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摘要：数学概念是数学基础知识的重要组成部分。“有余数的除法”教学中，低年级学生首次接触余数，教师要重视学生获得这一概念的过程。应不断追寻更适合学生通过主动探索获得知识的教学设计，让学生在动手操作中感知余数概念，在猜测验证中感悟余数性质，重视概念的建构，从而发展数学思维，提高解决问题的能力。
关键词：概念建构;余數;小学数学教学
概念是数学的重要组成部分，教师只有重视数学概念教学，引导学生真正理解数学概念的本质，才能让学生灵活地应用所学的数学概念解决问题。“有余数的除法”一课的教学重点是：认识有余数的除法以及余数的含义。教学难点是：理解“余数要比除数小”。
一、初试课：发现问题，研讨反思
基于对教材的理解，我们对本节课的总体设计有了一个初步的设想，但在试教过程中发现了以下问题：（1）教学开始直接创设情境，导入“分铅笔”，学生的学习兴趣还没有充分调动起来，感觉比较突兀、枯燥，学生比较被动。（2）例1“分铅笔”：每人3支，可分给几人？每人4支，可分给几人？直接让学生通过在纸上圈一圈、分一分得出结果，学生没有直观感受和操作体验，对余数的感知不深刻。（3）例2“用小棒摆正方形”，可以摆出几个，还剩几根。采用一问一答的形式理解余数比除数小的规律。教师主导的痕迹过于明显，牵引较多，学生的学习主体地位没有得到凸显，教学过程显得重复、拖沓。
出现上述问题的原因是什么？经过研讨，我们更加清晰地认识到：有余数的除法属于概念教学，是学生从学习表内除法向学习表外除法过渡的桥梁，它加深了学生对整数除法的认识与理解，同时是学习多位数除法的基础，因此让学生深刻理解余数概念十分关键。以下两个问题是教学的重点、难点，需要重新调整。
一是怎样建立“余数”概念。试教时我们发现，学生理解的生活中的“剩余”现象和数学中的“余数”概念是有差别的。因此在调整教学时，我们考虑的第一个问题是：怎样用好学生已有生活中的“剩余”经验进行引导和提升，有效缩短学生已有生活经验和数学概念之间的差距，促进学生建立与理解余数的概念，从而掌握有余数的除法概念。
二是如何理解“余数要比除数小”。正确理解余数与除数之间的关系，是切实掌握余数、有余数除法概念的关键点，标志着学生是否完整地构建了“余数”与“有余数除法”概念。因此，我们思考的第二个问题是：如何在形成余数概念的起始阶段，借助余数产生的过程同时探索余数与除数之间的关系，形成完整的知识结构，让概念理解更加透彻。
二、再研讨：改进教学，突破重难点
在对试教情况进行研讨分析的基础上，我们再次进行了创新设计，总的原则是基于教材，而又不拘泥于教材，深入挖掘数学知识的本质，充分体现学生的主体地位。
1.在游戏情境中感受生活中的剩余
对于剩余，学生在实际生活中会有一些感性的认识和经验，但缺乏清晰的概念认识。数学来源于生活，从学生感兴趣的游戏情境入手，可以激发学生的学习欲望，让学生借助已有的生活经验，感知生活中的剩余。我们设计了“爱的抱抱”的游戏：先是播放12人玩游戏的视频，让学生初步感知游戏，并用自己的语言描述游戏的规则：老师报到数字3，每3人抱成一团;报到数字4，每4人抱成一团。学生的情绪调动起来后，教师邀请8个学生上前参与游戏：每2人抱成一团，正好分成4组;每3人抱成一团，会有2人剩余。再玩一次，发现还是会有2人剩余，而且剩余的2人每次不一样。这里，教师引导学生：剩下2人是不是因为他们动作慢啦？如果不是，那是因为什么呢？学生的好奇心被激发起来，产生了学习的内在需要。
2.在操作分物过程中感知余数概念
教师以小棒为学具，创设平均分铅笔的问题情境，组织学生通过操作激活认知经验。先解决把10支铅笔分给小朋友，每人2支、每人5支，各可以分给几人？这是已经学过的“按每份是多少”进行平均分，也是学习新知的知识基础。那每人3支、每人4支结果会怎样呢？通过分一分、圈一圈，学生自主进入“观察求解”的状态，发现平均分10支铅笔，不是都能正好分完的。通过观察几次平均分的结果，学生发现会出现两种情况，一种是平均分后正好分完，另一种是还有剩余。学生获得平均分东西可能会“有剩余”的感性认识，唤醒“剩余”的生活记忆，初步建立余数与有余数除法的概念。
于是再联系学生已有的知识和经验，把平均分的现象数学化。10支铅笔，每人3支，分给几人？你会列除法算式吗？10÷3=3……1，强调这里的1表示什么？从哪里剩下的1？ 说清这1支是把10支铅笔平均分后剩下的部分，我们叫它“余数”，所以它的单位名称和总数10支的单位名称相同。学生在具体的情境中感知“有余数除法”的本质，把有剩余的平均分现象抽象成有余数的除法算式，促进学生归纳和总结。
学生已经从例1学习中经历了一次从具象到符号，此时教师又设计了一个问题：除了分10支铅笔，还可以分哪些物体也能用10÷3=3……1来表示？学生由于思维的迁移，自然而然会举出分苹果、分花朵等例子。在这个时候组织学生进行半抽象的表象操作，在头脑中想象分不同的物体，再次经历了从具体的例子寻求意义的过程。从数学抽象返回生活原型，再一次感知有余数除法的数学模型，体现了概念建构的具体化与完整性。
3.在猜测验证对比中感悟余数性质
本课的教学难点是理解“余数要比除数小”，学生要理解这个抽象的数学规律有一些困难。例2的教学设计了游戏环节，为学生由浅入深搭建理解的平台。首先明确摆一个正方形需要4根小棒，第一次猜：盒子里有一些小棒，用它们摆正方形，如果正好摆完，可能有多少根？能摆几个正方形？怎样列式？学生通过表内除法很快能解决，猜出盒子里小棒的根数可能是4、8、12、16、20……第二次猜：如果不能正好摆完，可能会剩余几根呢？学生猜完后再通过13、14、15、17、18、19根小棒摆正方形，自主操作进行验证余数会出现的情况。通过两次猜测引领操作实验活动，学生再次体会有余数除法中的商和余数的具体含义。如果分小棒剩下4根、5根，怎么办？让学生明白剩下的小棒够摆一个正方形，就要继续摆下去，直到不够摆为止。这里设计了错例分析，学生更好地理解了除数是4，余数只能是1、2、3，更加丰富了学生的感性认识。以此为基础，进而探索余数与除数之间的关系，经历感性认识上升到理性认识的过程。 学生在操作、观察、对比中验证猜测，意识到并进一步理解在分物品的过程中总数的变化会引起余数的变化，当余数等于或大于除数时，就意味着还能够再分一份或一次。通过摆正方形一个例子让学生去感悟，我们觉得还不充分，于是我们设计了让学生观察对比摆五边形后出现余数的情况，设计了自己想象摆其他多边形有剩余，余数可能的情况。这一系列的观察对比分析活动让学生深刻感知余数与除数的关系，进而明确“余数要比除数小”。教学的难点也就不攻自破，学生初步的推理能力得到发展，思维得到提升。
4.在应用拓展练习中发生主动学习
我们精心设计了“过三关”的练习环节，引导学生运用所学知识去解决现实问题，进一步加深他们对余数概念的感悟，培养学生的应用意识。
第一关先解决课前的游戏问题，“你能解释一下‘爱的抱抱’游戏中出现的问题吗？引导学生运用所学知识自己来答疑解惑，用首尾呼应的方式巩固对有余数除法含义的理解。第二关引导学生从不同角度理解课后习题“投箭壶”直观图的含义，出示相应的有余数除法的算式，14÷□=□（瓶）……□（支），14÷□=□（支）……□（支），学生通过比较两题有什么不同，为什么商的单位不一样，说清每一个除法算式的意义，通过辨析帮助学生加深已经获得的认识，为解决相应的实际问题做铺垫。第三关设计思维拓展题，如果每7人一组，分成3组，可能会余下几人？最多余下几人？为什么？引导学生充分感悟，明晰余数和除数的关系。如果平均分成了4组，还余下2人，可能会每几人一组？每组最少有几人？为什么？这时参加歌唱比赛的一共多少人？通过层层递进，让学生更深入地认识有余数除法的意义。
设计具有层次性和挑战性的练习，以此吸引学生的学习兴趣，唤醒学生的学习欲望，触发学生的学习思考，让学生感到自己是活动的主体，从而发生积极主动的学习活动，对学生今后研究数学问题、探索数学规律、提升数学素养大有裨益。
三、有收获：概念建构，水到渠成
回顾“有余数的除法”一课的磨课历程，我们对引导学生理解数学概念有了再一次认识。教师只有明晰数学概念的意义，重视学生探究、形成概念的过程，学生才能理解和内化数学概念的本质，让概念的建构水到渠成。
1.深度挖掘教材，找准知识“生长点”
教材是实现课程目标、实施课堂教学的重要资源。教师在研读的时候，要明确学习有余数的除法之前，学生已有哪些知识和经验，还要通读这一单元，了解知识点之间的紧密联系，从而找准这节课的生长点和延伸点，寻找学生可能出现的学习困难，准确把握教学重难点。多研多思，深度挖掘，从不同角度、不同层次巧妙设计教学环节，帮助学生主动有意义地建构知识体系，让学生在課堂中真正做到自主开放、思维可见。
2.注重直观操作，关注抽象过程
小学数学概念教学要重视学生获得概念的过程，教师立足学生的生活经验、知识基础，创设探究的平台，引导学生借助直观进行思维，通过分一分、圈一圈、摆一摆等直观操作活动，增强学生探究的内驱力。新授中算式都是结合具体操作过程逐步加以呈现，充分展现从直观操作到算式表达的抽象过程，将抽象复杂的数学概念直观化、具体化、形象化，让学生理解有余数除法产生的必要性，感悟余数与除数的关系，更好地帮助低年级学生在头脑中建构数学概念。
3.重视经验积累，发展思维能力
在概念教学中，教师应重视学生的活动经验积累。教师在教学中积极引导学生观察、发现余数与除数之间的关系，没有直接告诉学生结论，而是设计分层问题，引导学生猜想、操作、讨论、验证、归纳，让学生亲历这些数学活动，在活动中经历知识产生的过程，积累数学活动经验，在体验中理解，在理解中反思，在反思中清晰地认识知识之间的联系与区别，从而建立知识结构，发展思维能力。
责任编辑：丁伟红
关键词：概念建构;余數;小学数学教学
概念是数学的重要组成部分，教师只有重视数学概念教学，引导学生真正理解数学概念的本质，才能让学生灵活地应用所学的数学概念解决问题。“有余数的除法”一课的教学重点是：认识有余数的除法以及余数的含义。教学难点是：理解“余数要比除数小”。
一、初试课：发现问题，研讨反思
基于对教材的理解，我们对本节课的总体设计有了一个初步的设想，但在试教过程中发现了以下问题：（1）教学开始直接创设情境，导入“分铅笔”，学生的学习兴趣还没有充分调动起来，感觉比较突兀、枯燥，学生比较被动。（2）例1“分铅笔”：每人3支，可分给几人？每人4支，可分给几人？直接让学生通过在纸上圈一圈、分一分得出结果，学生没有直观感受和操作体验，对余数的感知不深刻。（3）例2“用小棒摆正方形”，可以摆出几个，还剩几根。采用一问一答的形式理解余数比除数小的规律。教师主导的痕迹过于明显，牵引较多，学生的学习主体地位没有得到凸显，教学过程显得重复、拖沓。
出现上述问题的原因是什么？经过研讨，我们更加清晰地认识到：有余数的除法属于概念教学，是学生从学习表内除法向学习表外除法过渡的桥梁，它加深了学生对整数除法的认识与理解，同时是学习多位数除法的基础，因此让学生深刻理解余数概念十分关键。以下两个问题是教学的重点、难点，需要重新调整。
一是怎样建立“余数”概念。试教时我们发现，学生理解的生活中的“剩余”现象和数学中的“余数”概念是有差别的。因此在调整教学时，我们考虑的第一个问题是：怎样用好学生已有生活中的“剩余”经验进行引导和提升，有效缩短学生已有生活经验和数学概念之间的差距，促进学生建立与理解余数的概念，从而掌握有余数的除法概念。
二是如何理解“余数要比除数小”。正确理解余数与除数之间的关系，是切实掌握余数、有余数除法概念的关键点，标志着学生是否完整地构建了“余数”与“有余数除法”概念。因此，我们思考的第二个问题是：如何在形成余数概念的起始阶段，借助余数产生的过程同时探索余数与除数之间的关系，形成完整的知识结构，让概念理解更加透彻。
二、再研讨：改进教学，突破重难点
在对试教情况进行研讨分析的基础上，我们再次进行了创新设计，总的原则是基于教材，而又不拘泥于教材，深入挖掘数学知识的本质，充分体现学生的主体地位。
1.在游戏情境中感受生活中的剩余
对于剩余，学生在实际生活中会有一些感性的认识和经验，但缺乏清晰的概念认识。数学来源于生活，从学生感兴趣的游戏情境入手，可以激发学生的学习欲望，让学生借助已有的生活经验，感知生活中的剩余。我们设计了“爱的抱抱”的游戏：先是播放12人玩游戏的视频，让学生初步感知游戏，并用自己的语言描述游戏的规则：老师报到数字3，每3人抱成一团;报到数字4，每4人抱成一团。学生的情绪调动起来后，教师邀请8个学生上前参与游戏：每2人抱成一团，正好分成4组;每3人抱成一团，会有2人剩余。再玩一次，发现还是会有2人剩余，而且剩余的2人每次不一样。这里，教师引导学生：剩下2人是不是因为他们动作慢啦？如果不是，那是因为什么呢？学生的好奇心被激发起来，产生了学习的内在需要。
2.在操作分物过程中感知余数概念
教师以小棒为学具，创设平均分铅笔的问题情境，组织学生通过操作激活认知经验。先解决把10支铅笔分给小朋友，每人2支、每人5支，各可以分给几人？这是已经学过的“按每份是多少”进行平均分，也是学习新知的知识基础。那每人3支、每人4支结果会怎样呢？通过分一分、圈一圈，学生自主进入“观察求解”的状态，发现平均分10支铅笔，不是都能正好分完的。通过观察几次平均分的结果，学生发现会出现两种情况，一种是平均分后正好分完，另一种是还有剩余。学生获得平均分东西可能会“有剩余”的感性认识，唤醒“剩余”的生活记忆，初步建立余数与有余数除法的概念。
于是再联系学生已有的知识和经验，把平均分的现象数学化。10支铅笔，每人3支，分给几人？你会列除法算式吗？10÷3=3……1，强调这里的1表示什么？从哪里剩下的1？ 说清这1支是把10支铅笔平均分后剩下的部分，我们叫它“余数”，所以它的单位名称和总数10支的单位名称相同。学生在具体的情境中感知“有余数除法”的本质，把有剩余的平均分现象抽象成有余数的除法算式，促进学生归纳和总结。
学生已经从例1学习中经历了一次从具象到符号，此时教师又设计了一个问题：除了分10支铅笔，还可以分哪些物体也能用10÷3=3……1来表示？学生由于思维的迁移，自然而然会举出分苹果、分花朵等例子。在这个时候组织学生进行半抽象的表象操作，在头脑中想象分不同的物体，再次经历了从具体的例子寻求意义的过程。从数学抽象返回生活原型，再一次感知有余数除法的数学模型，体现了概念建构的具体化与完整性。
3.在猜测验证对比中感悟余数性质
本课的教学难点是理解“余数要比除数小”，学生要理解这个抽象的数学规律有一些困难。例2的教学设计了游戏环节，为学生由浅入深搭建理解的平台。首先明确摆一个正方形需要4根小棒，第一次猜：盒子里有一些小棒，用它们摆正方形，如果正好摆完，可能有多少根？能摆几个正方形？怎样列式？学生通过表内除法很快能解决，猜出盒子里小棒的根数可能是4、8、12、16、20……第二次猜：如果不能正好摆完，可能会剩余几根呢？学生猜完后再通过13、14、15、17、18、19根小棒摆正方形，自主操作进行验证余数会出现的情况。通过两次猜测引领操作实验活动，学生再次体会有余数除法中的商和余数的具体含义。如果分小棒剩下4根、5根，怎么办？让学生明白剩下的小棒够摆一个正方形，就要继续摆下去，直到不够摆为止。这里设计了错例分析，学生更好地理解了除数是4，余数只能是1、2、3，更加丰富了学生的感性认识。以此为基础，进而探索余数与除数之间的关系，经历感性认识上升到理性认识的过程。 学生在操作、观察、对比中验证猜测，意识到并进一步理解在分物品的过程中总数的变化会引起余数的变化，当余数等于或大于除数时，就意味着还能够再分一份或一次。通过摆正方形一个例子让学生去感悟，我们觉得还不充分，于是我们设计了让学生观察对比摆五边形后出现余数的情况，设计了自己想象摆其他多边形有剩余，余数可能的情况。这一系列的观察对比分析活动让学生深刻感知余数与除数的关系，进而明确“余数要比除数小”。教学的难点也就不攻自破，学生初步的推理能力得到发展，思维得到提升。
4.在应用拓展练习中发生主动学习
我们精心设计了“过三关”的练习环节，引导学生运用所学知识去解决现实问题，进一步加深他们对余数概念的感悟，培养学生的应用意识。
第一关先解决课前的游戏问题，“你能解释一下‘爱的抱抱’游戏中出现的问题吗？引导学生运用所学知识自己来答疑解惑，用首尾呼应的方式巩固对有余数除法含义的理解。第二关引导学生从不同角度理解课后习题“投箭壶”直观图的含义，出示相应的有余数除法的算式，14÷□=□（瓶）……□（支），14÷□=□（支）……□（支），学生通过比较两题有什么不同，为什么商的单位不一样，说清每一个除法算式的意义，通过辨析帮助学生加深已经获得的认识，为解决相应的实际问题做铺垫。第三关设计思维拓展题，如果每7人一组，分成3组，可能会余下几人？最多余下几人？为什么？引导学生充分感悟，明晰余数和除数的关系。如果平均分成了4组，还余下2人，可能会每几人一组？每组最少有几人？为什么？这时参加歌唱比赛的一共多少人？通过层层递进，让学生更深入地认识有余数除法的意义。
设计具有层次性和挑战性的练习，以此吸引学生的学习兴趣，唤醒学生的学习欲望，触发学生的学习思考，让学生感到自己是活动的主体，从而发生积极主动的学习活动，对学生今后研究数学问题、探索数学规律、提升数学素养大有裨益。
三、有收获：概念建构，水到渠成
回顾“有余数的除法”一课的磨课历程，我们对引导学生理解数学概念有了再一次认识。教师只有明晰数学概念的意义，重视学生探究、形成概念的过程，学生才能理解和内化数学概念的本质，让概念的建构水到渠成。
1.深度挖掘教材，找准知识“生长点”
教材是实现课程目标、实施课堂教学的重要资源。教师在研读的时候，要明确学习有余数的除法之前，学生已有哪些知识和经验，还要通读这一单元，了解知识点之间的紧密联系，从而找准这节课的生长点和延伸点，寻找学生可能出现的学习困难，准确把握教学重难点。多研多思，深度挖掘，从不同角度、不同层次巧妙设计教学环节，帮助学生主动有意义地建构知识体系，让学生在課堂中真正做到自主开放、思维可见。
2.注重直观操作，关注抽象过程
小学数学概念教学要重视学生获得概念的过程，教师立足学生的生活经验、知识基础，创设探究的平台，引导学生借助直观进行思维，通过分一分、圈一圈、摆一摆等直观操作活动，增强学生探究的内驱力。新授中算式都是结合具体操作过程逐步加以呈现，充分展现从直观操作到算式表达的抽象过程，将抽象复杂的数学概念直观化、具体化、形象化，让学生理解有余数除法产生的必要性，感悟余数与除数的关系，更好地帮助低年级学生在头脑中建构数学概念。
3.重视经验积累，发展思维能力
在概念教学中，教师应重视学生的活动经验积累。教师在教学中积极引导学生观察、发现余数与除数之间的关系，没有直接告诉学生结论，而是设计分层问题，引导学生猜想、操作、讨论、验证、归纳，让学生亲历这些数学活动，在活动中经历知识产生的过程，积累数学活动经验，在体验中理解，在理解中反思，在反思中清晰地认识知识之间的联系与区别，从而建立知识结构，发展思维能力。
责任编辑：丁伟红