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摘要：导数和积分是微积分学中最重要的两个概念，它们是研究函数和解决众多实际问题的重要工具。新教材引进导数之后，把同学们引入一个充满活力的领域，在这里同学们将进一步领悟辩证的思维方式，用微观去驾驭宏观，从变量关系层面去把握事物变化的数学本质，并学习运用导数解答现实生活中的问题。导数的引入也为中学数学注入了新的活力，它在函数的单调性、极值、最值等方面有着广泛的应用，还可以证明不等式，求曲线的切线方程等等。导数的应用一直是高考试题的重点和热点之一。而学生在导数的应用中疑点较多，本文对几类常见问题进行剖析和探究，以期引起大家的注意。
关键词：导数 极值 单调性 切线方程
引言：在教学中，同学们将通过实际问题理解导数的概念，并学习求一些初等函数的导数，并利用它们去解决一些实际问题。本文就一些实际例子给出了导数的几个应用：利用导数求切线方程；求函数的单调性、极值及最值；确定方程根的个数；利用导数解决与不等式及与数列有关的问题。使学生深刻体会导数在高中数学中的重要作用，也为今后进一步学习微积分学打下良好的基础。同时通过导数的学习，可以体会用微观驾驭宏观的辩证思维方法，领略微积分学文化价值。
（一） 导数的第一个应用是用导数来求函数的切线方程
问题1、“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有区别吗？
例1、已知曲线 上一点 . 求在点 处的切线方程。
大多数学生能迅速找到解题思路，并得到正确结果： .
变式：已知曲线 上一点 ，求过点 的切线方程。
解：设切点为Q ，则切线 的方程为 又点 在切线
上，所以 整理，得 ，
所以 于是 切线 的方程为 ， .
解析：“曲线在点 处的切线”只有一条，且 为切点；“曲线过点 处的切线”有两条， 不一定是切点。
问题2、切线的条数问题——以切点 为未知数的方程的根的个数
例2、已知函数 在点 处取得极小值-4，使其导数 的 的取值范围为 ，求：（1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围.
解：（1）由题意得：
∴在 上 ；在 上 ；在 上
因此 在 处取得极小值 ∴ ①， ②， ③，由①②③联立得： ，∴
（2）设切点Q ，
过点 ， ，
令 ，求得： ，方程 有三个根，需：
故： ，因此所求实数 的范围为：
（二）导数的第二个应用是利用导数判断函数的单调性
1、一般地，设函数 在某个区间内可导， ，且方程 的解是离散的，是 在该区间上为增函数的充要条件； ，且方程 的解是离散的， 是 在该区间上为减函数的充要条件.
2、单调区间的端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。
3、不要忽视函数的定义域。
例3、 求函数 的单调递增区间。
解：定义域为 ， 若使 则
所以 单调递增区间是 。
评注： 函数的单调性是函数性质的核心，是高考必考内容，强调求函数的单调区间时，不忘记先求定义域。
4、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为 在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想），首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
例4、已知函数
（I）求 的单调区间；
（II）若 在[0，1]上单调递增，求 的取值范围。（子集思想）
解：（I）
1、 当且仅当 时取“=”号，
所以 单调递增。
2、
单调增区间：
单调减区间：
（II） 则 是上述增区间的子集：
1、 时， 单调递增 ，符合题意
2、 ，
综上， 的取值范围是 。
（三）导数的第三个应用是用来求函数的极值及最值
1、若 为可导函数 的极值点，则 ，这里一定要强调可导，否则命题不成立。
2、若 = 0，且函数 在 处两侧的导数值符号相反，则函数 在 处有极值。
例5、已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）令 有且仅有3个极值点，求 的取值范围.
解：（1）
当 时，令 解得 ，令 解得 ，
所以 的递增区间为 ，递减区间为 .
当 时，同理可得 的递增区间为 ，递减区间为 .
（2） 有且仅有3个极值点
=0有3个根，则 或 ，
方程 有两个非零实根，∴ 或
∴当 或 时，函数 有且仅有3个极值点
例6、已知定义在 上的函数 在区间 上的最大值是5，最小值是-11，求函数 的解析式；
解：
令 =0，得 ， ∵ ，所以可得下表：
0
+ 0 -
↗ 极大 ↘
因此 必为最大值，∴ 因此 ， ，
即 ，∴ ，∴
（四）导数的第四个应用是用来求函数的根的个数
函数 与 （或与 轴）的交点——即方程根的个数问题
例7、已知函数 ，（1）若函数 在 处取得极值，且 ，求 的值及 的单调区间；
（2）若 ，讨论曲线 与 的交点个数. 解：（1）
，
令 得 ；令 得
∴ 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
（2）由题 得
即 ，令
令 得 或 ， ，当 即 时
-
此时， ， ，有一个交点；
当 即 时，
+
—
，∴当 即 时，有一个交点；
当 ，即 时，有两个交点；
当 时， ，有一个交点
综上可知，当 或 时，有一个交点； 当 时，有两个交点
（五）利用导数解决与不等式有关的问题
1、证明不等式：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。
例8、 时，求证；
证明：设 ， 则
∵ ，∴ ，故 在 上递减，
∴ 时， ，即 成立。
2、不等式恒成立
常见处理方法有两种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0，=0，<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
例9 、设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间 上， 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数”，已知实数 是常数，
（1）若 在区间 上为“凸函数”，求 的取值范围；
（2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数”，求 的最大值.
解：由函数 ， 得
（1） 在区间 上为“凸函数”， 在区间[0，3]上恒成立 .解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于
解法二：分离变量法：
∵ 当 时， 恒成立，
当 时， 恒成立，等价于 的最大值
（ ）恒成立，而 （ ）是增函数，
则
（2）∵当 时 在区间 上都为“凸函数” ，
则等价于当 时 恒成立 .
再等价于 在 恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
3、利用导数解不等式
例10、函数 ，解不等式
解：由题意知
① ∴ 时， 恒成立，故 在 上单调递减，又 ，所以 时 ，即 时 的解为
② 时，若
则 ，
时，解得 ，
时，解得 ，故 在 上单调递减， 在 上单调递增，又 时，解得 或 ，所以 的解集为 。
（六）利用导数解决与数列有关问题
例11、数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，总有 成等差数列. （1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且 ，求证：对任意实数 是常数， =2.71828…）和任意正整数 ，总有 ；
（3）在正数数列 中， .求数列 中的最大项.
解：（1）由已知：对于 ，总有 成立…（1）
…（2）， 由（1）—（2）得
均为正数，
数列 是公差为1的等差数列， 又 时， ，解得
（2）证明： 对任意实数 和任意正整数 ，总有
（3）解：由已知 ， ，
， ， 易得
猜想 时， 是递减数列 ，令 ，则
当 时， ，则 ，即 在 内为单调递减函数， 由 知 时， 是递减数列，即 是递减数列，
又 ， 数列 中的最大项为 。
关键词：导数 极值 单调性 切线方程
引言：在教学中，同学们将通过实际问题理解导数的概念，并学习求一些初等函数的导数，并利用它们去解决一些实际问题。本文就一些实际例子给出了导数的几个应用：利用导数求切线方程；求函数的单调性、极值及最值；确定方程根的个数；利用导数解决与不等式及与数列有关的问题。使学生深刻体会导数在高中数学中的重要作用，也为今后进一步学习微积分学打下良好的基础。同时通过导数的学习，可以体会用微观驾驭宏观的辩证思维方法，领略微积分学文化价值。
（一） 导数的第一个应用是用导数来求函数的切线方程
问题1、“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有区别吗？
例1、已知曲线 上一点 . 求在点 处的切线方程。
大多数学生能迅速找到解题思路，并得到正确结果： .
变式：已知曲线 上一点 ，求过点 的切线方程。
解：设切点为Q ，则切线 的方程为 又点 在切线
上，所以 整理，得 ，
所以 于是 切线 的方程为 ， .
解析：“曲线在点 处的切线”只有一条，且 为切点；“曲线过点 处的切线”有两条， 不一定是切点。
问题2、切线的条数问题——以切点 为未知数的方程的根的个数
例2、已知函数 在点 处取得极小值-4，使其导数 的 的取值范围为 ，求：（1） 的解析式；（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围.
解：（1）由题意得：
∴在 上 ；在 上 ；在 上
因此 在 处取得极小值 ∴ ①， ②， ③，由①②③联立得： ，∴
（2）设切点Q ，
过点 ， ，
令 ，求得： ，方程 有三个根，需：
故： ，因此所求实数 的范围为：
（二）导数的第二个应用是利用导数判断函数的单调性
1、一般地，设函数 在某个区间内可导， ，且方程 的解是离散的，是 在该区间上为增函数的充要条件； ，且方程 的解是离散的， 是 在该区间上为减函数的充要条件.
2、单调区间的端点属于定义域，则写成开区间或闭区间都可以。若端点不属于定义域，则只能写成开区间。
3、不要忽视函数的定义域。
例3、 求函数 的单调递增区间。
解：定义域为 ， 若使 则
所以 单调递增区间是 。
评注： 函数的单调性是函数性质的核心，是高考必考内容，强调求函数的单调区间时，不忘记先求定义域。
4、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为 在给定区间上恒成立， 回归基础题型
解法2：利用子区间（即子集思想），首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
例4、已知函数
（I）求 的单调区间；
（II）若 在[0，1]上单调递增，求 的取值范围。（子集思想）
解：（I）
1、 当且仅当 时取“=”号，
所以 单调递增。
2、
单调增区间：
单调减区间：
（II） 则 是上述增区间的子集：
1、 时， 单调递增 ，符合题意
2、 ，
综上， 的取值范围是 。
（三）导数的第三个应用是用来求函数的极值及最值
1、若 为可导函数 的极值点，则 ，这里一定要强调可导，否则命题不成立。
2、若 = 0，且函数 在 处两侧的导数值符号相反，则函数 在 处有极值。
例5、已知函数 ， （1）求 的单调区间；（2）令 有且仅有3个极值点，求 的取值范围.
解：（1）
当 时，令 解得 ，令 解得 ，
所以 的递增区间为 ，递减区间为 .
当 时，同理可得 的递增区间为 ，递减区间为 .
（2） 有且仅有3个极值点
=0有3个根，则 或 ，
方程 有两个非零实根，∴ 或
∴当 或 时，函数 有且仅有3个极值点
例6、已知定义在 上的函数 在区间 上的最大值是5，最小值是-11，求函数 的解析式；
解：
令 =0，得 ， ∵ ，所以可得下表：
0
+ 0 -
↗ 极大 ↘
因此 必为最大值，∴ 因此 ， ，
即 ，∴ ，∴
（四）导数的第四个应用是用来求函数的根的个数
函数 与 （或与 轴）的交点——即方程根的个数问题
例7、已知函数 ，（1）若函数 在 处取得极值，且 ，求 的值及 的单调区间；
（2）若 ，讨论曲线 与 的交点个数. 解：（1）
，
令 得 ；令 得
∴ 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
（2）由题 得
即 ，令
令 得 或 ， ，当 即 时
-
此时， ， ，有一个交点；
当 即 时，
+
—
，∴当 即 时，有一个交点；
当 ，即 时，有两个交点；
当 时， ，有一个交点
综上可知，当 或 时，有一个交点； 当 时，有两个交点
（五）利用导数解决与不等式有关的问题
1、证明不等式：直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。
例8、 时，求证；
证明：设 ， 则
∵ ，∴ ，故 在 上递减，
∴ 时， ，即 成立。
2、不等式恒成立
常见处理方法有两种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0，=0，<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
例9 、设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间 上， 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数”，已知实数 是常数，
（1）若 在区间 上为“凸函数”，求 的取值范围；
（2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函数”，求 的最大值.
解：由函数 ， 得
（1） 在区间 上为“凸函数”， 在区间[0，3]上恒成立 .解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于
解法二：分离变量法：
∵ 当 时， 恒成立，
当 时， 恒成立，等价于 的最大值
（ ）恒成立，而 （ ）是增函数，
则
（2）∵当 时 在区间 上都为“凸函数” ，
则等价于当 时 恒成立 .
再等价于 在 恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）
3、利用导数解不等式
例10、函数 ，解不等式
解：由题意知
① ∴ 时， 恒成立，故 在 上单调递减，又 ，所以 时 ，即 时 的解为
② 时，若
则 ，
时，解得 ，
时，解得 ，故 在 上单调递减， 在 上单调递增，又 时，解得 或 ，所以 的解集为 。
（六）利用导数解决与数列有关问题
例11、数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，总有 成等差数列. （1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，且 ，求证：对任意实数 是常数， =2.71828…）和任意正整数 ，总有 ；
（3）在正数数列 中， .求数列 中的最大项.
解：（1）由已知：对于 ，总有 成立…（1）
…（2）， 由（1）—（2）得
均为正数，
数列 是公差为1的等差数列， 又 时， ，解得
（2）证明： 对任意实数 和任意正整数 ，总有
（3）解：由已知 ， ，
， ， 易得
猜想 时， 是递减数列 ，令 ，则
当 时， ，则 ，即 在 内为单调递减函数， 由 知 时， 是递减数列，即 是递减数列，
又 ， 数列 中的最大项为 。