导数是研究函数性质的一种强有力工具，利用导数可解决函数单调性、极值、最值等问题，三角函数是函数的一个特例，是函数概念的下位概念，解三角函数问题时，一般思路是通过恒等变形，利用三角函数的性质求解.但是若能注意题目的特点，利用导数处理相关问题，不仅可以突破难点，开拓思路，提高解题效率，而且简单易懂，便于掌握.
　　一、求三角函数的单调区间
　　例1 函数y=sin（-3x+π4），x∈R在什么区间上是增函数.
　　解：
　　y′=cos（-3x+π4）（-3x+π4）′=-
　　3cos（-3x+π4），有y′≥0，得
　　cos（-3x+π4）≤0，即
　　cos（3x-π4）≤0，所以
　　2kπ+π2≤3x-π4
　　≤2kπ+3π2，
　　2kπ3+
　　π4≤x≤2kπ3
　　+7π12，k∈Z.因此函数
　　y=sin（-3x+π4）在区间
　　[2kπ3+π4，
　　2kπ3+7π12]，
　　k∈
　　Z上是增函数.
　　点评：这是人教A版71页的一道习题，特别容易出错，原因在于忽视了函数
　　y=sin（-3x+π4）是复合函数.利用导数解决，题目显得很常规，过程也很简洁.
　　二、求三角函数的最值
　　例2 若函数f （x）=3sin2x+2cos2x+m在区间
　　[0，π2]上的最大值为6，求常数m的值及此函数当
　　x∈R时的最小值，并求相应的x取值集合.
　　解：f ′（x）=23cos2x-4cosxsinx.即
　　f ′（x）=23cos2x-2sin2x.令
　　f ′（x）=0，得tan2x=3.即
　　x=π6，由于
　　f （0）=2+m，
　　f （π2）=m，
　　f （π6）=3+m.所以
　　3+m=6，m=3.当
　　x∈R时，令
　　f ′（x）=0，得tan2x=3.即
　　x=π6+kπ，k∈Z 或
　　x=2π3+kπ，k∈Z.所以函数的最小值为
　　f （2π3+kπ）=2，此时x取值集合为
　　{x|x=2π3+kπ，k∈Z}
　　.
　　点评：这是人教A版147页的一道习题，常见的解法是化成正弦型函数，利用单调性、有界性求最值.利用导数，不但可以求化简成一个角的一个三角函数的最值，还可以求其它类型三角函数的最值.
　　三、求三角函数的奇偶性
　　例3 （2013年山东数学（理））将函数
　　y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移
　　π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（ ）
　　（A） 3π4 （B） π4 （C） 0 （D）
　　-π4
　　解：函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移
　　π8个单位，得到
　　y=sin[2（x+π8）+φ]，即
　　y=sin（2x+π4+φ）是偶函数.所以
　　y′=2cos（2x+π4+φ）为奇函数，
　　y′|x=0=0，所以
　　cos（π4+φ）=0，
　　π4+φ=kπ+π2，
　　k∈Z.所以
　　φ=kπ+π4，k∈Z.当
　　k=0时，φ=π4.
　　点评：正（余）型函数x∈R
　　在对称轴x=a处若取得最值，则也取得极值，于是有
　　y′|=0x=0.特别地，偶函数有y′|=0x=0.可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数.
　　四、求三角函数的周期性
　　例4 函数f （x）=sin4x+cos2x的最小正周期为（ ）
　　（A） π4 （B） π2 （C）
　　π （D） 2π
　　解：
　　f ′（x）=4sin3xcosx-2cosxsinx.令
　　f ′（x）=0，得
　　sinx=0或
　　cosx=0或
　　sin2x=12.当
　　sinx=0或cosx=0时，
　　f （x）=1，当
　　sin2x=12时，
　　f （x）=34.因此函数f （x）的最大值为1，由
　　sinx=0，解得
　　x=kπ，
　　k∈Z.由
　　cosx=0，解得
　　x=kπ+π2，
　　k∈Z.根据两个相邻最高点之间的长度恰好是一个最小正周期，故函数f （x）的最小正周期为π2.
　　点评：可导的周期函数，其导函数仍是周期函数，且原函数的周期是导函数的一个周期. 正（余）型函数两个相邻最高点
　　之间的长度恰好是一个最小正周期.
　　五、求三角函数的对称性
　　例5 若函数f （x）=sinx+acosx的图象关于直线
　　x=π6对称，则a=.
　　解：
　　f ′（x）=cosx-asinx.因为函数
　　f （x）的图象关于直线
　　x=π6对称，所以
　　f ′（π6）=0，即
　　cosπ6-a
　　sinπ6=0，从而
　　a=3.
　　点评：正（余）弦型函数既是中心对称图形也是轴对称图形，所有过最高点或最低点垂直于x轴的直线都是对称轴，利用导数研究，对称轴处取得极值，其导数值为0.