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题目:(满分14分)已知曲线C:y=x2与直线l:x-y+2=0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA (1)若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;
(2)若曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,试求a的最小值.
一、总体分析
数学探究性问题是新课程实施后较受重视的一类问题,其问题新颖,题材丰富,综合性强,解法灵活多样,是高考命题的热点.2009年广东高考数学理科卷第19题是一道整合了圆、抛物线、直线等内容的综合性问题,包含了数形结合、化归、函数与方程等数学思想方法,旨在考查考生理解直观与严谨的关系,检测考生的具体形象思维、想象思维与逻辑思维水平;考查考生的推理论证能力、运算求解能力和问题探究能力;考查考生的创新意识和问题解决能力,体现了数学新课程的理念与要求.
第(1)问求线段PQ的中点M 的轨迹方程,是一道常规题,考生只需初步具备已知与未知相互转化的数学思想,就能顺利作答.点P是已知的,点Q是可求的,点M是未知的,且3个点互相关联,用未知点M来表示已知点P,再通过点P的轨迹方程,即可得点M的轨迹方程.第(2)问通过数形结合思想,让圆动起来并求a的最小值,立意新颖灵活,考查学生对轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系的理解,对线性规划图解法的分辨能力,对数学问题的探究与质疑、反思能力.
从评卷结果来看,许多考生受线性规划图解法思维定势的影响,直观地认为当圆G过点A时, a取最小值.命题者深谙此理,将动圆的半径定为和直线的斜率设为1,这是本题的亮点:数学发现离不开直观与合情推理,但未经严密论证的形象思维成果有时会是一种美丽的假象,容易使我们陷入泥潭.
二、得分情况统计
随机选取约33.6万份样卷进行统计,该题满分14分,第(1)(2)问各7分.考生平均得分3.23分,标准差3.18,将0～14分划分为6个分数段,各分数段人数及百分比例如下表:
作为倒数第三大题,这样的平均分显然不能令人满意,但又在情理之中.样卷统计结果显示:0～2分数段约占47.64%,该题平均分如此之低就不足为奇了.
实际上,考生只需把直线l与抛物线C的方程联立成方程组,即得1分;正确求出点A或点B的坐标,得2分;正确求出中点Q的坐标,得3分.全省约33.7万名理科考生中,约10.8万名考生没有联立成方程组,近3万名考生联立了方程组但计算错误,约2.2万名考生没有求出中点Q的坐标或计算错误.说明部分考生缺乏最基本的数形结合思想方法、最基本的运算能力和一些最基本的公式法则,也说明双基教学中尚存在某些欠缺.
三、典型错误统计
随机抽取4786份样卷进行分析,存在以下7种典型错误情形.
1. 心理素质差.918份0分卷中,共有853份空白卷,约占全部样卷的17.82%.
2. 运算能力差.192份样卷在计算点Q坐标时,出现错误,约占全部样卷的4.01%.
3. 逻辑思维能力差.受线性规划思想影响,考生依赖思维定势,错误地认为a取最小值时,圆G过点A.
4. 数形结合意识不强.没有画图或不结合图形进行分析,认为当a 取最小值时,圆G与区域D的下边界相切,从而把圆G与抛物线 C的方程联立,出现错误.
5. 函数概念理解不完整.1162份样卷正确求出了点M的轨迹方程,却只有251份注意到了函数的定义域.在这251份样卷中,仅有53份给出了正确答案,有142份错误地认为定义域就是-1 6. 曲线与方程的关系认识不清.2011份样卷中,设点M(x,y)并得到s=,t=以后,却有537份张冠李戴,错误地将其代入直线l的方程.事实上题目已经说得清清楚楚,点P(s,t)是抛物线上的一个动点.
7. 思维不缜密.在求出a的最小值后,许多考生忘记去判断圆G与直线l的切点是否在区域D内,或者主观地臆断该切点一定在区域D内,没有或不懂得如何进行反思检验.
四、第(2)问解法分析
当曲线G(即圆G)与D仅有一个公共点时,圆G与D的上边界线段AB正好相切,a取最小值.
解法1 利用等腰直角三角形的性质.
如图1,曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=,这是一个圆心为G(a,2),半径为的圆.
设圆G与直线l:x-y+2=0相切于点T(xT,yT),线段AB与y轴相交为R,则有 =,即a=±. 因为直线l的倾斜角为45°,则GTR为等腰直角三角形,且T(xT,yT) 为直角顶点.
故xT=a=±.又±∈(-1,2),且-1和2是区域D中点的最小和最大横坐标,所以切点T∈D.故满足条件的a的最小值为-.
解法2利用解代数方程组.
当圆G在y轴左边与线段AB相切,即只有一个交点时,a取最小值.于是有(x-a)2+(y-2)2=()2x-y+2=0 , 得2x2-2ax+a2-=0 .依题意有=0且a<0,即4a2-8×(a2-),得a=-.
条件“切点T∈D”的判断方法与解法1同,此处略.
解法3 利用T∈D先定a的取值范围.
过点G(a,2)与直线l垂直的直线l′的方程是y-2=-1×(x-a),即x+y-2-a=0.由x-y+2=0x+y-2-a=0 ,解得交点T的坐标xT=,yT=+2.若点 T(xT,yT)∈D,则yT>xT2,即+2>,解得a∈(-2,4).
参考解法1或解法2,可求得a=±.因为±∈(-2,4),故满足条件的a的最小值为-.
解法4 利用正弦定理.
如图2,曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=,易知点R的坐标为(0,2).依题意,只需考虑a<0的情况. 当a<0且圆G与D有公共点时,圆G与AB必有交点,设此交点为N,则GN=.
(1)若点N与点R不重合, 则在GNR中, 设∠GNR=θ,由正弦定理得=(或=) 故a=sin. 若sin能取到最大值1,则a有最小值-.由于RA=>RN=,故在线段AB上可取点N,使RN==GN,再取GR=a=,则∠GNR=90°,从而sin能取到最大值1,此时a的最小值为-.
(2)若点N与点R重合,则点G 的坐标是(-,2).综合(1)与(2)知, 满足条件的a的最小值为-.
解法5 利用导数求函数极值.
曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=.设线段AB上的动点N(u,u+2),u∈[-1,2],则GN2=(a-u)2+(2-u-2)2= ,即a=u±.
如图2,要使a取得最小值,圆 G应在y轴左边且应与线段AB相交,此时a 令a=f(u)=u-,u∈[-1,2],则本题转化为求f(u)在[-1,2]上的最小值.
因为f ′(u)=1+,令
f′(u)=0,得u0=-∈[-1,2].
当u∈[-1,-]时,f ′(u)<0,
f ′(u) 单调递减;当u∈[-,2]时,f ′(u)>0,f ′(u)单调递增.于是a=f(u)在u0∈[-1,2]处取得极小值,而f(u0)=u0-=-,所以满足条件的a的最小值为-.
五、问题拓展
好的数学高考题如同一瓶好酒,越品越香醇. 从发展学生思维的灵活性和提高学生的数学探究能力而言,本题具有很好的研究和教学价值. 现提出以下两个问题供读者研究、品味.
问题1:若圆G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,且其他条件不变,试求a的最大值.
问题2:若圆G′:(x-a)2+(y-2)2=r2与D有唯一公共点B,且其他条件不变,试求a的最大值和最小值.
责任编辑 罗峰
(2)若曲线G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,试求a的最小值.
一、总体分析
数学探究性问题是新课程实施后较受重视的一类问题,其问题新颖,题材丰富,综合性强,解法灵活多样,是高考命题的热点.2009年广东高考数学理科卷第19题是一道整合了圆、抛物线、直线等内容的综合性问题,包含了数形结合、化归、函数与方程等数学思想方法,旨在考查考生理解直观与严谨的关系,检测考生的具体形象思维、想象思维与逻辑思维水平;考查考生的推理论证能力、运算求解能力和问题探究能力;考查考生的创新意识和问题解决能力,体现了数学新课程的理念与要求.
第(1)问求线段PQ的中点M 的轨迹方程,是一道常规题,考生只需初步具备已知与未知相互转化的数学思想,就能顺利作答.点P是已知的,点Q是可求的,点M是未知的,且3个点互相关联,用未知点M来表示已知点P,再通过点P的轨迹方程,即可得点M的轨迹方程.第(2)问通过数形结合思想,让圆动起来并求a的最小值,立意新颖灵活,考查学生对轨迹方程、直线与圆锥曲线位置关系的理解,对线性规划图解法的分辨能力,对数学问题的探究与质疑、反思能力.
从评卷结果来看,许多考生受线性规划图解法思维定势的影响,直观地认为当圆G过点A时, a取最小值.命题者深谙此理,将动圆的半径定为和直线的斜率设为1,这是本题的亮点:数学发现离不开直观与合情推理,但未经严密论证的形象思维成果有时会是一种美丽的假象,容易使我们陷入泥潭.
二、得分情况统计
随机选取约33.6万份样卷进行统计,该题满分14分,第(1)(2)问各7分.考生平均得分3.23分,标准差3.18,将0～14分划分为6个分数段,各分数段人数及百分比例如下表:
作为倒数第三大题,这样的平均分显然不能令人满意,但又在情理之中.样卷统计结果显示:0～2分数段约占47.64%,该题平均分如此之低就不足为奇了.
实际上,考生只需把直线l与抛物线C的方程联立成方程组,即得1分;正确求出点A或点B的坐标,得2分;正确求出中点Q的坐标,得3分.全省约33.7万名理科考生中,约10.8万名考生没有联立成方程组,近3万名考生联立了方程组但计算错误,约2.2万名考生没有求出中点Q的坐标或计算错误.说明部分考生缺乏最基本的数形结合思想方法、最基本的运算能力和一些最基本的公式法则,也说明双基教学中尚存在某些欠缺.
三、典型错误统计
随机抽取4786份样卷进行分析,存在以下7种典型错误情形.
1. 心理素质差.918份0分卷中,共有853份空白卷,约占全部样卷的17.82%.
2. 运算能力差.192份样卷在计算点Q坐标时,出现错误,约占全部样卷的4.01%.
3. 逻辑思维能力差.受线性规划思想影响,考生依赖思维定势,错误地认为a取最小值时,圆G过点A.
4. 数形结合意识不强.没有画图或不结合图形进行分析,认为当a 取最小值时,圆G与区域D的下边界相切,从而把圆G与抛物线 C的方程联立,出现错误.
5. 函数概念理解不完整.1162份样卷正确求出了点M的轨迹方程,却只有251份注意到了函数的定义域.在这251份样卷中,仅有53份给出了正确答案,有142份错误地认为定义域就是-1
7. 思维不缜密.在求出a的最小值后,许多考生忘记去判断圆G与直线l的切点是否在区域D内,或者主观地臆断该切点一定在区域D内,没有或不懂得如何进行反思检验.
四、第(2)问解法分析
当曲线G(即圆G)与D仅有一个公共点时,圆G与D的上边界线段AB正好相切,a取最小值.
解法1 利用等腰直角三角形的性质.
如图1,曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=,这是一个圆心为G(a,2),半径为的圆.
设圆G与直线l:x-y+2=0相切于点T(xT,yT),线段AB与y轴相交为R,则有 =,即a=±. 因为直线l的倾斜角为45°,则GTR为等腰直角三角形,且T(xT,yT) 为直角顶点.
故xT=a=±.又±∈(-1,2),且-1和2是区域D中点的最小和最大横坐标,所以切点T∈D.故满足条件的a的最小值为-.
解法2利用解代数方程组.
当圆G在y轴左边与线段AB相切,即只有一个交点时,a取最小值.于是有(x-a)2+(y-2)2=()2x-y+2=0 , 得2x2-2ax+a2-=0 .依题意有=0且a<0,即4a2-8×(a2-),得a=-.
条件“切点T∈D”的判断方法与解法1同,此处略.
解法3 利用T∈D先定a的取值范围.
过点G(a,2)与直线l垂直的直线l′的方程是y-2=-1×(x-a),即x+y-2-a=0.由x-y+2=0x+y-2-a=0 ,解得交点T的坐标xT=,yT=+2.若点 T(xT,yT)∈D,则yT>xT2,即+2>,解得a∈(-2,4).
参考解法1或解法2,可求得a=±.因为±∈(-2,4),故满足条件的a的最小值为-.
解法4 利用正弦定理.
如图2,曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=,易知点R的坐标为(0,2).依题意,只需考虑a<0的情况. 当a<0且圆G与D有公共点时,圆G与AB必有交点,设此交点为N,则GN=.
(1)若点N与点R不重合, 则在GNR中, 设∠GNR=θ,由正弦定理得=(或=) 故a=sin. 若sin能取到最大值1,则a有最小值-.由于RA=>RN=,故在线段AB上可取点N,使RN==GN,再取GR=a=,则∠GNR=90°,从而sin能取到最大值1,此时a的最小值为-.
(2)若点N与点R重合,则点G 的坐标是(-,2).综合(1)与(2)知, 满足条件的a的最小值为-.
解法5 利用导数求函数极值.
曲线G的方程可化为(x-a)2+(y-2)2=.设线段AB上的动点N(u,u+2),u∈[-1,2],则GN2=(a-u)2+(2-u-2)2= ,即a=u±.
如图2,要使a取得最小值,圆 G应在y轴左边且应与线段AB相交,此时a
因为f ′(u)=1+,令
f′(u)=0,得u0=-∈[-1,2].
当u∈[-1,-]时,f ′(u)<0,
f ′(u) 单调递减;当u∈[-,2]时,f ′(u)>0,f ′(u)单调递增.于是a=f(u)在u0∈[-1,2]处取得极小值,而f(u0)=u0-=-,所以满足条件的a的最小值为-.
五、问题拓展
好的数学高考题如同一瓶好酒,越品越香醇. 从发展学生思维的灵活性和提高学生的数学探究能力而言,本题具有很好的研究和教学价值. 现提出以下两个问题供读者研究、品味.
问题1:若圆G:x2-2ax+y2-4y+a2+=0与D有公共点,且其他条件不变,试求a的最大值.
问题2:若圆G′:(x-a)2+(y-2)2=r2与D有唯一公共点B,且其他条件不变,试求a的最大值和最小值.
责任编辑 罗峰