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前苏联画家波洛丹诺夫·别列斯基，曾画了一幅名为《口算》的油画，画中有一块黑板，黑板上写有一道心算题目“ = ？”，一群学生围着黑板正在冥思苦想.
怎样才能很快地心算出它的结果呢？
初步观察发现分母是365，且300＜102+ 112+ 122＜400，那么102+ 112 + 122和365之间有怎样的关系呢？102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365，真是太好了，再继续心算后两项，132 + 142 = 169 + 196 = 365. 所以答案是2.
如果到此就止步，真是太可惜了，我们深入一步进行探究.
下面的中考题使我们的思路展开了飞翔的翅膀.
例欣赏下面各等式：
32 + 42 = 52 ；（1）102 + 112 + 122 = 132 + 142.（2）
请写出下一个由7个连续正整数组成，前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式为_________.
（2004年江西省南昌市初中毕业考试第15题）
解析：求第三个式子有以下方法.
一、直接求法
设7个连续正整数为3、2、1、、 + 1、 + 2、 + 3. 依题意得，（3）2 + （2）2 + （1）2 + 2 = （ + 1）2 + （ + 2）2+ （ + 3）2.
化简得 224 = 0.解之，得1 = 24，2 = 0(舍掉).
所以212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272.（3）
二、猜想法
因（1）式中最大的被平方数是5，而（2）式是由5个数组成，最小的被平方数是10，则有10 = 5 + 5. 而（2）式中最大的被平方数是14. （3）式是由7个数构成，因此，我们大胆猜想，（3）式的第一个数应是14 + 7 = 21，殊途同归得到，212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272.（3）
于是我们提出以下三个问题：
①各个等式中自然数的个数和等式序号之间有着怎样的关系？
②各个等式中左边第一个数是什么？只要确定了这个数，等式左右两边的自然数即可确定.
③各个等式是否具有一般规律？
现在我们来研究、解决以上三个问题.
①由观察得知各等式中自然数的个数是：2×1 + 1、2×2 + 1、2×3 + 1、…、2 + 1.
②观察各式中左边第一个数与序号间关系.
（1）式中有3 = 2×12 + 1；
（2）式中有10 = 2×22 + 2；
（3）式中有21 = 2×32 + 3，
……
于是我们得到第个等式左端第一个数是22 + ，不妨立即验证一下，当 = 4时，有2×42 + 4 = 36，得等式362 + 372 + 382 + 392 + 402= 412 + 422 + 432 + 442 .（4）
③各等式左端第一个数是（22 + ）2验证如下.
（1）式：（2×12 + 1）2 + （2×12 + 2）2 = （2×12 + 3）2.
（2）式：（2×22 + 2）2 + （2×22 + 3）2 + （2×22 + 4）2
= （2×22 + 5）2 + （2×22 + 6）2.
（3）式：（2×32 + 3）2 + （2×32 + 4）2 + （2×32 + 5）2 + （2×32 + 6）2
= （2×32 + 7）2 + （2×32 + 8）2 + （2×32 + 9）2.
一般地，对任意自然数 ，我们猜想应该存在具有下列规律的恒等式：
（22 + ）2 + （22 ++ 1）2 + （22 ++ 2）2 + …… + （22 + 2）2
= （22 + 2 + 1）2 + （22 + 2 + 2）2 + （22 + 2 + 3）2 + … + （22 + 3）2.
这个恒等式是否正确无误，需要我们加以证明，为了减少计算量，我们令 = 22+ 2. 则等式左端为
（22 + ）2 + （22 ++ 1）2 + （22 ++ 2）2 + … + （22 + 2）2
= （）2 + （ + 1）2 + （ + 2）2 + … + 2.
等式右端为
（22 + 2+1）2 + （22 + 2 + 2）2+ … + （22 + 3）2
= （ + 1）2 + （ + 2）2+ … + （）2.
以上两式相减得，
（22 + ）2 + （22 ++ 1）2+ … + （22 + 2）2 （22 + 2 + 1）2（22 + 2 + 2）2…（22 + 3）2
所以，原恒等式成立.
（※）式中我们用到了公式1 + 2 + 3 + … （1） += （ + 1）.
谈到自然数的平方和关系式，这里再给大家介绍六个有趣的数.
1237892 + 5619452+ 6428642= 2428682 + 3237872 + 7619432.
去掉平方有123789+ 561945+ 642864= 242868 + 323787 + 761943.
每一个数去掉左边第一位数，仍然有：
237892 + 619452 + 428642 = 428682 + 237872 + 619432.
去掉平方：23789 + 61945 + 42864 = 42868 + 23787 + 61943.
每一个数再去掉左边第一个数，仍然有：
37892 + 19452 + 28642 = 28682 + 37872 + 19432.
去掉平方：3789 + 1945 + 2864 = 2868 + 3787 + 1943.
还可继续下去：
7892 + 9452 + 8642 = 8682 + 7872 + 9432.
789 + 945 + 864 = 868 + 787 + 943.
892 + 452 + 642 = 682 + 872 + 432.
89 + 45 + 64 = 68 + 87 + 43.
92 + 52 + 42 = 82 + 72 + 32.
9 + 5 + 4 = 8 + 7 + 3.
同学们还可试试从右边依次去掉一位、两位、三位、四位、五位，仍具有以上性质，真有趣.
如果对任何数学问题都能从深度和广度上进行探究，日久天长，收获一定会十分丰硕.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
怎样才能很快地心算出它的结果呢？
初步观察发现分母是365，且300＜102+ 112+ 122＜400，那么102+ 112 + 122和365之间有怎样的关系呢？102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365，真是太好了，再继续心算后两项，132 + 142 = 169 + 196 = 365. 所以答案是2.
如果到此就止步，真是太可惜了，我们深入一步进行探究.
下面的中考题使我们的思路展开了飞翔的翅膀.
例欣赏下面各等式：
32 + 42 = 52 ；（1）102 + 112 + 122 = 132 + 142.（2）
请写出下一个由7个连续正整数组成，前4个数的平方和等于后3个数的平方和的等式为_________.
（2004年江西省南昌市初中毕业考试第15题）
解析：求第三个式子有以下方法.
一、直接求法
设7个连续正整数为3、2、1、、 + 1、 + 2、 + 3. 依题意得，（3）2 + （2）2 + （1）2 + 2 = （ + 1）2 + （ + 2）2+ （ + 3）2.
化简得 224 = 0.解之，得1 = 24，2 = 0(舍掉).
所以212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272.（3）
二、猜想法
因（1）式中最大的被平方数是5，而（2）式是由5个数组成，最小的被平方数是10，则有10 = 5 + 5. 而（2）式中最大的被平方数是14. （3）式是由7个数构成，因此，我们大胆猜想，（3）式的第一个数应是14 + 7 = 21，殊途同归得到，212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272.（3）
于是我们提出以下三个问题：
①各个等式中自然数的个数和等式序号之间有着怎样的关系？
②各个等式中左边第一个数是什么？只要确定了这个数，等式左右两边的自然数即可确定.
③各个等式是否具有一般规律？
现在我们来研究、解决以上三个问题.
①由观察得知各等式中自然数的个数是：2×1 + 1、2×2 + 1、2×3 + 1、…、2 + 1.
②观察各式中左边第一个数与序号间关系.
（1）式中有3 = 2×12 + 1；
（2）式中有10 = 2×22 + 2；
（3）式中有21 = 2×32 + 3，
……
于是我们得到第个等式左端第一个数是22 + ，不妨立即验证一下，当 = 4时，有2×42 + 4 = 36，得等式362 + 372 + 382 + 392 + 402= 412 + 422 + 432 + 442 .（4）
③各等式左端第一个数是（22 + ）2验证如下.
（1）式：（2×12 + 1）2 + （2×12 + 2）2 = （2×12 + 3）2.
（2）式：（2×22 + 2）2 + （2×22 + 3）2 + （2×22 + 4）2
= （2×22 + 5）2 + （2×22 + 6）2.
（3）式：（2×32 + 3）2 + （2×32 + 4）2 + （2×32 + 5）2 + （2×32 + 6）2
= （2×32 + 7）2 + （2×32 + 8）2 + （2×32 + 9）2.
一般地，对任意自然数 ，我们猜想应该存在具有下列规律的恒等式：
（22 + ）2 + （22 ++ 1）2 + （22 ++ 2）2 + …… + （22 + 2）2
= （22 + 2 + 1）2 + （22 + 2 + 2）2 + （22 + 2 + 3）2 + … + （22 + 3）2.
这个恒等式是否正确无误，需要我们加以证明，为了减少计算量，我们令 = 22+ 2. 则等式左端为
（22 + ）2 + （22 ++ 1）2 + （22 ++ 2）2 + … + （22 + 2）2
= （）2 + （ + 1）2 + （ + 2）2 + … + 2.
等式右端为
（22 + 2+1）2 + （22 + 2 + 2）2+ … + （22 + 3）2
= （ + 1）2 + （ + 2）2+ … + （）2.
以上两式相减得，
（22 + ）2 + （22 ++ 1）2+ … + （22 + 2）2 （22 + 2 + 1）2（22 + 2 + 2）2…（22 + 3）2
所以，原恒等式成立.
（※）式中我们用到了公式1 + 2 + 3 + … （1） += （ + 1）.
谈到自然数的平方和关系式，这里再给大家介绍六个有趣的数.
1237892 + 5619452+ 6428642= 2428682 + 3237872 + 7619432.
去掉平方有123789+ 561945+ 642864= 242868 + 323787 + 761943.
每一个数去掉左边第一位数，仍然有：
237892 + 619452 + 428642 = 428682 + 237872 + 619432.
去掉平方：23789 + 61945 + 42864 = 42868 + 23787 + 61943.
每一个数再去掉左边第一个数，仍然有：
37892 + 19452 + 28642 = 28682 + 37872 + 19432.
去掉平方：3789 + 1945 + 2864 = 2868 + 3787 + 1943.
还可继续下去：
7892 + 9452 + 8642 = 8682 + 7872 + 9432.
789 + 945 + 864 = 868 + 787 + 943.
892 + 452 + 642 = 682 + 872 + 432.
89 + 45 + 64 = 68 + 87 + 43.
92 + 52 + 42 = 82 + 72 + 32.
9 + 5 + 4 = 8 + 7 + 3.
同学们还可试试从右边依次去掉一位、两位、三位、四位、五位，仍具有以上性质，真有趣.
如果对任何数学问题都能从深度和广度上进行探究，日久天长，收获一定会十分丰硕.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”