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【摘 要】解决“鸡兔同笼”问题，教材中主要引导学生进行猜测与尝试，利用列举、假设的方法来解决问题。教师多站在学生的角度考虑问题，顺应学生思维特征来选择学习方式与路径，引导学生通过猜测尝试、比较分析、发现规律、掌握方法，锻炼有序思考能力，积累解决问题的经验。
【关键词】思维特征 学习方式 深度学习
一、问题提出
“鸡兔同笼”问题出自《孙子算经》，是我国民间广为流传的数学趣题，在人教版教材四年级下册“数学广角”和北师大版教材五年级上册“数学好玩”中都有这样的教学内容。教材安排这样的教学内容，一方面通过生动有趣的古代数学问题让学生感受我国古代数学文化，另一方面在解决问题过程中使学生掌握问题解决的不同方法和策略。根据学生的认知发展水平，教材主要引导学生进行猜测与尝试，利用列举、假设的方法来解决问题。
学为中心，深度学习的课堂，需要教师多站在学生的角度考虑问题，顺应学生思维特征选择学习方式与路径。通过课堂实践，笔者认为，本课教学教师应基于学生的真实思维，让学生通过猜测尝试、比较分析，发现鸡兔只数调整中脚数的变化规律，真正掌握列举与假设的方法，在独立思考与合作交流的学习过程中真正锻炼学生有序思考及逻辑推理能力，积累解决问题的经验。
二、学情调查——了解学生怎么想问题
为了了解学生的真实思维，把握学习起点，顺应学生思维特征，引导学生实现深度学习，笔者围绕“对于鸡兔同笼这样的问题学生已经会了什么”“本课学习学生真正的思维困难在哪里”“通过课本学习学生能有怎样的提升发展”三个问题对学生进行了课前调查。
（一）调查内容
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有 12个头，从下面数，有 40 只脚。鸡和兔各有几只？（你能用几种方法解答，请写一写、算一算或者画一画）
（二）调查结果
1.主要方法
（三）调查分析
“鸡兔同笼”问题对于四年级学生来说具有挑战性（正确率为35.7%），正确解决问题的学生主要采用猜测法，其次是列表列举法。假设全是鸡或兔的方法，如果学生没有经过课外辅导都还不会正确运用。因此列举法是适合学生认知发展水平的有价值的方法，需要学生重点学习掌握。
在学生的作品中可以看到，脚数与头数的内在变化关联是学生解决问题的思维障碍所在，其中顾“脚”不顾“头”的错误近20%。若将题目中 “从下面数，有 40 只脚”这一条件前置则发生这一错误的可能性更大。可见多数学生解题时只盲目计算，缺乏假设推演，已有的单一线性的解题经验固化了思维，解题的策略性思考能力比较弱。
三、教学思路——设计顺应学生思维特征的学习路径
基于课前学生调查，笔者认为，如何让学生从不会列举或错误列举到真正学会列举方法，会用列举法解决问题是本课学生学习提升的重点所在。先顾“头”再顾“脚”和先顾“脚”再顾“头”只是方法上的不同，如何正确列举、有序思考，探索变化规律，才是学生用列举方法解决问题的价值所在。教师要利用好学生“只顾脚，不顾头”的错误资源，跳出单一从头这一维度进行列举的思维局限，用更开放的姿态，站在更高的角度来理解列举方法，让学生充分经历尝试、验证、调整、总结这一解决问题的过程，积累解决问题的策略性经验。
四、学习过程——促进深度学习的实现
（一）揭题引入，明确基本关系
1.呈现问题
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有 10个头，从下面数，有 26 只脚。鸡和兔各有幾只？
2.梳理信息
你读懂了哪些信息？
板书：鸡头 兔头=10 鸡脚 兔脚=26
（教学意图：明晰已知条件是解决问题的首要环节，问题中“鸡头 兔头=10；鸡脚 兔脚=26”是学生用列举法解决问题的两个重要数量关系，教师有意强化“数量关系”解读，为学生“尝试解决”做必要的准备。）
（二）尝试交流，掌握列举方法
1.呈现错误——顾“脚”不顾“头”
师：老师这里有一位同学尝试解决这个问题的方法，大家看看这位同学怎么想的？这样想对吗？（引导学生检验头数和脚数）
方法：5×4=20（只） 3×2=6（只） 20 6=26（只）
答：兔5只，鸡3只。
小结：这位同学先根据“鸡脚 兔脚=26”这个数量关系来思考的，可是忘记了“鸡头 兔头=10”这一条件。我们怎样才能找到正确答案呢？
2.猜测尝试——顾“脚”再顾“头”
师：满足脚数26只，鸡和兔的只数还可能是多少呢？（学生利用练习纸独立尝试列举）
（1）学生猜测尝试，然后交流汇总各种方法。
[兔脚/只 鸡脚/只 总头数 6×4=24 1×2=2 6 1=7 5×4=20 3×2=6 5 3=8 4×4=16 5×2=10 4 5=9 3×4=12 7×2=14 3 7=10 2×4=8 9×2=18 2 9=11 1×4=4 11×2=22 1 11=12 0×4=0 13×2=26 0 13=13 ]
师：通过刚才的尝试，你有什么发现。
（2）交流小结：如果脚的数量不变，每减少1只兔，就增加2只鸡，头数就增加1个。
（教学意图：著名教育家卡尔·威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括是“错误”。笔者认为，学生的认知错误是最宝贵的教学资源，学生思维由“迷”到“悟”是深度学习发生的必经之路。知“迷”所在，是“悟”之始。教师顺应学生的思维，大胆呈现错误方法，引导学生明白错误之所在——顾脚不顾头，进而学生自然地理解列举时同时满足“鸡头 兔头=10，鸡脚 兔脚=26”两个条件。这为学生掌握列举方法跨出重要一步。） 3.学会列举——顾“头”再顾“脚”
师：除了先考虑满足腿数26条，进行猜测尝试外。还可以怎样思考呢？
（1）呈现方法1（如下图）。
（2）组织讨论：这位同学是怎么思考的？
生：先考虑头数10只，鸡如果有1只，那兔就有9只，这样脚有38只了，如果鸡有2只，那兔就有8只，这样脚有36只，这样一只一只试下去。
生：这位同学试了很多次才找到正确答案，我尝试的次数比他少（呈现方法2）。
师：这位同学怎么想的？
生：他是从中间开始列举的。
师：5只鸡、5只兔试完后，为什么尝试6只鸡、4只兔呢？
生4：因为5只鸡、5只兔共30条腿，比26条腿多，所以要减少兔子的只数，增加鸡的只数。
师：同学们仔细观察这两位同学的方法，你发现鸡和兔的只数变化，与脚数变化有什么规律呢？
生：如果总头数不变，每增加1只鸡，减少1只兔，脚就减少2条。（教师用示意图演示方法2的变化过程）
（ 教学意图：从先顾脚再顾头，到先顾头再顾脚，从不同角度让学生进行列举，打开了学生的思维空间，充分感受列举方法的关键。同时，通过丰富的材料让学生体会、理解鸡兔头数变化与脚数变化的规律，为突破难点做了扎实的铺垫。）
（三）拓展提升：理解“假设法”
师：谁能调整得更快更准呢？[呈现方法：10×4-26=14（条），14÷2=7（只）]
师：这位同学是怎么思考的？
生：如果10只都是兔子，那么多了14条腿。
师：我们怎么调整呢？
生：每减少1只兔，增加1只鸡，就会减少2条腿，那么减少7只兔，增加7只鸡，就会少14条腿。（课件呈现假设调整的过程）
师：14÷（4-2）=7（只），这个算式你明白是怎样调整鸡和兔的只数吗？（同桌相互交流）
师：我们能不能假设都是鸡再进行调整呢？你能尝试算一算吗？（略）
（教学意图：整节课学生始终围绕“鸡兔头数变化与脚数变化的联系”进行思考与交流。因此，基于列举方法，假设法是学生跳一跳能摘到的“桃子”，也是学生思维不断清晰的自然结果。）
关注学情，是“学为中心”的教学核心。课前教师可通过问卷调查等手段了解学生的思维特征，尊重并用好学生的认知错误。在教学设计时教师多站在学生的角度来思考问题，了解学生的真实困惑在哪儿。在组织学习时多基于学生的认知困惑、思维发展需求，从学生的已有知识能力出发，依托数学任务驱动，借助学生丰富的认知成果展开交流。在学习重难点处以核心问题为引领，通过分析比较、归纳总结发现数学规律，获得数学经验。数学学习的过程是学生思维能力、数学素养提升的过程，教师只有充分关注学生思维特征，选择适合的学习方式，才能在课堂上给学生提供更大的思維发展空间。
（浙江省嘉兴市实验小学 314000）
【关键词】思维特征 学习方式 深度学习
一、问题提出
“鸡兔同笼”问题出自《孙子算经》，是我国民间广为流传的数学趣题，在人教版教材四年级下册“数学广角”和北师大版教材五年级上册“数学好玩”中都有这样的教学内容。教材安排这样的教学内容，一方面通过生动有趣的古代数学问题让学生感受我国古代数学文化，另一方面在解决问题过程中使学生掌握问题解决的不同方法和策略。根据学生的认知发展水平，教材主要引导学生进行猜测与尝试，利用列举、假设的方法来解决问题。
学为中心，深度学习的课堂，需要教师多站在学生的角度考虑问题，顺应学生思维特征选择学习方式与路径。通过课堂实践，笔者认为，本课教学教师应基于学生的真实思维，让学生通过猜测尝试、比较分析，发现鸡兔只数调整中脚数的变化规律，真正掌握列举与假设的方法，在独立思考与合作交流的学习过程中真正锻炼学生有序思考及逻辑推理能力，积累解决问题的经验。
二、学情调查——了解学生怎么想问题
为了了解学生的真实思维，把握学习起点，顺应学生思维特征，引导学生实现深度学习，笔者围绕“对于鸡兔同笼这样的问题学生已经会了什么”“本课学习学生真正的思维困难在哪里”“通过课本学习学生能有怎样的提升发展”三个问题对学生进行了课前调查。
（一）调查内容
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有 12个头，从下面数，有 40 只脚。鸡和兔各有几只？（你能用几种方法解答，请写一写、算一算或者画一画）
（二）调查结果
1.主要方法
（三）调查分析
“鸡兔同笼”问题对于四年级学生来说具有挑战性（正确率为35.7%），正确解决问题的学生主要采用猜测法，其次是列表列举法。假设全是鸡或兔的方法，如果学生没有经过课外辅导都还不会正确运用。因此列举法是适合学生认知发展水平的有价值的方法，需要学生重点学习掌握。
在学生的作品中可以看到，脚数与头数的内在变化关联是学生解决问题的思维障碍所在，其中顾“脚”不顾“头”的错误近20%。若将题目中 “从下面数，有 40 只脚”这一条件前置则发生这一错误的可能性更大。可见多数学生解题时只盲目计算，缺乏假设推演，已有的单一线性的解题经验固化了思维，解题的策略性思考能力比较弱。
三、教学思路——设计顺应学生思维特征的学习路径
基于课前学生调查，笔者认为，如何让学生从不会列举或错误列举到真正学会列举方法，会用列举法解决问题是本课学生学习提升的重点所在。先顾“头”再顾“脚”和先顾“脚”再顾“头”只是方法上的不同，如何正确列举、有序思考，探索变化规律，才是学生用列举方法解决问题的价值所在。教师要利用好学生“只顾脚，不顾头”的错误资源，跳出单一从头这一维度进行列举的思维局限，用更开放的姿态，站在更高的角度来理解列举方法，让学生充分经历尝试、验证、调整、总结这一解决问题的过程，积累解决问题的策略性经验。
四、学习过程——促进深度学习的实现
（一）揭题引入，明确基本关系
1.呈现问题
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有 10个头，从下面数，有 26 只脚。鸡和兔各有幾只？
2.梳理信息
你读懂了哪些信息？
板书：鸡头 兔头=10 鸡脚 兔脚=26
（教学意图：明晰已知条件是解决问题的首要环节，问题中“鸡头 兔头=10；鸡脚 兔脚=26”是学生用列举法解决问题的两个重要数量关系，教师有意强化“数量关系”解读，为学生“尝试解决”做必要的准备。）
（二）尝试交流，掌握列举方法
1.呈现错误——顾“脚”不顾“头”
师：老师这里有一位同学尝试解决这个问题的方法，大家看看这位同学怎么想的？这样想对吗？（引导学生检验头数和脚数）
方法：5×4=20（只） 3×2=6（只） 20 6=26（只）
答：兔5只，鸡3只。
小结：这位同学先根据“鸡脚 兔脚=26”这个数量关系来思考的，可是忘记了“鸡头 兔头=10”这一条件。我们怎样才能找到正确答案呢？
2.猜测尝试——顾“脚”再顾“头”
师：满足脚数26只，鸡和兔的只数还可能是多少呢？（学生利用练习纸独立尝试列举）
（1）学生猜测尝试，然后交流汇总各种方法。
[兔脚/只 鸡脚/只 总头数 6×4=24 1×2=2 6 1=7 5×4=20 3×2=6 5 3=8 4×4=16 5×2=10 4 5=9 3×4=12 7×2=14 3 7=10 2×4=8 9×2=18 2 9=11 1×4=4 11×2=22 1 11=12 0×4=0 13×2=26 0 13=13 ]
师：通过刚才的尝试，你有什么发现。
（2）交流小结：如果脚的数量不变，每减少1只兔，就增加2只鸡，头数就增加1个。
（教学意图：著名教育家卡尔·威特的教育秘诀之一，就是宽容地、理性地看待孩子的一切，包括是“错误”。笔者认为，学生的认知错误是最宝贵的教学资源，学生思维由“迷”到“悟”是深度学习发生的必经之路。知“迷”所在，是“悟”之始。教师顺应学生的思维，大胆呈现错误方法，引导学生明白错误之所在——顾脚不顾头，进而学生自然地理解列举时同时满足“鸡头 兔头=10，鸡脚 兔脚=26”两个条件。这为学生掌握列举方法跨出重要一步。） 3.学会列举——顾“头”再顾“脚”
师：除了先考虑满足腿数26条，进行猜测尝试外。还可以怎样思考呢？
（1）呈现方法1（如下图）。
（2）组织讨论：这位同学是怎么思考的？
生：先考虑头数10只，鸡如果有1只，那兔就有9只，这样脚有38只了，如果鸡有2只，那兔就有8只，这样脚有36只，这样一只一只试下去。
生：这位同学试了很多次才找到正确答案，我尝试的次数比他少（呈现方法2）。
师：这位同学怎么想的？
生：他是从中间开始列举的。
师：5只鸡、5只兔试完后，为什么尝试6只鸡、4只兔呢？
生4：因为5只鸡、5只兔共30条腿，比26条腿多，所以要减少兔子的只数，增加鸡的只数。
师：同学们仔细观察这两位同学的方法，你发现鸡和兔的只数变化，与脚数变化有什么规律呢？
生：如果总头数不变，每增加1只鸡，减少1只兔，脚就减少2条。（教师用示意图演示方法2的变化过程）
（ 教学意图：从先顾脚再顾头，到先顾头再顾脚，从不同角度让学生进行列举，打开了学生的思维空间，充分感受列举方法的关键。同时，通过丰富的材料让学生体会、理解鸡兔头数变化与脚数变化的规律，为突破难点做了扎实的铺垫。）
（三）拓展提升：理解“假设法”
师：谁能调整得更快更准呢？[呈现方法：10×4-26=14（条），14÷2=7（只）]
师：这位同学是怎么思考的？
生：如果10只都是兔子，那么多了14条腿。
师：我们怎么调整呢？
生：每减少1只兔，增加1只鸡，就会减少2条腿，那么减少7只兔，增加7只鸡，就会少14条腿。（课件呈现假设调整的过程）
师：14÷（4-2）=7（只），这个算式你明白是怎样调整鸡和兔的只数吗？（同桌相互交流）
师：我们能不能假设都是鸡再进行调整呢？你能尝试算一算吗？（略）
（教学意图：整节课学生始终围绕“鸡兔头数变化与脚数变化的联系”进行思考与交流。因此，基于列举方法，假设法是学生跳一跳能摘到的“桃子”，也是学生思维不断清晰的自然结果。）
关注学情，是“学为中心”的教学核心。课前教师可通过问卷调查等手段了解学生的思维特征，尊重并用好学生的认知错误。在教学设计时教师多站在学生的角度来思考问题，了解学生的真实困惑在哪儿。在组织学习时多基于学生的认知困惑、思维发展需求，从学生的已有知识能力出发，依托数学任务驱动，借助学生丰富的认知成果展开交流。在学习重难点处以核心问题为引领，通过分析比较、归纳总结发现数学规律，获得数学经验。数学学习的过程是学生思维能力、数学素养提升的过程，教师只有充分关注学生思维特征，选择适合的学习方式，才能在课堂上给学生提供更大的思維发展空间。
（浙江省嘉兴市实验小学 314000）