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【摘要】数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象.初中数学课程应体现综合与实践中“问题情境——建立数学模型——理解、应用与拓展”的建模设计流程，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程.初中数学建模教学宜低起点、小步子、多活动，要重视数学知识，更应突出数学思想方法，让学生通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学学习活动，在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感、态度与价值观等多方面得到进步和发展.
【关键词】初中数学建模;数学模型;课例分析;综合与实践
一、数学模型与数学建模
所谓数学模型，是指对现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念.各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型.而通过对问题数学化，构建模型，求解检验使问题获得解决的方法被称之为数学模型方法.我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题.确实，我们常常可以通过模型来了解“母本”物体的信息和性质.用模型来研究“母本”物体是一种非常重要的技术方法.而数学模型往往不是一个实体模型，它是用来近似表达事物或其现象特征的一种数学结构，是用一组数学规则和定理来描述、刻画事物和现象的理论模型.因此，我们也把设计数学模型的过程叫数学建模.
由此，我们可以看出，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力关键是把实际问题抽象为数学问题，要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力.
二、初中开展数学建模活动的课例及分析
（一）初中数学建模的类型
初中数学建模的类型主要是数学概念模式、数学原理教学模式、数学习题教学模式、数學复习课教学模式、数学讲评课模式、数学思想方法教学模式等十一类.现在，就前两种模式表达一些自己的看法：
1.数学概念模式
数学概念模式分“启发讨论模式”“自学辅导模式”.“启发讨论模式”将教师教学的着力点放在“导”上，在课堂教学中，教师通过启发、引导、指导、辅导等方式与讲授结合起来，以提高学生的参与程度，增强学生学习的主动性，另外学生通过自主探究、发现、尝试、提问、讨论、反馈、练习等，经历数学概念形成的过程，从而加深对概念的理解，使其主体作用得到更充分的发挥，从而使教学与学法能够较好地相融共进.同时，学生在此过程中所获得的体验和经历，可以使他们在后继的学习中，逐渐提高理解能力，掌握教学思维方法，学会数学思维.“自学—辅导教学模式”以学生为主，以培养学生学会学习、适应未来社会发展的需要为目的，在教学过程中，强调以学生为主体，以教师为主导，在教师的辅导下，学生通过系统的自学，彼此交流、合作、研讨，掌握概念、获取新知.同时在获取新知的过程中，掌握自主学习的方法，提高学习数学的能力.建构主义理论认为，知识产生于主体与客体的作用过程之中，数学知识不是简单机械地从一个人迁移到另一个人，而是基于个人对经验的操作、交流，通过反省来建构的，学生可以充分感受到成功与失败的情感体验，为建构新的认识结构奠定扎实的基础.
2.数学原理教学模式
数学原理教学模式主要有“发现——渗透式”，其特点是由学生发现，证明由学生完成，应用中加深理解，将数学思想方法的渗透贯穿于始终.其操作过程是创设情境以旧托新—引导探索发现结论—科学论证形成原理—示例练习促进保持—变式训练点拨方法—挖掘内涵体验鉴赏.其次是“讨论—反馈”模式，其特点是在富有情趣的氛围中，以教师与学生的互动方式，通过教师的引发、反馈、指导、评价，学生的探究、讨论、交流、练习，不断激发学生对问题的好奇心，使其在积极的自主活动中学到知识，享受数学学习带来的乐趣.其操用过程是设问激发兴趣引出课题—分组讨论指导探究—交流结果互辩互启—反馈评价统一认识—深入探讨获取定论—练习巩固反思矫正.再次，“理解链—双主性”模式，其特点是利用皮亚杰的同化、顺应、平衡理论建立了数学知识学习的理解链，由这种特定的思维途径建立起新旧知识的实质性联系.并以双主性的作用方式，在教师的主导下充分发挥学生的主体作用，使学生通过对理解链的操作学习，提高自己数学学习的主动参与程度，真正理解数学新知识，建立良好的认知结构.其操作过程是表层理解—依托理解—深刻理解—应用理解—内化理解.
（二）初中数学建模活动的课例分析
课例 利用“状态转移法”，解决“分油问题”
分油问题是一个古老的益智问题，其中一个问题是这样的：大桶里有10斤油，现有大小两个瓶子，大瓶能装7斤油，小瓶能装3斤油.没有其他量具，如何把10斤油平分成两个5斤油？如果将桶中的油量改成16斤，大、小空瓶的容量改成12斤和7斤，证明不能分出两个8斤油.
分析 这个问题的求解方法是多种多样的，下面介绍的是用“状态转移”的数学模型求解的过程.建模的过程是这样的：我们用二维数组（x，y）表示大、小瓶装油的“状态”，其中x，y分别表示大、小瓶中的油量，单位是“斤”.容许的状态是（x，y）：0≤x≤7，0≤y≤3.
状态转移操作的说明：
容许状态的分布区域下面我们把倒油的操作与“状态”在容许区域中的变化，对应的描述如下：
1.桶向大瓶里倒k斤油：（x，y）→（x k，y）相当于水平右移k格，k≤7;
2.大瓶向桶里倒k斤油：（x，y）→（x-k，y）相当于水平左移k格，k≤7;
3.桶向小瓶里倒k斤油：（x，y）→（x，y k）相当于竖直上移k格，k≤3; 4.小瓶向桶里倒k斤油：（x，y）→（x，y-k）相当于竖直下移k格，k≤3;
5.大瓶向小瓶里倒k斤油：（x，y）→（x-k，y k）相当于沿135°的方向，向左上方移过k行，k≤3;
6.小瓶向大瓶里倒k斤油：（x，y）→（x k，y-k）相当于沿-45°的方向，向右下方移过k行，k≤3.
因此，我们可以用以上方法，证明分油不可能的问题.（此处略去具体做法）
三、在初中数学常规教学中渗透“模型”思想的实际价值
初中数学建模的前哨战——初中数学综合与实践
《初中数学课程标准》（以下称《标准》）指出：“综合与实践”是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题.初中数学建模活动与数学综合实践的关系有很明显的交叉：
那么，我们的初中数学为什么要开展数学综合与实践呢？我认为有以下三点理由：
1.综合与实践是培养学生应用意识很好的载体;
2.综合与实践有助于培养学生的创新意识.学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.
3.综合与实践有助于培养学生的模型思想.模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.
四、初中数学建模、综合与实践具体实施办法及案例分析
（一）初中阶段数学建模、综合与实践活动的类型（举例部分）
1.课堂内进行的综合与实践活动：例如，（1）探寻神奇的幻方;（2）设计自己的运算程序.
2.解决数学外部问题（生活、其他学科等）的综合与实践活动：例如，（1）七巧板;（2）折纸问题探索.
3.解决数学内部问题的综合与实践活动：
例如，（1）关注人口老龄化;（2）制作立体模型;（3）制作一个尽可能大的无盖长方体盒子.
（二）初中阶段数学建模、综合与实践的操作环节
我们把操作环节设置成以下四个步骤：
1.选题——问题引领;
2.开题——探寻解径;
3.做题——实践操作;
4.结题——交流评价.
以上环节，实际上是一个模拟的“微科研”过程.
（三）初中阶段数学建模、综合与实践的操作案例及分析
案例 走出课堂的数学建模（综合与实践），身边数学建模问题的延续.
复印纸的问题：
常用的复印纸的型号有A4、A3、B4、B5等等.有一天，我在数码广场行走，突然在某大型复印机专业公司服务部的门面上看到贴出的如下广告：“本部承接超大型工程图纸复印业务，规格可达A1、B1大小……”.好奇的我立刻联想到下面的问题，A1、B1的复印纸有多大？，能不能根据手边的几种常见的复印纸的大小，推算出A1及B1型复印纸的大小？它们的尺寸之间有什么数量关系？
问题解析：
1.先观察若干复印纸的样品，容易发现规律;
2.查阅电脑：（如WORD、WPS等软件）的“页面设置”栏目下的信息，可以具体查出A4和B5的尺寸如下（单位：mm）：
如果将问题进行拓展，就可以得到以下延伸的问题：
（1）我们类似地可以解决报纸、常见标准尺寸的出版物的尺寸推算，如根據手中常见的32K的教材的尺寸，估算16K、8K、4K、2K、1K出版物的尺寸.
（2）将“优美矩形列”推广到三维空间，会得到怎样的“优美长方体列”，又会有怎样的性质？
（3）将“优美矩形列”推广到如图所示的情境，又会有怎样的性质？例如，我们看看图1，在1∶3状态下的“美丽矩形”.
综上所述，在初中数学教学中构建学生的数学建模意识与素质教学所要求的培养学生的创造性思维能力是相辅相成、密不可分的.要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性、培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉地在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学.我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]张思明.张思明与数学课题学习[M].北京：北京师范大学出版社，2006.
【关键词】初中数学建模;数学模型;课例分析;综合与实践
一、数学模型与数学建模
所谓数学模型，是指对现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念.各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型.而通过对问题数学化，构建模型，求解检验使问题获得解决的方法被称之为数学模型方法.我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题.确实，我们常常可以通过模型来了解“母本”物体的信息和性质.用模型来研究“母本”物体是一种非常重要的技术方法.而数学模型往往不是一个实体模型，它是用来近似表达事物或其现象特征的一种数学结构，是用一组数学规则和定理来描述、刻画事物和现象的理论模型.因此，我们也把设计数学模型的过程叫数学建模.
由此，我们可以看出，培养学生运用数学建模解决实际问题的能力关键是把实际问题抽象为数学问题，要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力.
二、初中开展数学建模活动的课例及分析
（一）初中数学建模的类型
初中数学建模的类型主要是数学概念模式、数学原理教学模式、数学习题教学模式、数學复习课教学模式、数学讲评课模式、数学思想方法教学模式等十一类.现在，就前两种模式表达一些自己的看法：
1.数学概念模式
数学概念模式分“启发讨论模式”“自学辅导模式”.“启发讨论模式”将教师教学的着力点放在“导”上，在课堂教学中，教师通过启发、引导、指导、辅导等方式与讲授结合起来，以提高学生的参与程度，增强学生学习的主动性，另外学生通过自主探究、发现、尝试、提问、讨论、反馈、练习等，经历数学概念形成的过程，从而加深对概念的理解，使其主体作用得到更充分的发挥，从而使教学与学法能够较好地相融共进.同时，学生在此过程中所获得的体验和经历，可以使他们在后继的学习中，逐渐提高理解能力，掌握教学思维方法，学会数学思维.“自学—辅导教学模式”以学生为主，以培养学生学会学习、适应未来社会发展的需要为目的，在教学过程中，强调以学生为主体，以教师为主导，在教师的辅导下，学生通过系统的自学，彼此交流、合作、研讨，掌握概念、获取新知.同时在获取新知的过程中，掌握自主学习的方法，提高学习数学的能力.建构主义理论认为，知识产生于主体与客体的作用过程之中，数学知识不是简单机械地从一个人迁移到另一个人，而是基于个人对经验的操作、交流，通过反省来建构的，学生可以充分感受到成功与失败的情感体验，为建构新的认识结构奠定扎实的基础.
2.数学原理教学模式
数学原理教学模式主要有“发现——渗透式”，其特点是由学生发现，证明由学生完成，应用中加深理解，将数学思想方法的渗透贯穿于始终.其操作过程是创设情境以旧托新—引导探索发现结论—科学论证形成原理—示例练习促进保持—变式训练点拨方法—挖掘内涵体验鉴赏.其次是“讨论—反馈”模式，其特点是在富有情趣的氛围中，以教师与学生的互动方式，通过教师的引发、反馈、指导、评价，学生的探究、讨论、交流、练习，不断激发学生对问题的好奇心，使其在积极的自主活动中学到知识，享受数学学习带来的乐趣.其操用过程是设问激发兴趣引出课题—分组讨论指导探究—交流结果互辩互启—反馈评价统一认识—深入探讨获取定论—练习巩固反思矫正.再次，“理解链—双主性”模式，其特点是利用皮亚杰的同化、顺应、平衡理论建立了数学知识学习的理解链，由这种特定的思维途径建立起新旧知识的实质性联系.并以双主性的作用方式，在教师的主导下充分发挥学生的主体作用，使学生通过对理解链的操作学习，提高自己数学学习的主动参与程度，真正理解数学新知识，建立良好的认知结构.其操作过程是表层理解—依托理解—深刻理解—应用理解—内化理解.
（二）初中数学建模活动的课例分析
课例 利用“状态转移法”，解决“分油问题”
分油问题是一个古老的益智问题，其中一个问题是这样的：大桶里有10斤油，现有大小两个瓶子，大瓶能装7斤油，小瓶能装3斤油.没有其他量具，如何把10斤油平分成两个5斤油？如果将桶中的油量改成16斤，大、小空瓶的容量改成12斤和7斤，证明不能分出两个8斤油.
分析 这个问题的求解方法是多种多样的，下面介绍的是用“状态转移”的数学模型求解的过程.建模的过程是这样的：我们用二维数组（x，y）表示大、小瓶装油的“状态”，其中x，y分别表示大、小瓶中的油量，单位是“斤”.容许的状态是（x，y）：0≤x≤7，0≤y≤3.
状态转移操作的说明：
容许状态的分布区域下面我们把倒油的操作与“状态”在容许区域中的变化，对应的描述如下：
1.桶向大瓶里倒k斤油：（x，y）→（x k，y）相当于水平右移k格，k≤7;
2.大瓶向桶里倒k斤油：（x，y）→（x-k，y）相当于水平左移k格，k≤7;
3.桶向小瓶里倒k斤油：（x，y）→（x，y k）相当于竖直上移k格，k≤3; 4.小瓶向桶里倒k斤油：（x，y）→（x，y-k）相当于竖直下移k格，k≤3;
5.大瓶向小瓶里倒k斤油：（x，y）→（x-k，y k）相当于沿135°的方向，向左上方移过k行，k≤3;
6.小瓶向大瓶里倒k斤油：（x，y）→（x k，y-k）相当于沿-45°的方向，向右下方移过k行，k≤3.
因此，我们可以用以上方法，证明分油不可能的问题.（此处略去具体做法）
三、在初中数学常规教学中渗透“模型”思想的实际价值
初中数学建模的前哨战——初中数学综合与实践
《初中数学课程标准》（以下称《标准》）指出：“综合与实践”是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题.初中数学建模活动与数学综合实践的关系有很明显的交叉：
那么，我们的初中数学为什么要开展数学综合与实践呢？我认为有以下三点理由：
1.综合与实践是培养学生应用意识很好的载体;
2.综合与实践有助于培养学生的创新意识.学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.
3.综合与实践有助于培养学生的模型思想.模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.
四、初中数学建模、综合与实践具体实施办法及案例分析
（一）初中阶段数学建模、综合与实践活动的类型（举例部分）
1.课堂内进行的综合与实践活动：例如，（1）探寻神奇的幻方;（2）设计自己的运算程序.
2.解决数学外部问题（生活、其他学科等）的综合与实践活动：例如，（1）七巧板;（2）折纸问题探索.
3.解决数学内部问题的综合与实践活动：
例如，（1）关注人口老龄化;（2）制作立体模型;（3）制作一个尽可能大的无盖长方体盒子.
（二）初中阶段数学建模、综合与实践的操作环节
我们把操作环节设置成以下四个步骤：
1.选题——问题引领;
2.开题——探寻解径;
3.做题——实践操作;
4.结题——交流评价.
以上环节，实际上是一个模拟的“微科研”过程.
（三）初中阶段数学建模、综合与实践的操作案例及分析
案例 走出课堂的数学建模（综合与实践），身边数学建模问题的延续.
复印纸的问题：
常用的复印纸的型号有A4、A3、B4、B5等等.有一天，我在数码广场行走，突然在某大型复印机专业公司服务部的门面上看到贴出的如下广告：“本部承接超大型工程图纸复印业务，规格可达A1、B1大小……”.好奇的我立刻联想到下面的问题，A1、B1的复印纸有多大？，能不能根据手边的几种常见的复印纸的大小，推算出A1及B1型复印纸的大小？它们的尺寸之间有什么数量关系？
问题解析：
1.先观察若干复印纸的样品，容易发现规律;
2.查阅电脑：（如WORD、WPS等软件）的“页面设置”栏目下的信息，可以具体查出A4和B5的尺寸如下（单位：mm）：
如果将问题进行拓展，就可以得到以下延伸的问题：
（1）我们类似地可以解决报纸、常见标准尺寸的出版物的尺寸推算，如根據手中常见的32K的教材的尺寸，估算16K、8K、4K、2K、1K出版物的尺寸.
（2）将“优美矩形列”推广到三维空间，会得到怎样的“优美长方体列”，又会有怎样的性质？
（3）将“优美矩形列”推广到如图所示的情境，又会有怎样的性质？例如，我们看看图1，在1∶3状态下的“美丽矩形”.
综上所述，在初中数学教学中构建学生的数学建模意识与素质教学所要求的培养学生的创造性思维能力是相辅相成、密不可分的.要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性、培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉地在学习过程中构建数学建模意识，只有这样才能使学生分析和解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学.我们相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模教学”必将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]张思明.张思明与数学课题学习[M].北京：北京师范大学出版社，2006.