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因式分解在初中代数中占有很重要的位置。它是学习分式运算中的约分、通分以及学习代数和三角函数中恒等变形的基础。而且它又是初一代数中整式乘法的逆变形,所以实际上因式分解起着承上启下的作用。它本身所蕴含的丰富内容深刻地反映了中学阶段许多重要的基本的数学思想方法。教师在讲授时除了加强数学基础知识和基本技能外,还要重视数学思想方法的渗透。现就因式分解内容里的几个数学思想方法的渗透谈几点拙见:
一、类比思想方法
类比是人们认识事物的一种重要方法,它是把某些相同的量或相似的量进行比较,从而找出它们之间的某种联系,得到某些规律或联系。刻卜勒曾说:“我珍惜类比胜于任何东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密。”
学生掌握的知识越来越多,就要善于运用知识间的联系和相似点。在初中数学中,应用类比的地方是很多的,比如,由于初次学习因式分解的概念,让他们深刻感知因式分解的作用是困难的,但通过具体例子(学生已掌握的将整数分解质因数的方法:24 = 2 × 12 = 4 × 6 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3)让学生复习和回忆因数分解的作用,很自然的引入多项式的因式分解,学生比较容易接受和理解,也符合学生的心理特点和认知规律。这就是新旧知识的类比,要不断搞清新旧知识的联系和相似点,好不断地推“陈”出“新”。
二、逆向思想方法
我们在传授知识的过程中,也应该逐步教会学生用逆向思维的方法去理解和巩固所学知识,并能自觉地运用。通过观察、分析多项式的因式分解与整式乘法间的关系,学生很容易得出:多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形,因式分解是把一个多项式化成整式的积的形式,而整式乘法是把几个整式的积的形式化为一个多项式。 让学生了解这一点是为了防止学生在进行多项式的因式分解的过程中,出现和整式乘法混淆的错误。例如:分解因式:- 4m3 + 16m2 - 26m = - 2m(2m2 - 8m + 13)通过向学生说明提公因式的依据,培养学生不仅要掌握/顷向思维的方式,还应运用逆向思维考虑问题。由于多项式的因式分解和整式乘法是目标不同、方向相反的恒等变形,借助本章知识可以训练学生的双向思维,特别是逆向思想方法。
三、化归思想方法
化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法,在因式分解的知识中处处体现了这种思想。例如:在提取公因式法中,通过把形如a(x + m) + b(x + m)的多项式因式分解,无论是用设辅助元的方法[设(x + m) = c],还是把这个多项式因式看作一个整体,都是把问题化归为公因式是单项式的题型。同样,通过设辅助元代换的方法,把(x + y)2 - 6(x + y) + 9化归为一个完全平方式,从而运用完全平方公式把原多项式分解因式得(x + y - 3)2,等等。从中向学生渗透化归的思想方法,即把一个未知的、复杂的、繁难的问题归结到已知的、简单的、容易解决的问题中去,最终求得问题的解决。这也是数学中解决问题的一种思路,从而可以培养学生在解决问题时的思维的目的性、方向性和方法的模式化。在今后学习分式、根式及函数变形等知识时,运用化归思想会更加意识化。
四、分类思想方法
分类思想是依据教学对象本质属性的异同将其划分为不同种类的数学思想。它是数学发现的重要手段。例如,在对多项式进行分解因式时,由于多项式的项数的不同,它所对应的分解方法也有所不同。
1. 任意项数的多项式:都适用提公因式法,是因式分解的首选的方法。
2. 二项式:形如a2 - b2的多项式,即可用平方差公式分解因式a2 - b2 = (a + b)(a - b)。
3. 二次三项式或可转化为二次三项式的多项式:要进行因式分解,首选完全平方公式,其次是十字相乘法。a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;(a + b)2 - 4(a + b) + 3 = (a + b - 1)(a + b - 3)。
通过对多项式“分门别类”,使各种分解因式的方法的特点立刻突显出来,学生对此掌握得也更加系统、牢固。
从以上可以看出,因式分解是初中代数的重要内容。因而教学上,应在基础知识和运算技能培养的同时突出所涉及的重要数学思想,使教学收到良好的效果,使学生的素质有全面的提高。
一、类比思想方法
类比是人们认识事物的一种重要方法,它是把某些相同的量或相似的量进行比较,从而找出它们之间的某种联系,得到某些规律或联系。刻卜勒曾说:“我珍惜类比胜于任何东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密。”
学生掌握的知识越来越多,就要善于运用知识间的联系和相似点。在初中数学中,应用类比的地方是很多的,比如,由于初次学习因式分解的概念,让他们深刻感知因式分解的作用是困难的,但通过具体例子(学生已掌握的将整数分解质因数的方法:24 = 2 × 12 = 4 × 6 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3)让学生复习和回忆因数分解的作用,很自然的引入多项式的因式分解,学生比较容易接受和理解,也符合学生的心理特点和认知规律。这就是新旧知识的类比,要不断搞清新旧知识的联系和相似点,好不断地推“陈”出“新”。
二、逆向思想方法
我们在传授知识的过程中,也应该逐步教会学生用逆向思维的方法去理解和巩固所学知识,并能自觉地运用。通过观察、分析多项式的因式分解与整式乘法间的关系,学生很容易得出:多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形,因式分解是把一个多项式化成整式的积的形式,而整式乘法是把几个整式的积的形式化为一个多项式。 让学生了解这一点是为了防止学生在进行多项式的因式分解的过程中,出现和整式乘法混淆的错误。例如:分解因式:- 4m3 + 16m2 - 26m = - 2m(2m2 - 8m + 13)通过向学生说明提公因式的依据,培养学生不仅要掌握/顷向思维的方式,还应运用逆向思维考虑问题。由于多项式的因式分解和整式乘法是目标不同、方向相反的恒等变形,借助本章知识可以训练学生的双向思维,特别是逆向思想方法。
三、化归思想方法
化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法,在因式分解的知识中处处体现了这种思想。例如:在提取公因式法中,通过把形如a(x + m) + b(x + m)的多项式因式分解,无论是用设辅助元的方法[设(x + m) = c],还是把这个多项式因式看作一个整体,都是把问题化归为公因式是单项式的题型。同样,通过设辅助元代换的方法,把(x + y)2 - 6(x + y) + 9化归为一个完全平方式,从而运用完全平方公式把原多项式分解因式得(x + y - 3)2,等等。从中向学生渗透化归的思想方法,即把一个未知的、复杂的、繁难的问题归结到已知的、简单的、容易解决的问题中去,最终求得问题的解决。这也是数学中解决问题的一种思路,从而可以培养学生在解决问题时的思维的目的性、方向性和方法的模式化。在今后学习分式、根式及函数变形等知识时,运用化归思想会更加意识化。
四、分类思想方法
分类思想是依据教学对象本质属性的异同将其划分为不同种类的数学思想。它是数学发现的重要手段。例如,在对多项式进行分解因式时,由于多项式的项数的不同,它所对应的分解方法也有所不同。
1. 任意项数的多项式:都适用提公因式法,是因式分解的首选的方法。
2. 二项式:形如a2 - b2的多项式,即可用平方差公式分解因式a2 - b2 = (a + b)(a - b)。
3. 二次三项式或可转化为二次三项式的多项式:要进行因式分解,首选完全平方公式,其次是十字相乘法。a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;(a + b)2 - 4(a + b) + 3 = (a + b - 1)(a + b - 3)。
通过对多项式“分门别类”,使各种分解因式的方法的特点立刻突显出来,学生对此掌握得也更加系统、牢固。
从以上可以看出,因式分解是初中代数的重要内容。因而教学上,应在基础知识和运算技能培养的同时突出所涉及的重要数学思想,使教学收到良好的效果,使学生的素质有全面的提高。