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摘 要：高考在物理学科中要求学生具备“五大能力”，其中“运用数学工具解决物理问题”这一项要求，对学生的理科素养提出了更高层次的要求，因此我们在学生的日常应考训练中，经常教育学生要能够将部分物理问题转化为数学问题，如电学中电流输出功率与内外电阻的函数极值关系；数学中的图象法、极值法、解析函数等几种常见的数学方法。特别是用图象和函数的思想，研究和解决物理问题，可使问题变得简明、直观。数学在物理学科上的应用常常起到有力的辅助作用。然而，在有些问题中，物理知识的合理应用也可以巧妙地解决数学问题。本文就在处理物理题目中发现了一个几何问题，通过构建物理模型，成功地将该问题予以解决。
关键词：高中物理；物理方法；幾何问题；物理与数学
【例】 如图1所示，一质量为m的小球套在光滑竖直杆上，轻质弹簧一端固定于O点，另一端与该小球相连。现将小球从A点由静止释放，沿竖直杆运动到B点，已知OA长度小于OB长度，弹簧处于OA、OB两位置时弹力大小相等。在小球由A到B的过程中（ ）
A. 加速度等于重力加速度g的位置有两个
B. 弹簧弹力的功率为零的位置有两个
C. 弹簧弹力对小球所做的正功等于小球克服弹簧弹力所做的功
D. 弹簧弹力做正功过程中小球运动的距离等于小球克服弹簧弹力做功过程中小球运动的距离
这是一道功能关系的综合题目，难度属于中等偏上，每一个选项都值得我们深思。
首先挖掘题目中的关键信息：“OA长度小于OB长度，弹簧处于OA、OB两位置时弹力大小相等”告诉我们处于OA的弹簧一定处于压缩状态，处于OB的弹簧处于拉伸状态。这样，我们很容易在AB之间将弹簧所处的几个特殊位置确定出来，如图2所示（为了能清晰表示弹簧处于不同状态的位置，我们将图中的弹簧都用直线代替，如线段OA表示处于OA状态的弹簧）：
OA是小球释放时弹簧的压缩状态；
OC是弹簧压缩最短的位置，此时弹簧水平；
OD与OA关于OC对称，即弹簧处于OD位置的压缩量与OA相同；
OE是弹簧处于原长的位置；
OB是弹簧处于压缩的状态，形变量与OA相同。
由以上分析可知，加速度等于重力加速度g的位置有两个，即水平位置OC和原长位置OE，故A对；弹簧弹力功率为零的位置有三个，即OA、OC和原长OE位置，故B错误；弹簧对物体做正功，弹簧弹性势能减少，弹簧对物体做负功，弹簧弹性势能增加，弹簧处于OA和OB两位置（即初末位置）时，形变量相同，故弹簧弹性势能相同，即弹簧在该过程中对物体所做的正功和负功在数值上相等，故C对。
D选项涉及做功时的距离，故需要分段看。对小球下落过程分析很容易判断出：
WAC<0 WCD>0 WAC=-WCD WDE>0 WEB<0
即AC段负功与CD段正功数量相等，故要比较AB段做正负功所走距离大小，只需要比较做正功的DE段与做负功的EB段长度大小。由于OD与OA关于OC对称，故OD位置的压缩量与OB位置的拉伸量一定相等，因此有如下的几何线段关系：
OB-OE=OE-OD
我们可以将该问题抽化成如图3的几何模型：
已知在三角形ODB中，OB-OE=OE-OD，比较DE与EB的大小关系。
在这个几何问题中，我们可以借助平面几何关系或代数中的向量知识予以化解，但过程都比较繁琐，对于学生来说不容易思考。这时我们可以通过一个很简单的物理模型将该几何问题巧妙解答。过程如下：
如图4所示，一根轻绳跨过光滑的定滑轮，左端连接着水平面上可视为质点的小物体M，右端吊着物体m。外力F作用在M上，使M沿着水平面匀速向右运动。设E点和D点是M运动过程中的两个位置，且满足tBE=tED，E′和D′是物体m对应的两个位置。由关联速度知识可知，物体m的速度可以表示为vcosα，其中α角为滑轮左侧绳子与水平面的夹角。因为α角的不断增加，可以知道在M向右匀速直线运动过程中，m在做减速运动。故对于m的运动过程可以得出：XB′E′>XE′D′
即线段关系：OB-OE>OE-OD
故在△ODE中，当DE=EB时，线段满足OB-OE>OE-OD；推理可得，当OB-OE=OE-OD时，E点必定向靠近B点方向移动少许，此时DE>EB。
回到例题中的D选项，借助于刚才模型中得到的结论可知，“弹力做正功过程中小球运动的距离大于小球克服弹簧弹力做功过程中小球运动的距离”，故D项错误。
构建物理模型巧妙解决几何问题、数学问题，这是一个崭新的思路。老师和同学们平时在做题过程中，只要勤于思考、善于发现，一定还可以发现更多的成功案例，从而更进一步加强物理学科和数学学科的紧密协作，综合提升高中学生的理科素养。
参考文献：
[1]张业金.新课程标准下物理教学中渗透数学思想方法的探究[D].上海师范大学，2009.
[2]张国明.巧用数学知识，妙解物理极值问题[J].中国校外教育中旬刊.
作者简介：
栗高龙，河北省张家口市，河北省张家口市宣化第一中学。
关键词：高中物理；物理方法；幾何问题；物理与数学
【例】 如图1所示，一质量为m的小球套在光滑竖直杆上，轻质弹簧一端固定于O点，另一端与该小球相连。现将小球从A点由静止释放，沿竖直杆运动到B点，已知OA长度小于OB长度，弹簧处于OA、OB两位置时弹力大小相等。在小球由A到B的过程中（ ）
A. 加速度等于重力加速度g的位置有两个
B. 弹簧弹力的功率为零的位置有两个
C. 弹簧弹力对小球所做的正功等于小球克服弹簧弹力所做的功
D. 弹簧弹力做正功过程中小球运动的距离等于小球克服弹簧弹力做功过程中小球运动的距离
这是一道功能关系的综合题目，难度属于中等偏上，每一个选项都值得我们深思。
首先挖掘题目中的关键信息：“OA长度小于OB长度，弹簧处于OA、OB两位置时弹力大小相等”告诉我们处于OA的弹簧一定处于压缩状态，处于OB的弹簧处于拉伸状态。这样，我们很容易在AB之间将弹簧所处的几个特殊位置确定出来，如图2所示（为了能清晰表示弹簧处于不同状态的位置，我们将图中的弹簧都用直线代替，如线段OA表示处于OA状态的弹簧）：
OA是小球释放时弹簧的压缩状态；
OC是弹簧压缩最短的位置，此时弹簧水平；
OD与OA关于OC对称，即弹簧处于OD位置的压缩量与OA相同；
OE是弹簧处于原长的位置；
OB是弹簧处于压缩的状态，形变量与OA相同。
由以上分析可知，加速度等于重力加速度g的位置有两个，即水平位置OC和原长位置OE，故A对；弹簧弹力功率为零的位置有三个，即OA、OC和原长OE位置，故B错误；弹簧对物体做正功，弹簧弹性势能减少，弹簧对物体做负功，弹簧弹性势能增加，弹簧处于OA和OB两位置（即初末位置）时，形变量相同，故弹簧弹性势能相同，即弹簧在该过程中对物体所做的正功和负功在数值上相等，故C对。
D选项涉及做功时的距离，故需要分段看。对小球下落过程分析很容易判断出：
WAC<0 WCD>0 WAC=-WCD WDE>0 WEB<0
即AC段负功与CD段正功数量相等，故要比较AB段做正负功所走距离大小，只需要比较做正功的DE段与做负功的EB段长度大小。由于OD与OA关于OC对称，故OD位置的压缩量与OB位置的拉伸量一定相等，因此有如下的几何线段关系：
OB-OE=OE-OD
我们可以将该问题抽化成如图3的几何模型：
已知在三角形ODB中，OB-OE=OE-OD，比较DE与EB的大小关系。
在这个几何问题中，我们可以借助平面几何关系或代数中的向量知识予以化解，但过程都比较繁琐，对于学生来说不容易思考。这时我们可以通过一个很简单的物理模型将该几何问题巧妙解答。过程如下：
如图4所示，一根轻绳跨过光滑的定滑轮，左端连接着水平面上可视为质点的小物体M，右端吊着物体m。外力F作用在M上，使M沿着水平面匀速向右运动。设E点和D点是M运动过程中的两个位置，且满足tBE=tED，E′和D′是物体m对应的两个位置。由关联速度知识可知，物体m的速度可以表示为vcosα，其中α角为滑轮左侧绳子与水平面的夹角。因为α角的不断增加，可以知道在M向右匀速直线运动过程中，m在做减速运动。故对于m的运动过程可以得出：XB′E′>XE′D′
即线段关系：OB-OE>OE-OD
故在△ODE中，当DE=EB时，线段满足OB-OE>OE-OD；推理可得，当OB-OE=OE-OD时，E点必定向靠近B点方向移动少许，此时DE>EB。
回到例题中的D选项，借助于刚才模型中得到的结论可知，“弹力做正功过程中小球运动的距离大于小球克服弹簧弹力做功过程中小球运动的距离”，故D项错误。
构建物理模型巧妙解决几何问题、数学问题，这是一个崭新的思路。老师和同学们平时在做题过程中，只要勤于思考、善于发现，一定还可以发现更多的成功案例，从而更进一步加强物理学科和数学学科的紧密协作，综合提升高中学生的理科素养。
参考文献：
[1]张业金.新课程标准下物理教学中渗透数学思想方法的探究[D].上海师范大学，2009.
[2]张国明.巧用数学知识，妙解物理极值问题[J].中国校外教育中旬刊.
作者简介：
栗高龙，河北省张家口市，河北省张家口市宣化第一中学。