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摘要：以《平面与平面垂直的性质》为例，记述了基于提升直观想象素养的立体几何定理课的教学设计，并对教学进行了反思。直观想象是数学核心素养之一，它体现数形结合的重要思想，提升直观想象的素养要注意以下几点：重视学生的主体地位，重视直观感知，逐步形成空间观念，提高空间想象能力；重视文字语言，图形语言和符号语言的转化。
關键词：直观想象；核心素养；平面与平面垂直；转化
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）01-0118
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。高中立体几何是提升直观想象核心素养的重要载体，本文以人教版立体几何初步中的《平面与平面垂直的性质》为例，谈谈基于提升学生的直观想象的数学素养来进行立体几何的教学。
平面与平面垂直问题是平面与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
一、学情分析
在学习本课之前，学生已掌握了线线垂直、线面垂直及面面垂直的概念，判定定理及线面垂直的性质定理，学生已具备了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力和一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。本课借助生活中的实例，让学生通过观察、分析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和体验空间线面、面面之间的垂直关系，在观察、猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。
二、教学策略分析
新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体念，必须让学生追求过程的体念。基于以上认识，在设计本节课时，不是简单地告诉学生两个平面垂直的性质定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，这正是新课程所倡导的教学理念。教材通过问题“如果两个平面垂直那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面”来探索平面与平面垂直的性质定理。教学是要引导学生根据定理的自然语言，作出图形，然后用符号表示。对于平面与平面垂直的性质定理的证明，重在引导学生在平面β内找出一条与CD相交的直线垂直于AB。运用定理的关键是创设定理成立的条件。
三、教学目标
1. 知识技能目标：探究平面与平面垂直的性质定理的内容及定理的证明， 掌握面面垂直的性质定理的应用。
2. 过程与方法目标：通过对定理的探究和证明，向学生渗透从特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、想象、概括等逻辑推理能力及学生转化的思想。能通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵活运用知识学会分析问题、解决问题。
3. 能力目标：以学生的经验为基础，通过实验、分析、猜想、归纳、论证、运用培养学生分析问题、解决问题的能力，在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念；培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，实现自我价值，培养自信。
4. 情感目标：进一步丰富数学学习的成功体验，激发对空间图形研究的兴趣，形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。
四、重点、难点分析
教学重点：平面与平面垂直的性质定理
教学难点：灵活运用面面垂直的性质定理证明线线垂直和面面垂直，达到三者的相互转化。
五、教学过程
1. 复习提问
（1）面面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
2. 引入新课
如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平面α内，那么直线l与平面β是否一定垂直？有几种位置关系？什么情况下，平面α内的直线l与平面β垂直？
通过设计若干问题，由表及里，由浅入深，引导学生讨论，总结，猜想：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3. 探求新知
设α⊥β，α∩β=CD，AB β，AB⊥CD，且AB∩CD=B，
求证：AB⊥α
（让学生思考怎样证明）
分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线。
面面垂直的性质定理
文字语言：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
图象语言：（略）
符号语言：（略）
从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。学生在学习中要认真理解和体会。性质定理的条件有：平面垂直，线在面内，线垂直交线。
（上接第118页）
4. 拓展应用
下列判断线面垂直的方法有错误的吗？
（1）a⊥m，a⊥n，m，n αm，n相交， a⊥α
（2）a∥b，a⊥α b⊥α
（3）α∥β，a⊥α a⊥β
（4）α⊥β于b，a α，a⊥b a⊥β
小结：线线垂直、平行，面面垂直、平行都能得出线面垂直。 设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？
猜想：直线a与平面α内
例1. 如图，已知平面α、β，α⊥β，直線a⊥β，a α， 试判断直线a与平面α的位置关系，求证a ∥α （引导学生思考分析，因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系）
解：在α内作垂直于α、β交线AB的直线b
∵ α⊥β
∴b⊥β
∵ a⊥β ∴ a ∥b ，
又∵a α ，∴ a ∥α
例2. 如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC
（1）判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
（2）判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
证明：（1）∵点C是以AB为直径的⊙O圆周上不同于A、B的任意一点，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AC平面PAC，PA平面PAC，AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC.
（2）又∵ BC平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
5. 小结
（1）平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
（2）证明线面垂直的两种方法：线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
欲证直线a与平面α垂直，大致有以下思路：
①证明直线a垂直于α内两条相交直线，从而进一步想如何在α内找到这两条相交直线；②证明直线a与α的垂线平行，从而进一步想如何找α的垂线；③找直线a所在平面与α垂直，证明直线a垂直于两平面的交线。
六、反思
立体几何课堂教学中提升直观想象的素养要注意以下几点：
1. 重视学生的主体地位。课堂要站在学生的角度，从学生的认知水平出发开展教学工作，充分调动学生的主观能动性。教师要善于以问题链形式，开启学生的思维，让学生在回答问题中加深对相应知识的理解。
2. 重视直观感知，逐步形成空间观察，提高空间想象力。空间想象力是人们对客观事物的空间形式（空间几何形体）进行观察、分析、认知的抽象思维能力。教师要充分利用各种条件，运用各种手段，引导学生通过对物体、模型、图形的观察，让学生获取和运用几何初步知识，并在运用几何初步知识的过程中培养初步的空间想象力。
3. 重视文字语言、图形语言和符号语言的转化。教学中要帮助学生学会用图形语言和符号语言来描述，特别是它们之间关系的转化，从而进一步提升数形结合的能力。在立体几何教学中，要重视学生对这三种语言的理解。
总之，从几何直观中感知，能帮助理性认识的深化；理性认识的提高有助于深化空间想象能力；空间想象能力又能提高直观感知客观世界的能力，把直观感知和空间想象结合，使学生的综合素养进一步提升。
（作者单位：浙江省宁海县正学中学 315600）
關键词：直观想象；核心素养；平面与平面垂直；转化
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）01-0118
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。高中立体几何是提升直观想象核心素养的重要载体，本文以人教版立体几何初步中的《平面与平面垂直的性质》为例，谈谈基于提升学生的直观想象的数学素养来进行立体几何的教学。
平面与平面垂直问题是平面与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
一、学情分析
在学习本课之前，学生已掌握了线线垂直、线面垂直及面面垂直的概念，判定定理及线面垂直的性质定理，学生已具备了对空间几何图形的一定水平层次的想象能力和一定的逻辑推理能力和分析问题的能力。本课借助生活中的实例，让学生通过观察、分析、猜想、归纳、论证等活动过程，从中了解和体验空间线面、面面之间的垂直关系，在观察、猜想和论证中发展学生的逻辑推理能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力。
二、教学策略分析
新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体念，必须让学生追求过程的体念。基于以上认识，在设计本节课时，不是简单地告诉学生两个平面垂直的性质定理的内容，而是创设一些数学情境，让学生自己去发现定理。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，这正是新课程所倡导的教学理念。教材通过问题“如果两个平面垂直那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面”来探索平面与平面垂直的性质定理。教学是要引导学生根据定理的自然语言，作出图形，然后用符号表示。对于平面与平面垂直的性质定理的证明，重在引导学生在平面β内找出一条与CD相交的直线垂直于AB。运用定理的关键是创设定理成立的条件。
三、教学目标
1. 知识技能目标：探究平面与平面垂直的性质定理的内容及定理的证明， 掌握面面垂直的性质定理的应用。
2. 过程与方法目标：通过对定理的探究和证明，向学生渗透从特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、想象、概括等逻辑推理能力及学生转化的思想。能通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵活运用知识学会分析问题、解决问题。
3. 能力目标：以学生的经验为基础，通过实验、分析、猜想、归纳、论证、运用培养学生分析问题、解决问题的能力，在探索空间线线、线面、面面关系过程中逐步建立空间观念；培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中获得成功的体验，实现自我价值，培养自信。
4. 情感目标：进一步丰富数学学习的成功体验，激发对空间图形研究的兴趣，形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。
四、重点、难点分析
教学重点：平面与平面垂直的性质定理
教学难点：灵活运用面面垂直的性质定理证明线线垂直和面面垂直，达到三者的相互转化。
五、教学过程
1. 复习提问
（1）面面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）面面垂直判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
2. 引入新课
如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平面α内，那么直线l与平面β是否一定垂直？有几种位置关系？什么情况下，平面α内的直线l与平面β垂直？
通过设计若干问题，由表及里，由浅入深，引导学生讨论，总结，猜想：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
3. 探求新知
设α⊥β，α∩β=CD，AB β，AB⊥CD，且AB∩CD=B，
求证：AB⊥α
（让学生思考怎样证明）
分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线。
面面垂直的性质定理
文字语言：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
图象语言：（略）
符号语言：（略）
从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道面面垂直也可通过线面垂直来证明。这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。学生在学习中要认真理解和体会。性质定理的条件有：平面垂直，线在面内，线垂直交线。
（上接第118页）
4. 拓展应用
下列判断线面垂直的方法有错误的吗？
（1）a⊥m，a⊥n，m，n αm，n相交， a⊥α
（2）a∥b，a⊥α b⊥α
（3）α∥β，a⊥α a⊥β
（4）α⊥β于b，a α，a⊥b a⊥β
小结：线线垂直、平行，面面垂直、平行都能得出线面垂直。 设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？
猜想：直线a与平面α内
例1. 如图，已知平面α、β，α⊥β，直線a⊥β，a α， 试判断直线a与平面α的位置关系，求证a ∥α （引导学生思考分析，因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系）
解：在α内作垂直于α、β交线AB的直线b
∵ α⊥β
∴b⊥β
∵ a⊥β ∴ a ∥b ，
又∵a α ，∴ a ∥α
例2. 如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC
（1）判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
（2）判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
证明：（1）∵点C是以AB为直径的⊙O圆周上不同于A、B的任意一点，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AC平面PAC，PA平面PAC，AC∩PA=A，
∴BC⊥平面PAC.
（2）又∵ BC平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
5. 小结
（1）平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
（2）证明线面垂直的两种方法：线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
欲证直线a与平面α垂直，大致有以下思路：
①证明直线a垂直于α内两条相交直线，从而进一步想如何在α内找到这两条相交直线；②证明直线a与α的垂线平行，从而进一步想如何找α的垂线；③找直线a所在平面与α垂直，证明直线a垂直于两平面的交线。
六、反思
立体几何课堂教学中提升直观想象的素养要注意以下几点：
1. 重视学生的主体地位。课堂要站在学生的角度，从学生的认知水平出发开展教学工作，充分调动学生的主观能动性。教师要善于以问题链形式，开启学生的思维，让学生在回答问题中加深对相应知识的理解。
2. 重视直观感知，逐步形成空间观察，提高空间想象力。空间想象力是人们对客观事物的空间形式（空间几何形体）进行观察、分析、认知的抽象思维能力。教师要充分利用各种条件，运用各种手段，引导学生通过对物体、模型、图形的观察，让学生获取和运用几何初步知识，并在运用几何初步知识的过程中培养初步的空间想象力。
3. 重视文字语言、图形语言和符号语言的转化。教学中要帮助学生学会用图形语言和符号语言来描述，特别是它们之间关系的转化，从而进一步提升数形结合的能力。在立体几何教学中，要重视学生对这三种语言的理解。
总之，从几何直观中感知，能帮助理性认识的深化；理性认识的提高有助于深化空间想象能力；空间想象能力又能提高直观感知客观世界的能力，把直观感知和空间想象结合，使学生的综合素养进一步提升。
（作者单位：浙江省宁海县正学中学 315600）