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【基金项目】盐城工学院人才引进项目（XKR2011022）。
【中图分类号】O151.22-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）35-0003-02
行列式和矩阵是线性代数中最先介绍的两个基本概念，贯穿整个线性代数课程。但部分同学在学完了线性代数之后，对它们的符号、性质及应用却依然没有搞清楚，往往混淆。多年来已有一些作者对这一对概念进行分析，但由于这两个概念在线性代数的每个部分都需要用到，所以详细地、多角度地分清这两个基本概念，对学好、用好线性代数这门课程非常必要。文献[1，2]对这行列式与矩阵从概念与性质角度已做了部分辨析，下面笔者拟从概念、运算、化简、应用四个方面对这两个概念进行剖析，给出它们之间的区别与联系，串起线性代数中大部分内容，希望能对线性代数的教与学提供一个参考。
1.概念的比较
1.1行列式与矩阵概念的区别
由行列式和矩阵的定义可知，虽然行列式与矩阵表面上都是将一些数按行按列排成数表，再在两边加上一个符号的形式，但这两个概念是完全不同的。
首先，两边所加的符号不同：行列式两边用竖线“||”，而矩阵两边用圆括弧 “（ ）”或方括弧“”[ ]。其次，形状不同：行列式的行数与列数必须相等，但矩阵的行数与列数可以不相等。再次，意义不同：n阶行列式是由n个数a（1≤i，j≤n）按规定的运算法则所确定的一个数，而m行n列矩阵是由m×n个数aij（1≤i≤m，1≤j≤n）按行按列排成的一个数表。
故两个表面不一样的行列式，它们的值却可能相等；而两个矩阵相等则要求必须是同型矩阵且相同位置元素相等，所以两个不同型的零矩阵是不相等的。
1.2与行列式、矩阵相关的一些概念
当A是方阵（行数=列數）时，有对应的行列式|A|，称为方阵A阵的行列式；当A不是方阵时，没有对应的行列式。
在一般m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。当A是方阵时，由A的行列式|A|的各个元素的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，其中余子式Mij均是将|A|中的第i行，第j列划去所得到的n-1阶行列式。
2.运算的比较
将若干行列式（矩阵）按某种法则处理得到一个新的行列式（矩阵），称为行列式（矩阵）的运算.行列式与矩阵在同类运算过程中所满足的性质并不相同。
2.1 转置运算
行列式与它的转置行列式相等，而矩阵与它的转置矩阵不一定相等。若A=A时，称A为对称矩阵，此时A一定是方阵。
2.2 数乘运算
数与行列式相乘，等于用数乘以行列式的某一行（列）中所有元素；而数与矩阵相乘，等于用数乘以矩阵中的所有元素。当矩阵A是n阶方阵时，设λ为数，则。
2.3 加法运算
若行列式的第i行（列）的元素都是两数之和，则行列式可以表示为两个行列式之和，参见[3]中第一章第五节性质5。而矩阵的加法是对两个同型矩阵，将相同位置上的元素相加。若A，B为同阶方阵，则|AB|=|A||B|
2.4 乘法运算
两个行列式相乘就是它们的值相乘，结果是一个数，并不是将行列式中的元素直接相乘得到一个新的行列式。而两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等，结果是一个新的矩阵。
2.5 交换两行（列）
行列式交换两行（列）行列式要变号；而矩阵交换两行（列），前后两个矩阵不一定相等，它们之间是等价的关系。
3.行列式化简为上（下）三角形行列式与矩阵化简为行阶梯形（行最简形）矩阵的比较
无论是行列式还是矩阵，都有以下三种初等变换：交换第i，j两行（列）；将第i行（列）乘以某个非零数k；将第j行（列）乘以某个数k加到第i行（列）上去。
利用这三种初等变换及相关性质，可以将一个行列式化为一个上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值；也可以将一个矩阵化为一个行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，从而求出相关问题。这两种化简的思路相同，但在具体化简过程中又要注意一下区别：在行列式化簡过程中，可以仅使用行变换化简，但使用列变换也是允许的，且前后两个行列式之间用“=”连接，表示前后始终要保持相等；而在矩阵的化简过程中，只允许使用行变换，且前后两个矩阵之间用“～”或“→”连接，表示前后两个矩阵仅是等价关系，一般并不相等。
例如，为了计算行列式的值，可以将D化为上三角形行列式如：，所以。而若要将矩阵化为行阶梯形矩阵，可采用如下化简过程：
。
由于这两个化简过程思路相同，而部分同学对行列式与矩阵又没有搞清楚，因此在计算中就往往会将行列式与矩阵混淆，“=”与“～”混淆，最后得出错误结果。
4.应用的比较
在线性代数中，有许多问题既可以借助于矩阵来解决，也可以用行列式来解决，学生往往对使用哪一种方法及如何使用搞不清楚。下面我们就来比较一下矩阵与行列式在这些问题中用法的不同。
4.1 求矩阵的逆
给定一个方阵A，若|A|≠0，则A可逆，即存在一个矩阵B，使得AB=BA=E，称B为A的逆矩阵，记作A。那么如何求A呢？我们有如下两种方法。
（1）用伴随矩阵求逆：先计算|A|的值，若|A|≠0，再计算|A|中每个元素的代数余子式，构造伴随矩阵A，由公式，即得A。
（2）用初等变换求逆：将（A，E）通过初等行变换化为（E，X），则A=X，若（A，E）不能化为形如（E，X）的矩阵，则说明A不可逆。若将A与E放在一列，也可通过初等列变换求逆。 因此用伴随矩阵求逆需要计算一个n阶行列式和n个n-1阶行列式，计算量非常大，且易出错，往往只对一些特殊的矩阵（如阶数≤3的矩阵）采用这种方法，而对一般的可逆矩阵用初等变换求逆就比较简便。
4.2 求矩阵的秩
给定一个矩阵A，若A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为A的最高阶非零子式，r称为A的秩，记为R（A）。那么如何求矩阵的秩呢？
（1）初等变换法：利用若A与B等价，则R（A）=R（B），这个结论将矩阵A经过初等行变换变成行阶梯形矩阵B，然后B中非零行的行数就是A的秩。
（2）定义法：由定义计算A中的子式的值，找出最高阶非零子式，从而求出矩阵的秩。
因此求一般矩阵的秩往往使用初等变换法。仅对一些特殊矩阵，如含0较多的或阶数较低的矩阵，考虑使用定义法。
4.3解线性方程组
给定一个n个未知数m个方程的线性方程组，解方程组是指先判断方程组是否有解，然后若有解再求出通解，主要有以下两种求解方法：
（1）矩阵法：对任一线性方程组，均可使用矩阵法解方程组，取增广矩阵，对作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，比较R（B）与R。若R（B） （2）行列式法：仅当m=n且系数行列式时，方可使用行列式法。此时由克莱默法则知方程组有唯一解，其中是把系数行列式D中第i列的元素用代替后所得到的n阶行列式。
注意，若m≠n或m=n但D=0，克莱默法则并不成立。
4.4判断向量组的线性相關性
给定一个由m个n维列向量构成的向量组，判断该向量组是线性相关还是线性无关，我们也有两种方法。
（1）矩阵法：对任一向量组，均可使用矩阵法判断线性相关性。即构造矩阵A=（），对A作初等行变换，化为行阶梯形矩阵B，比较A的秩R（A）（即B中非零行的行数）与向量的个数m的大小。若R（A） （2）行列式法：仅当向量的个数m=向量的维数n时，方可使用行列式法来判断向量组的线性相关性。此时构造n阶行列式，并计算|A|的值。若|A|=0，则向量组线性相关；若|A|≠0，则向量组线性无关。
4.5判断向量是否可由向量组线性表示
给定向量组A：和向量，如果存在一组数，使，则称向量能由向量组A线性表示。
由定义可知求向量由向量组A线性表示的问题，可以转化为线性方程组求解的问题。而非齊次线性方程组求解的问题我们在前面4.3节已讨论过。
4.6求矩阵的特征值与特征向量
设A是n阶方阵，为了计算A的特征值与特征向量，需要先解出的全部解，这些解就是A的全部特征值。然后对每个特征值，求出的通解，其中全部非零解就是A的属于特征值的特征向量。
在计算A的特征值与特征向量过程中，既需要计算行列式，也需要利用初等行变换解线性方程组。学生往往在这个地方将作为矩阵做初等行变换，或是将作为行列式来处理，从而引起错误。
参考文献
[1]蒋卫华，王红滨.线性代数教学中两组概念的处理[J].大学数学，2005.21（1）.
[2]郭竹梅.对线性代数教学中几组易混淆概念的分析[J].赤峰学院学报（自然科学版），2011.27（8）.
[3]同济大学数学系.工程数学线性代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社.2007.
【中图分类号】O151.22-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2015）35-0003-02
行列式和矩阵是线性代数中最先介绍的两个基本概念，贯穿整个线性代数课程。但部分同学在学完了线性代数之后，对它们的符号、性质及应用却依然没有搞清楚，往往混淆。多年来已有一些作者对这一对概念进行分析，但由于这两个概念在线性代数的每个部分都需要用到，所以详细地、多角度地分清这两个基本概念，对学好、用好线性代数这门课程非常必要。文献[1，2]对这行列式与矩阵从概念与性质角度已做了部分辨析，下面笔者拟从概念、运算、化简、应用四个方面对这两个概念进行剖析，给出它们之间的区别与联系，串起线性代数中大部分内容，希望能对线性代数的教与学提供一个参考。
1.概念的比较
1.1行列式与矩阵概念的区别
由行列式和矩阵的定义可知，虽然行列式与矩阵表面上都是将一些数按行按列排成数表，再在两边加上一个符号的形式，但这两个概念是完全不同的。
首先，两边所加的符号不同：行列式两边用竖线“||”，而矩阵两边用圆括弧 “（ ）”或方括弧“”[ ]。其次，形状不同：行列式的行数与列数必须相等，但矩阵的行数与列数可以不相等。再次，意义不同：n阶行列式是由n个数a（1≤i，j≤n）按规定的运算法则所确定的一个数，而m行n列矩阵是由m×n个数aij（1≤i≤m，1≤j≤n）按行按列排成的一个数表。
故两个表面不一样的行列式，它们的值却可能相等；而两个矩阵相等则要求必须是同型矩阵且相同位置元素相等，所以两个不同型的零矩阵是不相等的。
1.2与行列式、矩阵相关的一些概念
当A是方阵（行数=列數）时，有对应的行列式|A|，称为方阵A阵的行列式；当A不是方阵时，没有对应的行列式。
在一般m×n矩阵A中，任取k行与k列（k≤m，k≤n），位于这些行列交叉处的k个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。当A是方阵时，由A的行列式|A|的各个元素的代数余子式所构成的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，其中余子式Mij均是将|A|中的第i行，第j列划去所得到的n-1阶行列式。
2.运算的比较
将若干行列式（矩阵）按某种法则处理得到一个新的行列式（矩阵），称为行列式（矩阵）的运算.行列式与矩阵在同类运算过程中所满足的性质并不相同。
2.1 转置运算
行列式与它的转置行列式相等，而矩阵与它的转置矩阵不一定相等。若A=A时，称A为对称矩阵，此时A一定是方阵。
2.2 数乘运算
数与行列式相乘，等于用数乘以行列式的某一行（列）中所有元素；而数与矩阵相乘，等于用数乘以矩阵中的所有元素。当矩阵A是n阶方阵时，设λ为数，则。
2.3 加法运算
若行列式的第i行（列）的元素都是两数之和，则行列式可以表示为两个行列式之和，参见[3]中第一章第五节性质5。而矩阵的加法是对两个同型矩阵，将相同位置上的元素相加。若A，B为同阶方阵，则|AB|=|A||B|
2.4 乘法运算
两个行列式相乘就是它们的值相乘，结果是一个数，并不是将行列式中的元素直接相乘得到一个新的行列式。而两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等，结果是一个新的矩阵。
2.5 交换两行（列）
行列式交换两行（列）行列式要变号；而矩阵交换两行（列），前后两个矩阵不一定相等，它们之间是等价的关系。
3.行列式化简为上（下）三角形行列式与矩阵化简为行阶梯形（行最简形）矩阵的比较
无论是行列式还是矩阵，都有以下三种初等变换：交换第i，j两行（列）；将第i行（列）乘以某个非零数k；将第j行（列）乘以某个数k加到第i行（列）上去。
利用这三种初等变换及相关性质，可以将一个行列式化为一个上（下）三角形行列式，从而算得行列式的值；也可以将一个矩阵化为一个行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，从而求出相关问题。这两种化简的思路相同，但在具体化简过程中又要注意一下区别：在行列式化簡过程中，可以仅使用行变换化简，但使用列变换也是允许的，且前后两个行列式之间用“=”连接，表示前后始终要保持相等；而在矩阵的化简过程中，只允许使用行变换，且前后两个矩阵之间用“～”或“→”连接，表示前后两个矩阵仅是等价关系，一般并不相等。
例如，为了计算行列式的值，可以将D化为上三角形行列式如：，所以。而若要将矩阵化为行阶梯形矩阵，可采用如下化简过程：
。
由于这两个化简过程思路相同，而部分同学对行列式与矩阵又没有搞清楚，因此在计算中就往往会将行列式与矩阵混淆，“=”与“～”混淆，最后得出错误结果。
4.应用的比较
在线性代数中，有许多问题既可以借助于矩阵来解决，也可以用行列式来解决，学生往往对使用哪一种方法及如何使用搞不清楚。下面我们就来比较一下矩阵与行列式在这些问题中用法的不同。
4.1 求矩阵的逆
给定一个方阵A，若|A|≠0，则A可逆，即存在一个矩阵B，使得AB=BA=E，称B为A的逆矩阵，记作A。那么如何求A呢？我们有如下两种方法。
（1）用伴随矩阵求逆：先计算|A|的值，若|A|≠0，再计算|A|中每个元素的代数余子式，构造伴随矩阵A，由公式，即得A。
（2）用初等变换求逆：将（A，E）通过初等行变换化为（E，X），则A=X，若（A，E）不能化为形如（E，X）的矩阵，则说明A不可逆。若将A与E放在一列，也可通过初等列变换求逆。 因此用伴随矩阵求逆需要计算一个n阶行列式和n个n-1阶行列式，计算量非常大，且易出错，往往只对一些特殊的矩阵（如阶数≤3的矩阵）采用这种方法，而对一般的可逆矩阵用初等变换求逆就比较简便。
4.2 求矩阵的秩
给定一个矩阵A，若A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有的r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，则D称为A的最高阶非零子式，r称为A的秩，记为R（A）。那么如何求矩阵的秩呢？
（1）初等变换法：利用若A与B等价，则R（A）=R（B），这个结论将矩阵A经过初等行变换变成行阶梯形矩阵B，然后B中非零行的行数就是A的秩。
（2）定义法：由定义计算A中的子式的值，找出最高阶非零子式，从而求出矩阵的秩。
因此求一般矩阵的秩往往使用初等变换法。仅对一些特殊矩阵，如含0较多的或阶数较低的矩阵，考虑使用定义法。
4.3解线性方程组
给定一个n个未知数m个方程的线性方程组，解方程组是指先判断方程组是否有解，然后若有解再求出通解，主要有以下两种求解方法：
（1）矩阵法：对任一线性方程组，均可使用矩阵法解方程组，取增广矩阵，对作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，比较R（B）与R。若R（B）
注意，若m≠n或m=n但D=0，克莱默法则并不成立。
4.4判断向量组的线性相關性
给定一个由m个n维列向量构成的向量组，判断该向量组是线性相关还是线性无关，我们也有两种方法。
（1）矩阵法：对任一向量组，均可使用矩阵法判断线性相关性。即构造矩阵A=（），对A作初等行变换，化为行阶梯形矩阵B，比较A的秩R（A）（即B中非零行的行数）与向量的个数m的大小。若R（A）
4.5判断向量是否可由向量组线性表示
给定向量组A：和向量，如果存在一组数，使，则称向量能由向量组A线性表示。
由定义可知求向量由向量组A线性表示的问题，可以转化为线性方程组求解的问题。而非齊次线性方程组求解的问题我们在前面4.3节已讨论过。
4.6求矩阵的特征值与特征向量
设A是n阶方阵，为了计算A的特征值与特征向量，需要先解出的全部解，这些解就是A的全部特征值。然后对每个特征值，求出的通解，其中全部非零解就是A的属于特征值的特征向量。
在计算A的特征值与特征向量过程中，既需要计算行列式，也需要利用初等行变换解线性方程组。学生往往在这个地方将作为矩阵做初等行变换，或是将作为行列式来处理，从而引起错误。
参考文献
[1]蒋卫华，王红滨.线性代数教学中两组概念的处理[J].大学数学，2005.21（1）.
[2]郭竹梅.对线性代数教学中几组易混淆概念的分析[J].赤峰学院学报（自然科学版），2011.27（8）.
[3]同济大学数学系.工程数学线性代数（第五版）[M].北京：高等教育出版社.2007.