”，其在x轴上方的图象中所对应的所有的x的值即为所求的不等式的解集。
例4 若直线y=5x+m与抛物线y=x2+3x+5相交于两点，求m的取值范围。
解题突破口在于“两个图象的交点即两个图象的公共部分”，其代数语言表述为“两个方程的公共解”，故可求方程组的解。由于交点有两个，所以，所列方程组有两个不相等的解。因此再将方程组化为一元二次方程x2+3x+5=5x+m，即方程x2-2x+(5-m)=0，将问题转化为“求一元二次方程有两个不相等的实根的条件”。然后运用“判别式△﹥0”这个载体可获得解。
“转换关系”——这是运用数形结合思想解决问题的途径
运用数形结合思想解决问题，归根到底，就是要寻找解题的钥匙和途径，变难为易，变繁为简，如例1中所要构建的问题可由关系式b2-4ac﹥0(a≠0)解决；图2提出的问题可转化到由关系式组来获得。
例5 实数a在什么范围内取值时，关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根大于-2，而小于0；另一个根大于1而小于3？
这个问题如果单纯地从一元二次方程根与系数的关系去考虑，解题比较麻烦且不易求解。但如果用数形结合思想，将问题转化为“二次函数y=3x2-5x+a与x轴相交于两点(x1，0)，(x2，0)，且-2﹤x1﹤0，1﹤x2﹤3，求a的取值范围”。即用数形结合思想来考虑就要方便多了。可从图形角度入手，记f(m)为当x=m时的函数值。则根据图形分析，该题可通过解下列不等式组：的解集，求得a的取值范围。
图7
其实，数形结合思想的运用在教材中有很多事例，而数学思想更是渗透在各个知识点内。要让学生在潜移默化中运用数学思想方法，掌握解决问题的杠杆，发展思维和个性，提高创新思维的水平。
（作者单位：湖北省郧西县上津镇初级中学）