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如何培养学生的空间观念？首先，空间是三维的，是学生能够直接感知的真实存在，而教材呈现的却是“具有象征意义”的平面形式的“空间”，即把三维空间表达在二维平面上。因为三维和二维的穿梭转化，学生常常觉得 “空间”抽象晦涩。其次，空间观念（尤其是高年级以度量为主线的空间观念）的建立不是一蹴而就的，需要学生不断经历观察、想象、操作、推理、归纳等数学化过程，潜移默化、渐次推进。下面，笔者将以北师大版五下“长方体的体积”为例，谈谈如何基于度量视域，发展学生空间观念。
一、由观察到猜想——积累空间表象
空间观念是抽象的，它的理解需要建立在形象的空间感知之上，需要丰富的实物表象支撑。这就需要教师设计多维活动，使学生通过观察、想象、分析、推理等活动，加强对长方体体积大小和结构的感知与体验，促进其形成丰富的直观表象。
本课教学从观察立体图形、数体积单位开始，让学生分别数出不同形状的立体图形的体积，提出问题：你觉得哪些图形的体积比较容易数？学生不难发现长方体的体积容易数，将研究的目光聚焦到长方体体积中。接着教师以问题引领教学：是不是所有长方体体积都用数？（如长方体冰箱、长方体仓库的体积）逼迫学生思考寻找长方体体积计算的一般方法。接着出示问题：猜想长方体的体积可能与什么有关。学生由“长方形面积与长、宽有关”，想到长方体的体积与长、宽、高有关，再借助多媒体的直观演示，让学生分别观察“长方体宽、高不变，改变长;长、高不变，改变宽;长、宽不变，改变高，体积都在变化”的动画，形成丰富表象经验。
本环节的教学意在帮助学生积累体积的空间表象，突显体积的度量意义——先用数学化的方法对立体图形进行测量，再数一数它由几个相同体积单位累加，最后用“数”（shù）来表示。在这里，看似简单的“数（shǔ）和猜”，实则有深意，学生在观察、分析中，丰富了对体积的表象感悟，使原本模糊、不确定的感知逐渐清晰完整起来——长方体的体积与长、宽、高有关。
二、由想象到操作——丰富空间思维
在空间观念的建立中，想象和操作是发展空间思维的“利器”，在操作前让学生先进行基于已有认知经验的大胆想象，在头脑中对图形对象进行综合分析、加工改造更能实现空间观念的真实发生。
教学中，教师出示一个没有标注任何数据的长方体实物（为学生准备长方体学具和1 cm3的小方块），抛出问题：长方体的体积与长宽高有什么关系？可以怎么知道这个长方体的体积？学生自然想到在长方体里摆小正方体。此时，教师可以引导学生通过观察长方体和1 cm3的小方块展开丰富想象。学生的表达可能是“20 cm3，长摆5个，宽摆2个，高摆2层”或“24 cm3，长摆4个，宽摆3个，高摆2层”等。此时的“脑中操作”比“动手操作”更能逼迫学生对概念本质、空间内涵进行深刻理解，让接下来的“摆”具备目的性与驱动力。
在学生“穷尽所有想象”时，再让学生充分操作并填写数据。学生发现一行摆了4个小正方体，摆了3行，底面积是12 cm2，高摆了2层，长方体的体积便是24 cm3。通过观察数据，学生发现这个长方体的体积刚好为长×宽×高。可是一个例子就能总结出这样的规律吗？请每个小组再摆出一个长方体，记录数据，全班汇报，发现每组摆出的长方体的体积都等于长×宽×高。教师出示问题：在小正方体不够的情况下，你能想办法测量出长方体盒子的体积吗？学生尝试发现：只摆最底下一层，再摆出高就能知道体积。甚至有学生发现只摆出长宽高的框架或在头脑中想象出长方体的模型，就能推算出所需小正方体的块数，进而得到体积。
教师巧妙设问：长方体体积=长×宽×高，那长、宽、高分别表示什么？学生结合直观图形自然建构 “长方体的长代表每排个数”“长方体的宽代表排数”“长方体的高代表层数”的本质联系。
本环节教学从头脑想象到实践操作，让学生基于问题驱动，在头脑中主动调动“数体积”“搭长方体”的经验，对没有任何数据的长方体展开丰富想象，在头脑中进行合情推理，形成思维策略，并逐渐产生“摆一摆”的强烈欲望，着力点是引导学生去真想象、真思考、真操作、真分析、真发现、真归纳，促进空间观念的有效发展，促进学习力的真提升。
三、由计算到度量——提升空间观念
在长方体体积探究中，“体积公式计算”是显性的，“体积单位度量”是隐性的，学生记住的往往是形式化的公式，而忽视了用度量单位来测量。空间观念的建立，需要让学生不断进行“数与形”的穿梭转换，由“形”想到“数”，由“数”回溯 “形”，理解度量的本质内涵——选取恰当的度量单位对图形进行度量，进而用数量对图形中所隐藏的属性进行抽象表达。
在学生深刻理解长方体体积计算公式后，教师提出问题：体积是8的长方体可能是怎样的？学生自由表达：可能是“长4 cm，宽2 cm，高1 cm”“长8 cm，宽1 cm，高1 cm”“长2 cm，宽2 cm，高2 cm”。教师提出问题：三个长方体中，哪个最特别，特别在哪？经过这样的思考过程，“正方体体积等于棱长×棱长×棱长”也就呼之欲出了。接着教师以2个具有思考价值的问题带领学生走向深处，问题1：为什么3个长方体形状不同，体积都一样？问题2：体积是8的正方体只有“长2 cm，宽2 cm，高2 cm”这一种情况吗？学生陷入深深的思考，教师再出示“长2 dm，宽2 dm，高2 dm”的大正方体实物，并用多媒体展示“长2 m，宽2 m，高2 m”的不同空间的照片，学生惊讶之余，想到了原来也可以是8 dm3、8 m3。在这样一次又一次的想象、操作、质疑、讨论、辨析中，学生获得了实实在在的感悟，也正是因为不断逼近数学本质的追问，学生在潜移默化中发展了空间观念，受到了极限、变与不变、数形结合等思想方法的浸润，经历了一回科学理性思考的深度体验。
四、由单一到融通，建构空间度量体系
空间观念的建立需要站在学科整体化、系统化的高度进行结构化的教学，帮助学生主动叩问“知识来自哪里，又将要流向何方”，理清空间知识间的逻辑关系，通晓知识的前后联系，形成强大的迁移力和生长力。
教师借助多媒体课件演示点动成线、线动成面、面动成体，计量单位的变化，长度、面积、体积度量方法的对比。促使学生从单向思维中跳出，以纵观全局的视角在“一维、二维、三维”中自由穿梭，在“长度、面积、体积单位”中轻松转换，在“直尺测量、面积计算、体积公式”中来回说理。学生在思考和探究的强大领域中，在直观动态的真实情境中不断思辨、反复寻理，实现了對空间度量的结构化认识。
弗赖登塔尔认为：几何是对空间的把握，这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。为了更好地把握、理解这个空间，儿童需要身处其间，在适切的现实情境中，经历完整的观察、猜想、想象、操作、思辨、推理等数学化过程，站在更高的度量视域中洞悉度量本质、形成结构化的空间理解和把握，自然提升空间观念。
（作者单位：福建省晋江市安海镇庄头小学 本专辑责任编辑：王彬）
一、由观察到猜想——积累空间表象
空间观念是抽象的，它的理解需要建立在形象的空间感知之上，需要丰富的实物表象支撑。这就需要教师设计多维活动，使学生通过观察、想象、分析、推理等活动，加强对长方体体积大小和结构的感知与体验，促进其形成丰富的直观表象。
本课教学从观察立体图形、数体积单位开始，让学生分别数出不同形状的立体图形的体积，提出问题：你觉得哪些图形的体积比较容易数？学生不难发现长方体的体积容易数，将研究的目光聚焦到长方体体积中。接着教师以问题引领教学：是不是所有长方体体积都用数？（如长方体冰箱、长方体仓库的体积）逼迫学生思考寻找长方体体积计算的一般方法。接着出示问题：猜想长方体的体积可能与什么有关。学生由“长方形面积与长、宽有关”，想到长方体的体积与长、宽、高有关，再借助多媒体的直观演示，让学生分别观察“长方体宽、高不变，改变长;长、高不变，改变宽;长、宽不变，改变高，体积都在变化”的动画，形成丰富表象经验。
本环节的教学意在帮助学生积累体积的空间表象，突显体积的度量意义——先用数学化的方法对立体图形进行测量，再数一数它由几个相同体积单位累加，最后用“数”（shù）来表示。在这里，看似简单的“数（shǔ）和猜”，实则有深意，学生在观察、分析中，丰富了对体积的表象感悟，使原本模糊、不确定的感知逐渐清晰完整起来——长方体的体积与长、宽、高有关。
二、由想象到操作——丰富空间思维
在空间观念的建立中，想象和操作是发展空间思维的“利器”，在操作前让学生先进行基于已有认知经验的大胆想象，在头脑中对图形对象进行综合分析、加工改造更能实现空间观念的真实发生。
教学中，教师出示一个没有标注任何数据的长方体实物（为学生准备长方体学具和1 cm3的小方块），抛出问题：长方体的体积与长宽高有什么关系？可以怎么知道这个长方体的体积？学生自然想到在长方体里摆小正方体。此时，教师可以引导学生通过观察长方体和1 cm3的小方块展开丰富想象。学生的表达可能是“20 cm3，长摆5个，宽摆2个，高摆2层”或“24 cm3，长摆4个，宽摆3个，高摆2层”等。此时的“脑中操作”比“动手操作”更能逼迫学生对概念本质、空间内涵进行深刻理解，让接下来的“摆”具备目的性与驱动力。
在学生“穷尽所有想象”时，再让学生充分操作并填写数据。学生发现一行摆了4个小正方体，摆了3行，底面积是12 cm2，高摆了2层，长方体的体积便是24 cm3。通过观察数据，学生发现这个长方体的体积刚好为长×宽×高。可是一个例子就能总结出这样的规律吗？请每个小组再摆出一个长方体，记录数据，全班汇报，发现每组摆出的长方体的体积都等于长×宽×高。教师出示问题：在小正方体不够的情况下，你能想办法测量出长方体盒子的体积吗？学生尝试发现：只摆最底下一层，再摆出高就能知道体积。甚至有学生发现只摆出长宽高的框架或在头脑中想象出长方体的模型，就能推算出所需小正方体的块数，进而得到体积。
教师巧妙设问：长方体体积=长×宽×高，那长、宽、高分别表示什么？学生结合直观图形自然建构 “长方体的长代表每排个数”“长方体的宽代表排数”“长方体的高代表层数”的本质联系。
本环节教学从头脑想象到实践操作，让学生基于问题驱动，在头脑中主动调动“数体积”“搭长方体”的经验，对没有任何数据的长方体展开丰富想象，在头脑中进行合情推理，形成思维策略，并逐渐产生“摆一摆”的强烈欲望，着力点是引导学生去真想象、真思考、真操作、真分析、真发现、真归纳，促进空间观念的有效发展，促进学习力的真提升。
三、由计算到度量——提升空间观念
在长方体体积探究中，“体积公式计算”是显性的，“体积单位度量”是隐性的，学生记住的往往是形式化的公式，而忽视了用度量单位来测量。空间观念的建立，需要让学生不断进行“数与形”的穿梭转换，由“形”想到“数”，由“数”回溯 “形”，理解度量的本质内涵——选取恰当的度量单位对图形进行度量，进而用数量对图形中所隐藏的属性进行抽象表达。
在学生深刻理解长方体体积计算公式后，教师提出问题：体积是8的长方体可能是怎样的？学生自由表达：可能是“长4 cm，宽2 cm，高1 cm”“长8 cm，宽1 cm，高1 cm”“长2 cm，宽2 cm，高2 cm”。教师提出问题：三个长方体中，哪个最特别，特别在哪？经过这样的思考过程，“正方体体积等于棱长×棱长×棱长”也就呼之欲出了。接着教师以2个具有思考价值的问题带领学生走向深处，问题1：为什么3个长方体形状不同，体积都一样？问题2：体积是8的正方体只有“长2 cm，宽2 cm，高2 cm”这一种情况吗？学生陷入深深的思考，教师再出示“长2 dm，宽2 dm，高2 dm”的大正方体实物，并用多媒体展示“长2 m，宽2 m，高2 m”的不同空间的照片，学生惊讶之余，想到了原来也可以是8 dm3、8 m3。在这样一次又一次的想象、操作、质疑、讨论、辨析中，学生获得了实实在在的感悟，也正是因为不断逼近数学本质的追问，学生在潜移默化中发展了空间观念，受到了极限、变与不变、数形结合等思想方法的浸润，经历了一回科学理性思考的深度体验。
四、由单一到融通，建构空间度量体系
空间观念的建立需要站在学科整体化、系统化的高度进行结构化的教学，帮助学生主动叩问“知识来自哪里，又将要流向何方”，理清空间知识间的逻辑关系，通晓知识的前后联系，形成强大的迁移力和生长力。
教师借助多媒体课件演示点动成线、线动成面、面动成体，计量单位的变化，长度、面积、体积度量方法的对比。促使学生从单向思维中跳出，以纵观全局的视角在“一维、二维、三维”中自由穿梭，在“长度、面积、体积单位”中轻松转换，在“直尺测量、面积计算、体积公式”中来回说理。学生在思考和探究的强大领域中，在直观动态的真实情境中不断思辨、反复寻理，实现了對空间度量的结构化认识。
弗赖登塔尔认为：几何是对空间的把握，这个空间是儿童生活、呼吸和运动的空间。为了更好地把握、理解这个空间，儿童需要身处其间，在适切的现实情境中，经历完整的观察、猜想、想象、操作、思辨、推理等数学化过程，站在更高的度量视域中洞悉度量本质、形成结构化的空间理解和把握，自然提升空间观念。
（作者单位：福建省晋江市安海镇庄头小学 本专辑责任编辑：王彬）