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【内容摘要】平行四边形的教学难点在于学生要熟练运用平行四边形的判定方法去证明四边形是平行四边形，而学生对平行四边形的证明方法理解归纳不够，思考时间过多，稍难点的题目就无从下手。为此，本人将对平行四边形的证明进行归类、总结。
【关键词】平行四边形 证明
平行四边形性质判定归纳。从识记内容上面来看学生要记和用的内容偏多，易混淆。从记忆方法来说，性质和判定都可以从边的角度、角的角度、对角线的角度三个方面来捋顺。这些一般情况下，老师们都不成问题，所以具体不再赘述。
从具体证明类型来说，本人把证明类型分为三类：
一、证明截平行四边形的边所组成的四边形是平行四边形
例1.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由。
分析：BE与DF是角的平分线，截已有平行四边的边AD、BC形成新的四边形BFDF证明方法有几种，可以用“对角相等”“对边平行”、“对边相等”、“一组对边平行且相等”的方法去证明。其中较方便的是“对边平行”的方法去证明。
变式1 题目中”BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F”的条件变为ED=BF后，证明方法和证明类型是差不多的。
变式2 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点。求证：四边形ENFM是平行四边形。
分析：四边形DEBF就是在已有的平行四边形外层被截所形成的四边形，证明它是平行四边形的方法与例题1相同。在已完成证明四边形DEBF是平行四边形的条件下，要证四边形ENFM是平行四边形还是与例题1方法一样，只不过这道题要证两次而已。
若把“M、N 分别是DE、BF的中点”，的条件变为ME=FN，或改成EN、MF分别平分∠DEB、∠DFB时，证明方法、类型仍然一样。
变式3 如图，在 平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF=DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点。求证：四边形FMEN为平行四边形。
分析：这道题我们可以先证四边形AFCE是平行四边形，再证四边形BFDE是平行四边形，分别得出MF∥EN，ME∥FN就可以说明四边形FMEN为平行四边形了。这些都可以让学生去思考、探究、总结，从而形成学生对这类题目证明的快速反应。
二、证明截平行四边形的对角线所形成的四边形是平行四边形
例题2，已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。求证：四边形DEBF是平行四边形。
分析：四边形DEBF可以看成是被线段DE和BF所截而形成的四边形。连接DB交AC与点O，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=OC，DO=BO，又因为AE=FC，所以EO=FO所以四边形DEBF是平行四边形。这类问题方法简单好用，就用“对角线互相平分”的判定方法即可。
变式1 如图，已知：AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E，F分别是OC，OD的中点。求证：四边形AFBE是平行四边形。
分析：这道题我们可以先证四边形ADBC是平行四边形，易证△AOC≌△BOD，所以OC=OD，又AO=BO， 所以四边形ADBC是平行四边形。剩下的过程就跟例题差不多了。
三、证明过平行四边形的对角线交点的直线所形成的四边形是平行四边形
例题3，已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， EF过点O与AB、CD分别交于点E、F。求证：四边形AECF是平行四边形。
分析：这道题的证明只需证△AOE≌△COF即可得出OE=OF（或 AE=FC），从而四边形AECF是平行四边形。
变式1 如图①，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，與AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）。
分析：过平行四边形的对角线的直线现在变成了俩条，同样可证△AOE≌△COF，△AOG≌△COH全等，从而得出OE=OF，OG=OH。就可以说明四边形EGFH是平行四边形了。第二问一般也学生不难解决。
学生如果能熟悉平行四边形的三大类型以及它们的证明方法的话，相信学生在证明平行四边形时，反应速度会比较快。
（作者单位：中建麦绍棠学校）
【关键词】平行四边形 证明
平行四边形性质判定归纳。从识记内容上面来看学生要记和用的内容偏多，易混淆。从记忆方法来说，性质和判定都可以从边的角度、角的角度、对角线的角度三个方面来捋顺。这些一般情况下，老师们都不成问题，所以具体不再赘述。
从具体证明类型来说，本人把证明类型分为三类：
一、证明截平行四边形的边所组成的四边形是平行四边形
例1.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由。
分析：BE与DF是角的平分线，截已有平行四边的边AD、BC形成新的四边形BFDF证明方法有几种，可以用“对角相等”“对边平行”、“对边相等”、“一组对边平行且相等”的方法去证明。其中较方便的是“对边平行”的方法去证明。
变式1 题目中”BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F”的条件变为ED=BF后，证明方法和证明类型是差不多的。
变式2 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点。求证：四边形ENFM是平行四边形。
分析：四边形DEBF就是在已有的平行四边形外层被截所形成的四边形，证明它是平行四边形的方法与例题1相同。在已完成证明四边形DEBF是平行四边形的条件下，要证四边形ENFM是平行四边形还是与例题1方法一样，只不过这道题要证两次而已。
若把“M、N 分别是DE、BF的中点”，的条件变为ME=FN，或改成EN、MF分别平分∠DEB、∠DFB时，证明方法、类型仍然一样。
变式3 如图，在 平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF=DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点。求证：四边形FMEN为平行四边形。
分析：这道题我们可以先证四边形AFCE是平行四边形，再证四边形BFDE是平行四边形，分别得出MF∥EN，ME∥FN就可以说明四边形FMEN为平行四边形了。这些都可以让学生去思考、探究、总结，从而形成学生对这类题目证明的快速反应。
二、证明截平行四边形的对角线所形成的四边形是平行四边形
例题2，已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。求证：四边形DEBF是平行四边形。
分析：四边形DEBF可以看成是被线段DE和BF所截而形成的四边形。连接DB交AC与点O，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=OC，DO=BO，又因为AE=FC，所以EO=FO所以四边形DEBF是平行四边形。这类问题方法简单好用，就用“对角线互相平分”的判定方法即可。
变式1 如图，已知：AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E，F分别是OC，OD的中点。求证：四边形AFBE是平行四边形。
分析：这道题我们可以先证四边形ADBC是平行四边形，易证△AOC≌△BOD，所以OC=OD，又AO=BO， 所以四边形ADBC是平行四边形。剩下的过程就跟例题差不多了。
三、证明过平行四边形的对角线交点的直线所形成的四边形是平行四边形
例题3，已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， EF过点O与AB、CD分别交于点E、F。求证：四边形AECF是平行四边形。
分析：这道题的证明只需证△AOE≌△COF即可得出OE=OF（或 AE=FC），从而四边形AECF是平行四边形。
变式1 如图①，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，與AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）。
分析：过平行四边形的对角线的直线现在变成了俩条，同样可证△AOE≌△COF，△AOG≌△COH全等，从而得出OE=OF，OG=OH。就可以说明四边形EGFH是平行四边形了。第二问一般也学生不难解决。
学生如果能熟悉平行四边形的三大类型以及它们的证明方法的话，相信学生在证明平行四边形时，反应速度会比较快。
（作者单位：中建麦绍棠学校）