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在全面实施素质教育，不断规范中小学办学行为的大背景下，学生在校时间大大缩短，每周的数学教学时间只有4节课（高一、二年级）。笔者所在的学校（一所省四星级学校）以导学案为载体，强力推进课堂教学改革，努力进行创设数学“1+1”高效课堂的实验。究竟什么样的课堂能被称为“1+1”高效课堂？作为数学教师，又该如何优质、高效地完成教学任务？笔者就本校的一堂高二数学公开课的片断做点滴思考，并与广大同仁交流。
一、问题提出
苏教版必修5第12页的第10题（由于篇幅所限，题目略）是一道阅读题，在本章结束后的复习中，导学案的作者将它改成如下一道例题：
例3 在△ABC中，A=30°，c=10，当a取什么值时，边长b是唯一的？
由于学情差（普通理科班）及题目比较难，执教者决定让学生探究。探究的方法被设计成三步：学生自主研究（课前完成，可以利用资料）；小组合作探讨；成果展示点评。
二、探求过程
小组1：设∠BAP=30°，点C在射线AP上，以点B为圆心，以a为半径作圆弧，当a=5时，该圆弧与射线AP相切，则切点为C，此时边长b=5■，唯一；当a≥10时，该圆弧与射线相交，交点C唯一，此时b值唯一。
师：还有其他的思路吗？（学生没有反应。）
小组2：我们组用正弦定理探究，由正弦定理得：sinC=■=■，当a=5时，C=90°，此时边长b唯一；当a>5时，sinC<1。（下面的不会了。）
师：哪位能来救驾？（留足时间让学生思考、讨论，教师也在紧张地思考。）
生1：在△ABC中，若sinC<1，则C通常有两解C1，C2（C1≤C2）且C1+C2=180°。又A=30°，所以当C1≤30°时，C2≥150°，不满足三角形内角和为180°的要求，所以sinC=■≤sin30°即a≥10时，C唯一，从而b唯一。
小组3：由余弦定理得，a2=b2-10■b+100=（b-5■）2+25
所以a2≥25，从而a≥5。（怎么回事呢？）
师：解题的目标是什么？
生：a取什么值时，b值唯一。
师：将a，b看成是变量呢？
生2：由已知可得b2-10■b+100-a2=0，可以视为关于b的一元二次方程存在唯一根，求a的取值范围。令△=（10■）2-4（100-a2）=0，得a=5，a=-5（舍去）。（学生挠了挠头，师示意他坐下。）
师：方程在有两解的情况下，是否一定不满足b值唯一性的要求呢？
生2：（激动）方程的解是一正一负就满足b值唯一性要求，因为b>0，再补上：由x1·x2=100-a2≤0及a>0，可解得a≥10。
生3：令f（b）=b2-10■b+100-a2，原问题就变为二次函数f（b）的图像与x轴的非负半轴有一交点的问题，由f（0）≤0也能解得。
师（进一步点拨）：还有其他的方法吗？能用数形结合的方法来处理a2=b2-10■b+100吗？
生4：令g（b）=b2-10■b+100（b>0），y=a2，在同一个坐标系中分别作出它们的图像，当两个函数的图像只有一个交点时，b值唯一。
师：同学们表现得都很积极，以上哪种解法更符合你的思维习惯？（学生回答，一位学生突然提出了下面的思路。）
生5：建立如下图所示坐标系，两点间距离得：BC2=（5■-b）2+25，即a2=b2-10■b+100。
师：用解析法同样可以得到a2=b2-10■b+100，很好！
（然后教师又组织了变式训练。）
师：当a取什么值时，边长b存在两解？
学生齐答：当5 师：在△ABC中，A=150°，c=10，当a取什么值时，边长b是唯一的？
学生求解，得出答案：当a>10时，边长b是唯一的。
师：在△ABC中，A=α，c=10，当取a什么值时，边长b是唯一的？
学生求解，得出答案：若0<α<■，则a=10sinα或a>10，当a>10时边长b是唯一的；若■≤α<π，则a>10时，边长b是唯一的。
三、探究价值
1.关于“一题多解”。一题多解，不仅可以通过少量的问题去沟通各部分知识间的联系，拓宽解题的思路，而且有利于培养学生探究的精神和对数学研究的兴趣，达到减负增效的作用，是传统教学中一种独特的训练方法。
2.关于“变式训练”。变式训练，就是要观察数学问题是如何从简单演变、派生到复杂的。加强变式训练，对提高思维的辩证能力，拓展解题思维的渠道，促进思维向自觉领悟阶段转变，都具有不可替代的作用。
3.关于“探究过程”。在习题的探究过程中，通过对问题的思考、联系、推广，获取具有一定价值的结论，这是教学中的一项经常性工作。
四、关于“高效课堂”
“1+1”高效课堂，不是教师一厢情愿地死填硬灌，更不是雾里看花的课堂表演。从本节课来看，是在确定学生最近发展区的前提下，教师为帮助学生达成学习目标，运用适当的激励、引导等教学手段和教学模式，采用小组学习、合作互动方式，追求教学的科学性、有效性和创造性的一个动态的教育科学研究的思想方法体系。
一、问题提出
苏教版必修5第12页的第10题（由于篇幅所限，题目略）是一道阅读题，在本章结束后的复习中，导学案的作者将它改成如下一道例题：
例3 在△ABC中，A=30°，c=10，当a取什么值时，边长b是唯一的？
由于学情差（普通理科班）及题目比较难，执教者决定让学生探究。探究的方法被设计成三步：学生自主研究（课前完成，可以利用资料）；小组合作探讨；成果展示点评。
二、探求过程
小组1：设∠BAP=30°，点C在射线AP上，以点B为圆心，以a为半径作圆弧，当a=5时，该圆弧与射线AP相切，则切点为C，此时边长b=5■，唯一；当a≥10时，该圆弧与射线相交，交点C唯一，此时b值唯一。
师：还有其他的思路吗？（学生没有反应。）
小组2：我们组用正弦定理探究，由正弦定理得：sinC=■=■，当a=5时，C=90°，此时边长b唯一；当a>5时，sinC<1。（下面的不会了。）
师：哪位能来救驾？（留足时间让学生思考、讨论，教师也在紧张地思考。）
生1：在△ABC中，若sinC<1，则C通常有两解C1，C2（C1≤C2）且C1+C2=180°。又A=30°，所以当C1≤30°时，C2≥150°，不满足三角形内角和为180°的要求，所以sinC=■≤sin30°即a≥10时，C唯一，从而b唯一。
小组3：由余弦定理得，a2=b2-10■b+100=（b-5■）2+25
所以a2≥25，从而a≥5。（怎么回事呢？）
师：解题的目标是什么？
生：a取什么值时，b值唯一。
师：将a，b看成是变量呢？
生2：由已知可得b2-10■b+100-a2=0，可以视为关于b的一元二次方程存在唯一根，求a的取值范围。令△=（10■）2-4（100-a2）=0，得a=5，a=-5（舍去）。（学生挠了挠头，师示意他坐下。）
师：方程在有两解的情况下，是否一定不满足b值唯一性的要求呢？
生2：（激动）方程的解是一正一负就满足b值唯一性要求，因为b>0，再补上：由x1·x2=100-a2≤0及a>0，可解得a≥10。
生3：令f（b）=b2-10■b+100-a2，原问题就变为二次函数f（b）的图像与x轴的非负半轴有一交点的问题，由f（0）≤0也能解得。
师（进一步点拨）：还有其他的方法吗？能用数形结合的方法来处理a2=b2-10■b+100吗？
生4：令g（b）=b2-10■b+100（b>0），y=a2，在同一个坐标系中分别作出它们的图像，当两个函数的图像只有一个交点时，b值唯一。
师：同学们表现得都很积极，以上哪种解法更符合你的思维习惯？（学生回答，一位学生突然提出了下面的思路。）
生5：建立如下图所示坐标系，两点间距离得：BC2=（5■-b）2+25，即a2=b2-10■b+100。
师：用解析法同样可以得到a2=b2-10■b+100，很好！
（然后教师又组织了变式训练。）
师：当a取什么值时，边长b存在两解？
学生齐答：当5
学生求解，得出答案：当a>10时，边长b是唯一的。
师：在△ABC中，A=α，c=10，当取a什么值时，边长b是唯一的？
学生求解，得出答案：若0<α<■，则a=10sinα或a>10，当a>10时边长b是唯一的；若■≤α<π，则a>10时，边长b是唯一的。
三、探究价值
1.关于“一题多解”。一题多解，不仅可以通过少量的问题去沟通各部分知识间的联系，拓宽解题的思路，而且有利于培养学生探究的精神和对数学研究的兴趣，达到减负增效的作用，是传统教学中一种独特的训练方法。
2.关于“变式训练”。变式训练，就是要观察数学问题是如何从简单演变、派生到复杂的。加强变式训练，对提高思维的辩证能力，拓展解题思维的渠道，促进思维向自觉领悟阶段转变，都具有不可替代的作用。
3.关于“探究过程”。在习题的探究过程中，通过对问题的思考、联系、推广，获取具有一定价值的结论，这是教学中的一项经常性工作。
四、关于“高效课堂”
“1+1”高效课堂，不是教师一厢情愿地死填硬灌，更不是雾里看花的课堂表演。从本节课来看，是在确定学生最近发展区的前提下，教师为帮助学生达成学习目标，运用适当的激励、引导等教学手段和教学模式，采用小组学习、合作互动方式，追求教学的科学性、有效性和创造性的一个动态的教育科学研究的思想方法体系。