一、引言
　　设N是全体正整数的集合，多项式整数值中的完全方幂问题，是数论中引入关注的研究课题。 最近，Bencze 提出了找出所有可使是平方数的正整数，在文献中乐茂华完全解决了这个问题，自然地有以下
　　问 题：对任意的，找出所有的可使 是平方数的正整数。
　　本文利用Pell方程的解的结论，对为素数时进行了研究，找出此时所有的可使是平方数的正整数。
　　二、主要结论
　　引理1 的基本解为(), 则方程的所有解为。
　　引理2 的最小正整数解（）， 且为素数, 则 的所有解可表示为
　　（）。
　　本文利用Pell方程的基本性质解决了为素数时的问题, 证明了
　　定理设
　　（1）
　　为素数，则为奇数。 ， 为任意正整数，此时可使为平方数的正整数可表示成
　　 （2）
　　证明：设，，是可使为平方数的正整数，此时，存在正整数适合=（3）
　　从（3）式可得， （4）
　　从（4）式可知（）=( (2n+1)， ），是pell方程
　　 , （） （5）
　　的一组满足条件
　　0(mod)1(mod2)（6）
　　由的基本解为（3，1），所有解为 ，而的最小正整数解（，），则所有解为，可知该方程的任何一组解（）都可表示成() （7）
　　其中适合(1)式，因为从(1)式和(5)式和(7)式可知
　　所以 ()（8） 故从（7）式和（8）式可得（9）
　　将（9）式代入（5）式立得 （10）
　　故从（10）式可得（11） 根据勒让德符号得
　　因为为奇数 所以1 (mod8)所以 所以 所以为素数时有解.则从（10）式和（6）式可知
　　
　　由上式得(12) 因为为任意正整数，
　　所以 为整数，
　　则(13)
　　则从(10)式和(6)式得
　　所以，因为为奇数， 所以
　　(14)
　　则由(11)式和(12)式和(13)和（14）式可知所以为正整数,可得(2)式。
　　定理证毕。
　　
　　参考文献:
　　[1]乐茂华.形如 的平方数[J].海南大学学报(自然科学版),2007,(3).