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在求解许多关于实数问题时,通过计算相关实数的方差S2,再利用S2≥0,常能收到事半功倍的效果,达到出奇制胜的目的. 下面举例说明,希望大家能够从中受到有益的启迪.
1 求值
例1 已知实数a,b,c满足
a+3b=6①
a+3b-2ab+2c2=0 ②,
试求a+2b+3c的值.
解析 ②-①,得ab=c2+3,③
将①式平方,得a2+(3b)2=36=6ab .
④
将③代入④,得a2+(3b)2=36-6(c2+3)=18-6c2,把a、3b看作一组数据,则由方差公式有：S2=12a2+(3b)2-2a+2b22=12(18-6c2-18)=-c2．
因为S2≥0,所以-3c2≥0,所以c2≤0.
但c2≥0,所以c=0,所以S2=0,所以a=3b,将其带入①式可求得a=3,b=1.
所以a+2b+3c=3+2×1+3×0=5.
例2 已知实数a, b, c, d满足a+b+c+d=4,a2+b2+c2+d2=4,求abcd的值.
解析 因为x=14(a+b+c+d)=14×4=1,所以视a, b, c, d为一组数据,则由方差公式,得S2=14［(a2+b2+c2+d2)-4(x)2］=14×(4-4×1)=0. 所以(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(d-1)2=4S2=0,所以由非负数的性质,得a=b=c=d=1,所以abcd=1.
2 求取值范围
例3 设实数a, b, c满足
a2-bc-8a+7=0 ①
b2+c2+bc-6a+6=0 ②，则m的取值范围是 .
解析 ①+②,得b2+c2=-a2+14a-13,
②-①,得(b+c)2=(a-1)2.
则由方差公式得b、c的方差为
S2=12［(b2+c2)-12(b+c)2］=12［(-a2+14a-13)-12(a-1)2］=-34(a2-10a+9).
因为S2≥0,所以-34(a2-10a+9)≥0,所以a2-10a+9≤0,解之得1≤a≤9.
3 求最值
例4 已知实数a, b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2,那么t的取值范围是；又t最大值=；t最小值=.
解 将a2+ab+b2=1,ab-a2-b2=t两式两端相加,得2ab=t+1,故ab=t+12.
所以(a+b)2=(a2-ab+b2)+3ab=-t+3×t+12=t+32≥0,所以t≥-3．
视a, b为一组数据,则由方差公式,得
S2=12(a2+b2)-2(a+b2)2=14［(a2-ab+b2)-ab］=14-t-t+12=-3t+18≥0,
所以3t+1≤0,所以t≤-13,从而知-3≤t≤-13,所以t最大值=≤；t最小值=-3.
例5 实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则1Smax=.
解析 设x2+y2=t,则由方差公式得x、y的方差S2=12(x2+y2)-2×(x+y2)2
=12(x2+y2)-x2+2xy+y22
=(x2+y2)-2xy4=t-2xy4. ①
因为4x2-5xy+4y2=5,
所以5xy=4(x2+y2)-5,
所以xy=45(x2+y2)-1=45t-1,把上式代入①,得S2=t-85t+24=-3t+1020≥0,
所以3t-10≤0,所以t≤103,即Smax=103,
所以1Smax=310.
4 证明至少类问题
例6 已知a, b, c均为实数,a+b+c=0,abc=1. 求证：a, b, c中至少有一个大于32.
证明 由题设条件知a, b, c中必有两正一负,不妨设a>0,于是b+c=-a,bc=1a.
所以b2+c2=(b+c)2-2bc=a2-2a,
所以b, c的方差为：S2=12［b2+c2-12(b+c)2］=12(a2-2a-12•a2)=a3-44a.
由S2≥0,有a3-44a≥0,所以a≥34=3328>3278=32,即a>32,故命题得证.
5 证明不等式
例7 若x, y, z为正实数,且x+y+z=1,求证：x2+y2+z2≥13.
证明 令x=x+y+z3=13,则S2=13(x-13)2+(y-13)2+(z-13)2≥0,即
x2+y2+z2-23(x+y+z)+13≥0,由此得x2+y2+z2≥13.
6 判断三角形的形状
例8 △ABC的三边a, b, c满足b+c=8,bc=a2-12a+52. 试问△ABC是什么三角形(按边分类)？并证明你的结论.
解与证 因为b+c=8,bc=a2-12a+52,所以b2+c2=(b+c)2-2bc=64-2a2+24a-104=-2a2+24a-40.
所以a, b的方差S2=12［b2+c2-12(b+c)2］=12(-2a2+24a-40-32)=-(a-6)2≥0.
故(a-6)2≤0,又(a-6)2≥0,所以(a-6)2=0,所以a=6.
所以b-=c=4,故△ABC为等腰三角形.
7 解方程组
例9 解关于实数x, y, z的方程组
2x+3y+z=13①
4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82②
解析 由①得2x+(3y+3)=16-z,
①+②,得(2x)2+(3y+3)2=-z2-4z+104.
则由方差公式得x, y的方程为
S2=12［(2x)2+(3y+3)2-12(2x+3y+3)2］
=12［(-z2-4z+104)-12(16-z)2］
=-34(z-4)2.
因为S2≥0,所以-34(z-4)2≥0,所以(z-4)2=0,所以z=4,所以S2=0,所以2x=3y+3.
把z=4,2x=3y+3代入①,得y=1,从而x=3,所以x=3,y=1,z=4.
作者简介： 华兴恒,男,1962年生,安徽灵璧人.中学高级教师,主要研究中学数学中考命题与评价,在省级以上刊物发表论文一百余篇．
1 求值
例1 已知实数a,b,c满足
a+3b=6①
a+3b-2ab+2c2=0 ②,
试求a+2b+3c的值.
解析 ②-①,得ab=c2+3,③
将①式平方,得a2+(3b)2=36=6ab .
④
将③代入④,得a2+(3b)2=36-6(c2+3)=18-6c2,把a、3b看作一组数据,则由方差公式有：S2=12a2+(3b)2-2a+2b22=12(18-6c2-18)=-c2．
因为S2≥0,所以-3c2≥0,所以c2≤0.
但c2≥0,所以c=0,所以S2=0,所以a=3b,将其带入①式可求得a=3,b=1.
所以a+2b+3c=3+2×1+3×0=5.
例2 已知实数a, b, c, d满足a+b+c+d=4,a2+b2+c2+d2=4,求abcd的值.
解析 因为x=14(a+b+c+d)=14×4=1,所以视a, b, c, d为一组数据,则由方差公式,得S2=14［(a2+b2+c2+d2)-4(x)2］=14×(4-4×1)=0. 所以(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(d-1)2=4S2=0,所以由非负数的性质,得a=b=c=d=1,所以abcd=1.
2 求取值范围
例3 设实数a, b, c满足
a2-bc-8a+7=0 ①
b2+c2+bc-6a+6=0 ②，则m的取值范围是 .
解析 ①+②,得b2+c2=-a2+14a-13,
②-①,得(b+c)2=(a-1)2.
则由方差公式得b、c的方差为
S2=12［(b2+c2)-12(b+c)2］=12［(-a2+14a-13)-12(a-1)2］=-34(a2-10a+9).
因为S2≥0,所以-34(a2-10a+9)≥0,所以a2-10a+9≤0,解之得1≤a≤9.
3 求最值
例4 已知实数a, b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2,那么t的取值范围是；又t最大值=；t最小值=.
解 将a2+ab+b2=1,ab-a2-b2=t两式两端相加,得2ab=t+1,故ab=t+12.
所以(a+b)2=(a2-ab+b2)+3ab=-t+3×t+12=t+32≥0,所以t≥-3．
视a, b为一组数据,则由方差公式,得
S2=12(a2+b2)-2(a+b2)2=14［(a2-ab+b2)-ab］=14-t-t+12=-3t+18≥0,
所以3t+1≤0,所以t≤-13,从而知-3≤t≤-13,所以t最大值=≤；t最小值=-3.
例5 实数x、y满足4x2-5xy+4y2=5,设S=x2+y2,则1Smax=.
解析 设x2+y2=t,则由方差公式得x、y的方差S2=12(x2+y2)-2×(x+y2)2
=12(x2+y2)-x2+2xy+y22
=(x2+y2)-2xy4=t-2xy4. ①
因为4x2-5xy+4y2=5,
所以5xy=4(x2+y2)-5,
所以xy=45(x2+y2)-1=45t-1,把上式代入①,得S2=t-85t+24=-3t+1020≥0,
所以3t-10≤0,所以t≤103,即Smax=103,
所以1Smax=310.
4 证明至少类问题
例6 已知a, b, c均为实数,a+b+c=0,abc=1. 求证：a, b, c中至少有一个大于32.
证明 由题设条件知a, b, c中必有两正一负,不妨设a>0,于是b+c=-a,bc=1a.
所以b2+c2=(b+c)2-2bc=a2-2a,
所以b, c的方差为：S2=12［b2+c2-12(b+c)2］=12(a2-2a-12•a2)=a3-44a.
由S2≥0,有a3-44a≥0,所以a≥34=3328>3278=32,即a>32,故命题得证.
5 证明不等式
例7 若x, y, z为正实数,且x+y+z=1,求证：x2+y2+z2≥13.
证明 令x=x+y+z3=13,则S2=13(x-13)2+(y-13)2+(z-13)2≥0,即
x2+y2+z2-23(x+y+z)+13≥0,由此得x2+y2+z2≥13.
6 判断三角形的形状
例8 △ABC的三边a, b, c满足b+c=8,bc=a2-12a+52. 试问△ABC是什么三角形(按边分类)？并证明你的结论.
解与证 因为b+c=8,bc=a2-12a+52,所以b2+c2=(b+c)2-2bc=64-2a2+24a-104=-2a2+24a-40.
所以a, b的方差S2=12［b2+c2-12(b+c)2］=12(-2a2+24a-40-32)=-(a-6)2≥0.
故(a-6)2≤0,又(a-6)2≥0,所以(a-6)2=0,所以a=6.
所以b-=c=4,故△ABC为等腰三角形.
7 解方程组
例9 解关于实数x, y, z的方程组
2x+3y+z=13①
4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82②
解析 由①得2x+(3y+3)=16-z,
①+②,得(2x)2+(3y+3)2=-z2-4z+104.
则由方差公式得x, y的方程为
S2=12［(2x)2+(3y+3)2-12(2x+3y+3)2］
=12［(-z2-4z+104)-12(16-z)2］
=-34(z-4)2.
因为S2≥0,所以-34(z-4)2≥0,所以(z-4)2=0,所以z=4,所以S2=0,所以2x=3y+3.
把z=4,2x=3y+3代入①,得y=1,从而x=3,所以x=3,y=1,z=4.
作者简介： 华兴恒,男,1962年生,安徽灵璧人.中学高级教师,主要研究中学数学中考命题与评价,在省级以上刊物发表论文一百余篇．