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摘 要：教起于悱，悱源于疑，而“疑”是一切教与学的根，有了疑问才会思考，才会探索。“不愤不启，不悱不发”教学模式下，教师充分挖掘数学的“教育价值”，让学生在数学学习活动中保持“持续热情”，关注他们对学习内容的“本质理解”，让学生深入数学学习的“智慧深处”，唤醒他们“创造潜能”，释放出他们的“本质力量”，为他们的“数学发展需要”奠定坚实的基础。
关键词：不愤不启；不悱不发；高效教学
数学思维能力的培养是数学教育的核心，发展学生的思维能力是数学教学的主要任务之一。因此，在数学教学中，教师应捕捉学习切入点，把准数学课堂教学的节奏，寻找一些疑点，巧妙追问，适时地点拨学生的思维过程，让思维在师生、生生碰撞中得以快速发展，从而促进数学课堂教学绽放异彩。
一、学前先思，不愤不启
在课堂教学中，抓住每一个“有意义的切入点”进行合理、有效的追问，营造一个主动、活泼的问题情境氛围，才能有机会把数学知识引入之中，才能激发学生的学习兴趣，才能提高课堂教学的最大有效性。
1.真题尝试
案例1：（幻灯片显示）“平行线的性质应用例题”：如图1，AA1//BA2，求证：∠B1=∠A1 ∠A2。
（你会做吗？找到了几种方法）
学生1：用量角器测量可以得出结论。这时班级里大部分学生闻之立马拿出量角器量出∠B1、∠A1、∠A2的数量关系，也随声附和地得出结论“成立”。
学生2：从图形直观目测与刚才同学们的测量答案必然是成立，可是老师上节课说，几何求证题是推理、说理的过程，不是实验操作得出结论。（这时全班同学又进入困惑的状态）
同学们是主角，老师是配角，只有学生们思于困，才学于成。这时，同学们觉得等待无果。从以下几个方面入手考虑：①解答这个问题主要是运用什么知识？②图形中有同位角、内错角、同旁内角吗？③运用平行线性质、图形的基本特征是：两条平行线被 所截。④在图形上添加一条线，促使图形满足“两条平行线被第三条直线所截”在以上四点困惑中产生了以下思考（如图2～图9）：
积全班同学的思考、探索，形形色色的图像也展示出来，同学们也从困惑的窘境中寻找出路了。图3汇聚了大多数的眼球，学生们在“嘘”声中欣然接受了辅助线的魅力和解题的灵感，推理的过程、新产生的线即辅助线也就水到渠成。
教师：能否在平行线间多几个“曲折”（如图10）？
这道题简单的几何，抓住问题的实质，并进一步提升、推广发展变式的思考方法。这时班里的同学因愤怒于刚才的卡口，败于作平行线的辅助线，故对于提出问题积极给予肯定，并说出过各折点作平行线可推出：
学生3：将A1、A3之间的折增加到4条A1B1、B1A2、A2B2、B2A3，
仍然有∠A1 ∠A2 ∠A3=∠B1
∠B2。
学生4：发现∠A1 ∠A2 ∠A3 ……
∠An=∠B1 ∠B2 ∠B3 …… ∠Bn-1
此时，全班学生几乎可以得出：向右凸的角之和等于向左凹的角之和。同学们在老师的激发、表扬和自身极力思考下，最后老师才一语道破，得出解题方案与思路，加深了本题了解和做题的意图，促进了学生发散思维的发展。
2.步步深入
教师在精心设计问题时，要依据学生的思维特点，做到从浅入深、由易到难、有简有繁，设计出有一定梯度、不同层次的问题，从而点燃不同层面学生的思维火花，学生激情高涨，面对教师追问就对答如流，活跃整个数学课堂气氛。
例如，教师（趁热打铁）对题目再拓展：平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系。
（1）如图11若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之間有何数量关系？请证明你的结论。
（2）在图12中，将左图直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图12右图，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明。
（3）根据（2）中的结论求图13中∠A ∠B ∠C ∠D ∠E ∠F的度数。
这一环节，让学生熟悉自己发现的方法上理解思路、明确方法，还要通过一定量的练习才能切实掌握方法，融会贯通，领悟思想，启迪智慧。
点评：添“辅助线”是数学教学中的一个难点，而作为教师的“导”，不是简单地把方法展示给学生，而是要让学生在困惑、迷茫时下去点拨引导，让学生知其然，更要知其所以然。通过引导学生逐步领悟为什么添辅助线，怎样添辅助线。这样学前先思，不愤不启的教学使学生切实掌握方法。
二、设置悬念，不悱不发
古人云：小疑则小进，大疑则大进。所以在课堂教学中有目的、有计划地设置适宜的障碍就能引起学生的求知欲望，对疑难问题积极的思维。
案例：针对刚入七年级的学生对“代数”优越性难以体会，学习积极性不高的现实，为了激发学生学习“用字母表示数”的浓厚兴趣，笔者突发奇想制造了一个课堂趣味题。
教师（故弄玄虚），想知道与自己命运攸关的幸运数字是多少吗？
学生（一脸惊愕）：老师怎么迷信起来？
教师：先从1～9这九个数字中选出两个你喜欢的数字，它与决定你的命运的幸运数字息息相关！用这两个数字能组成几个两位数？
学生：两个。
教师：将这两个两位数的和除以两个数字之和，再把得到的商乘以25；最后再减去25，这就是你的幸运数字！
学生1：（平时比较调皮）告诉我，你的幸运数字是多少？
学生2：……（扭头去看同桌所得数字，脸红红的）
教师：学生3你的呢？（学生3支吾不语，此时全班“乱”作一团，争相讨论，课堂秩序似乎难以控制）
教师：怎么了？为什么你们都不告诉我结果呢？难道是算不出来吗？
众生（齐）：老师，这是为什么？怎么我们每个人都……（哈哈大笑却又迷惑不解，“愤”“悱”之境骤出，学生热情高涨，急欲知晓原因）
教师：不好意思，这是一个数学趣味题而已，无论你选择哪两个数字，都会得到同一个“幸运数字”！学习本章知识你就知道其中的奥秘了！（学生会全神贯注，直盯了黑板）这节课的效果不言而喻！学生有了初步的“代数”观念“一般化”的思想。
“不愤不启，不悱不发”，学生的想法或许困难重重，时间上需要更多投入，也可能有节外生枝的地方，但是其中常常蕴含着创造的火花。因此，教学中教师在以问题引导学生的同时，更不断有意识地让学生思考问题，表达问题，只有在深思熟虑中才能更好地掌握创新知识和高效教学，激发学生探究的欲望，从而演绎精彩的高效数学课堂。
（作者单位：福建省莆田文献中学）
关键词：不愤不启；不悱不发；高效教学
数学思维能力的培养是数学教育的核心，发展学生的思维能力是数学教学的主要任务之一。因此，在数学教学中，教师应捕捉学习切入点，把准数学课堂教学的节奏，寻找一些疑点，巧妙追问，适时地点拨学生的思维过程，让思维在师生、生生碰撞中得以快速发展，从而促进数学课堂教学绽放异彩。
一、学前先思，不愤不启
在课堂教学中，抓住每一个“有意义的切入点”进行合理、有效的追问，营造一个主动、活泼的问题情境氛围，才能有机会把数学知识引入之中，才能激发学生的学习兴趣，才能提高课堂教学的最大有效性。
1.真题尝试
案例1：（幻灯片显示）“平行线的性质应用例题”：如图1，AA1//BA2，求证：∠B1=∠A1 ∠A2。
（你会做吗？找到了几种方法）
学生1：用量角器测量可以得出结论。这时班级里大部分学生闻之立马拿出量角器量出∠B1、∠A1、∠A2的数量关系，也随声附和地得出结论“成立”。
学生2：从图形直观目测与刚才同学们的测量答案必然是成立，可是老师上节课说，几何求证题是推理、说理的过程，不是实验操作得出结论。（这时全班同学又进入困惑的状态）
同学们是主角，老师是配角，只有学生们思于困，才学于成。这时，同学们觉得等待无果。从以下几个方面入手考虑：①解答这个问题主要是运用什么知识？②图形中有同位角、内错角、同旁内角吗？③运用平行线性质、图形的基本特征是：两条平行线被 所截。④在图形上添加一条线，促使图形满足“两条平行线被第三条直线所截”在以上四点困惑中产生了以下思考（如图2～图9）：
积全班同学的思考、探索，形形色色的图像也展示出来，同学们也从困惑的窘境中寻找出路了。图3汇聚了大多数的眼球，学生们在“嘘”声中欣然接受了辅助线的魅力和解题的灵感，推理的过程、新产生的线即辅助线也就水到渠成。
教师：能否在平行线间多几个“曲折”（如图10）？
这道题简单的几何，抓住问题的实质，并进一步提升、推广发展变式的思考方法。这时班里的同学因愤怒于刚才的卡口，败于作平行线的辅助线，故对于提出问题积极给予肯定，并说出过各折点作平行线可推出：
学生3：将A1、A3之间的折增加到4条A1B1、B1A2、A2B2、B2A3，
仍然有∠A1 ∠A2 ∠A3=∠B1
∠B2。
学生4：发现∠A1 ∠A2 ∠A3 ……
∠An=∠B1 ∠B2 ∠B3 …… ∠Bn-1
此时，全班学生几乎可以得出：向右凸的角之和等于向左凹的角之和。同学们在老师的激发、表扬和自身极力思考下，最后老师才一语道破，得出解题方案与思路，加深了本题了解和做题的意图，促进了学生发散思维的发展。
2.步步深入
教师在精心设计问题时，要依据学生的思维特点，做到从浅入深、由易到难、有简有繁，设计出有一定梯度、不同层次的问题，从而点燃不同层面学生的思维火花，学生激情高涨，面对教师追问就对答如流，活跃整个数学课堂气氛。
例如，教师（趁热打铁）对题目再拓展：平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系。
（1）如图11若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则∠BPD、∠B、∠D之間有何数量关系？请证明你的结论。
（2）在图12中，将左图直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图12右图，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？并证明。
（3）根据（2）中的结论求图13中∠A ∠B ∠C ∠D ∠E ∠F的度数。
这一环节，让学生熟悉自己发现的方法上理解思路、明确方法，还要通过一定量的练习才能切实掌握方法，融会贯通，领悟思想，启迪智慧。
点评：添“辅助线”是数学教学中的一个难点，而作为教师的“导”，不是简单地把方法展示给学生，而是要让学生在困惑、迷茫时下去点拨引导，让学生知其然，更要知其所以然。通过引导学生逐步领悟为什么添辅助线，怎样添辅助线。这样学前先思，不愤不启的教学使学生切实掌握方法。
二、设置悬念，不悱不发
古人云：小疑则小进，大疑则大进。所以在课堂教学中有目的、有计划地设置适宜的障碍就能引起学生的求知欲望，对疑难问题积极的思维。
案例：针对刚入七年级的学生对“代数”优越性难以体会，学习积极性不高的现实，为了激发学生学习“用字母表示数”的浓厚兴趣，笔者突发奇想制造了一个课堂趣味题。
教师（故弄玄虚），想知道与自己命运攸关的幸运数字是多少吗？
学生（一脸惊愕）：老师怎么迷信起来？
教师：先从1～9这九个数字中选出两个你喜欢的数字，它与决定你的命运的幸运数字息息相关！用这两个数字能组成几个两位数？
学生：两个。
教师：将这两个两位数的和除以两个数字之和，再把得到的商乘以25；最后再减去25，这就是你的幸运数字！
学生1：（平时比较调皮）告诉我，你的幸运数字是多少？
学生2：……（扭头去看同桌所得数字，脸红红的）
教师：学生3你的呢？（学生3支吾不语，此时全班“乱”作一团，争相讨论，课堂秩序似乎难以控制）
教师：怎么了？为什么你们都不告诉我结果呢？难道是算不出来吗？
众生（齐）：老师，这是为什么？怎么我们每个人都……（哈哈大笑却又迷惑不解，“愤”“悱”之境骤出，学生热情高涨，急欲知晓原因）
教师：不好意思，这是一个数学趣味题而已，无论你选择哪两个数字，都会得到同一个“幸运数字”！学习本章知识你就知道其中的奥秘了！（学生会全神贯注，直盯了黑板）这节课的效果不言而喻！学生有了初步的“代数”观念“一般化”的思想。
“不愤不启，不悱不发”，学生的想法或许困难重重，时间上需要更多投入，也可能有节外生枝的地方，但是其中常常蕴含着创造的火花。因此，教学中教师在以问题引导学生的同时，更不断有意识地让学生思考问题，表达问题，只有在深思熟虑中才能更好地掌握创新知识和高效教学，激发学生探究的欲望，从而演绎精彩的高效数学课堂。
（作者单位：福建省莆田文献中学）