论文部分内容阅读
【摘要】在高中数学学习当中，排列组合因为其具有简单的表达方式，同时具有较强的灵活性，因此在高中数学当中是非常重要的学习知识点。就近年来的高考试题来看，不管是从选择题上，还是填空题上，或是解答题上，排列组合都占有了较高的分值。所以，对于我们学习来说，一定要重视排列组合方面内容的掌握。
【关键词】高中数学；排列组合；解题技巧；原则
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）12-0268-02
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，是学生学习的一个难点问题。解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。因此，在平时的数学学习中，教师应教给学生排列组合的解题方法，使我们领会到排列组合解题的趣味性，提高学习兴趣，并在不知不觉中掌握解题技巧。
一、遵循的原则
1.认真、仔细、不遗漏的原则
因为排列和组合问题具有大的相似性，所以不少同学在进行解题时很容易将两者弄混，同时因为要解决这两种问题，所需要的思路是显然不同的，所以一旦错误就会造成明显的错误后果。因此，在审题时一定要认真、仔细、不遗漏，要对题目究竟是组合问题，还是排列问题多花些时间来进行判断。只有先把题目审清楚，才可以通过正确的解题思路来进行解题。比如，当遇到不同元素的性质时需要对其进行分类，当遇到事件问题需要对其进行分步，只有把这两样标准进行统一起来，才可能不出现遗漏和重复的问题。
2.整體、全面进行分析的原则
从排列组合问题来看，其中通常会有很多的限制条件，同时还会有先后顺序问题，这些都使得问题解决的难度加大，因此在对这些问题进行分析时，必须遵循一定的思维逻辑，没有逻辑的进行思考只能让头绪越来越乱。此外，在不影响题目意思的情况下，还应该具有将问题进行分解的能力，把复杂的问题进行分解，使其可以简化，这样有助于我们更加容易的找出解题的关键。
二、常用的基本方法
1.间接法
即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数，如果我们分步考虑时，会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复，就要考虑用分类法，分类法是解决复杂问题的有效手段，而当正面分类情况种数较多时，则就考虑用间接法计数。
例1：从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？
A.240 B.310 C.720 D.1080 正确答案：B
解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。
2.特殊优先法
特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
例2：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）。
A.280种 B.96种 C.180种 D.240种 正确答案：D
解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4，1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A（5，3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C（4，1）×A（5，3）=240种，所以选D。
3.捆绑法
所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。注意：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。
例3：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
A.240 B.320 C.450 D.480 正确答案：B
解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6×5×4×3×2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A（6，6）×A（3，3）=320（种）。
4.插空法
所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。注意：a.首要特点是不邻，其次是插空法，一般应用在排序问题中；b.将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置；c.对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。
例4：若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少种排队方法？
A.9 B.15 C.12 D.20 正确答案：C
解析：先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A（3，3）×A（2，2）=12种。
5.插板法
所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少的板插入元素之间形成分组的解题策略。需要注意的是其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。
例5：将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
A.28 B.24 C.32 D.48 正确答案：A
解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以将8个球排成一排，然后用两个板插到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是C（8，2）=28种。
三、结束语
在解决解答排列、组合问题时，一定要遵循相应的原则，根据题型的不同，来相应的采取不同的方法和技巧，这样就可以在解题时十分的简单，易懂，最为重要的是可以有效的准确解题，提高解题的效率。
参考文献
[1]江赛玭.浅谈排列组合应用题的解题技巧[J].读与写（教育教学刊），2014（4）.
[2]祁仲秋.高中数学排列组合的教学策略研究[J].语数外学习（高中数学教），2014（10）.
【关键词】高中数学；排列组合；解题技巧；原则
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）12-0268-02
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，是学生学习的一个难点问题。解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。因此，在平时的数学学习中，教师应教给学生排列组合的解题方法，使我们领会到排列组合解题的趣味性，提高学习兴趣，并在不知不觉中掌握解题技巧。
一、遵循的原则
1.认真、仔细、不遗漏的原则
因为排列和组合问题具有大的相似性，所以不少同学在进行解题时很容易将两者弄混，同时因为要解决这两种问题，所需要的思路是显然不同的，所以一旦错误就会造成明显的错误后果。因此，在审题时一定要认真、仔细、不遗漏，要对题目究竟是组合问题，还是排列问题多花些时间来进行判断。只有先把题目审清楚，才可以通过正确的解题思路来进行解题。比如，当遇到不同元素的性质时需要对其进行分类，当遇到事件问题需要对其进行分步，只有把这两样标准进行统一起来，才可能不出现遗漏和重复的问题。
2.整體、全面进行分析的原则
从排列组合问题来看，其中通常会有很多的限制条件，同时还会有先后顺序问题，这些都使得问题解决的难度加大，因此在对这些问题进行分析时，必须遵循一定的思维逻辑，没有逻辑的进行思考只能让头绪越来越乱。此外，在不影响题目意思的情况下，还应该具有将问题进行分解的能力，把复杂的问题进行分解，使其可以简化，这样有助于我们更加容易的找出解题的关键。
二、常用的基本方法
1.间接法
即部分符合条件排除法，采用正难则反，等价转换的策略。为求完成某件事的方法种数，如果我们分步考虑时，会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复，就要考虑用分类法，分类法是解决复杂问题的有效手段，而当正面分类情况种数较多时，则就考虑用间接法计数。
例1：从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同的选法？
A.240 B.310 C.720 D.1080 正确答案：B
解析：此题从正面考虑的话情况比较多，如果采用间接法，男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生，这样就可以变化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。
2.特殊优先法
特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
例2：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ）。
A.280种 B.96种 C.180种 D.240种 正确答案：D
解析：由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，所以翻译工作就是“特殊”位置，因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C（4，1）=4种不同的选法，再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A（5，3）=10种不同的选法，所以不同的选派方案共有 C（4，1）×A（5，3）=240种，所以选D。
3.捆绑法
所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间的顺序。注意：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。
例3：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
A.240 B.320 C.450 D.480 正确答案：B
解析：采用捆绑法，把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有 A（6，6）=6×5×4×3×2种，然后3个女生内部再进行排列，有A（3，3）=6种，两次是分步完成的，应采用乘法，所以排法共有：A（6，6）×A（3，3）=320（种）。
4.插空法
所谓插空法，指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。注意：a.首要特点是不邻，其次是插空法，一般应用在排序问题中；b.将要求不相邻元素插入排好元素时，要注释是否能够插入两端位置；c.对于捆绑法和插空法的区别，可简单记为“相邻问题捆绑法，不邻问题插空法”。
例4：若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队，要求甲和乙两个人必须不站在一起，且甲和乙不能站在两端，则有多少种排队方法？
A.9 B.15 C.12 D.20 正确答案：C
解析：先排好丙、丁、戊三个人，然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中，因为甲、乙不站两端，所以只有两个空可选，方法总数为A（3，3）×A（2，2）=12种。
5.插板法
所谓插板法，指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比所需分组数目少的板插入元素之间形成分组的解题策略。需要注意的是其首要特点是元素相同，其次是每组至少含有一个元素，一般用于组合问题中。
例5：将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
A.28 B.24 C.32 D.48 正确答案：A
解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以将8个球排成一排，然后用两个板插到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是C（8，2）=28种。
三、结束语
在解决解答排列、组合问题时，一定要遵循相应的原则，根据题型的不同，来相应的采取不同的方法和技巧，这样就可以在解题时十分的简单，易懂，最为重要的是可以有效的准确解题，提高解题的效率。
参考文献
[1]江赛玭.浅谈排列组合应用题的解题技巧[J].读与写（教育教学刊），2014（4）.
[2]祁仲秋.高中数学排列组合的教学策略研究[J].语数外学习（高中数学教），2014（10）.