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【摘要】刘徽是我国数学史上一位伟大的数学家，他在数学方面取得的成就在中国乃至世界数学史上均有深远影响。他一生取得了许多数学成就，尤其是在几何、分数、重差术等方面的研究对现代数学均具有深刻的影响。
【关键词】刘徽；数学成就；几何；分数；重差术
The Discussion about Liu Hui’s Achievements in Mathematics
Jiang Xian
【Abstract】Liu Hui is one the great mathematician in Chinese history. The achievements got by him have great influence on the mathematical history in China，even in the world. And among the achievements，his impact on geometry，fraction，Chong Cha Theory and so on is specially deep and profound.
【Key words】Liu Hui；Mathematical Achievements；Geometry；Fraction；Chong Cha Theory
【中图分类号】O119
【文献标识码】A
【文章编号】1005-250X(2007)11-0089-04
刘徽是我国数学史上一位伟大的数学家，他在数学方面取得的成就在中国乃至世界数学史上都有深远影响。他对数学的理论研究相当深入，他的数学著作《九章算术注》、《重差》(后人称《海岛算经》)、《九章重差图》(今已失传)等是我国十分宝贵的数学遗产。对现代数学的发展具有重大贡献。
1 几何学方面的成就
刘徽在几何学方面的成就主要包括割圆术、球体积、阳马术等方面。
1.1 割圆术：割圆术是刘徽为《九章算术》方田章圆田术作注时引入的。《九章算术》提出了圆田术：图1半周半径相乘得积步。这就是圆面积公式
其中S，L，r分别是圆面积、周长和半径。[1]
在刘徽之前人们用圆内接正六边形的周长代替圆周长，刘徽指出圆周率“非周三径一之率也。周三者从其六觚之图2环耳”。就是说，周三仅是圆内接正六边形之周长，而不是圆周长。[2]为此，刘徽提出了割圆术。他从圆的内接正六边形出发，将边数逐次加倍(图1)，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积。[3]刘徽指出：“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。”(图2)
“若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。”(图2)
刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数后二位的近似值π≈3.14，化成分数为15750，这就是有名的“徽率”.刘徽一再声明：“此率尚微少”。[3]
南北朝时期的祖冲之算出了圆周率数值的上下限：
3.1415926<π<3.1415927，
一般认为这个“正数”范围的获得是沿用了刘徽的割圆术。[3]
1.2 关于球体积的研究：刘徽首先指出了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，并在《九章算术》“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。[3]他作球的外切立方体，同时用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图3)，这时球就被包含在两圆柱相交的公共部分中，而且与圆柱相切。刘徽只保留两圆柱的公交部分，给它取名为“牟合方盖” (图4)。球和“牟合方盖” 用水平截面去截，其面积之比恒为，[2]利用“出入相补原理”：一个平面图形从一处移置它处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。[4]刘徽得到球和“牟合方盖”的体积比也为π∶4，也就是说，只要求出“牟合方盖”的体积即可得到球的体积。然而，刘徽没有能够直接求出“牟合方盖”的体积。
二百年后，祖冲之父子继续“牟合方盖”的研究，终于得到
V牟=23(2r)3，
并将刘徽的思想上升为理论，提出了祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异”，这里势指高，幂指截面积。 [5]即两个等高立体如果在所有等高处的水平截面积相同，则两个立体的体积相同。
图3图41.3 阳马术：《九章算术》“商功章”阳马术给出阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一[3]，即：
V=13Sh，
这里的V，S，h分别为四棱锥的体积、底面面积和高。
为了证明这个公式，刘徽将一个长方体斜剖为两个堑堵，再将堑堵斜分为两个立体，一个为阳马，一个为鳖臑(这里所说的堑堵，是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形，一个侧棱与底面垂直的四棱锥，[6]鳖臑是指各面为直角三角形的四面体(图5)。然后过堑堵长、宽、高的中点作截面，将阳马剖为一个长方体，两个小堑堵和两个小阳马；将鳖臑剖分成两个小堑堵和两个小鳖臑。如此继续分割以至于无穷，便可推知阳马和鳖臑体积之比为 2∶1。 [7]用刘徽的原话是：“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。” [4]利用“出入相补原理”阳马体积为长方体体积的13，由长方体的体积
V长=Sh
(V长，S，h分别是长方体的体积，底面面积和高)便可得阳马体积。
图52 在分数研究方面的成就[2]
2.1 十进小数：刘徽创造了十进小数(用十进分数形式给出)，这在世界数学史上是一项伟大的成就。刘徽用数名丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽记长度，忽是最小的，刘徽在研究中遇到忽以下的小数，他没有继续命名，而是创造了十进小数。他在《九章算术注》的方田章圆田术注、少广章开方术注和少广章开立圆术注中分别用到了十进小数。
2.2 分数计算：跟刘徽差不多同时期的赵爽首先引用了“齐同”这一术语，但没有形成完整的理论，在应用上也只是零星的。
刘徽出色的完成了齐同术的应用。齐同术——凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。就一组分数而言，要使分母相同，对分子也要做相应的变动。例如对分数ba和dc通分，“凡母互乘子谓之齐”就是把ad和bc定义为“齐”，“群母相乘谓之同”就是把 定义为“同”。
刘徽还提出了当分母很大时利用分母的最小公倍数去求“齐”、“同”的方法即“母除率(最小公倍数)，率乘子为齐”，“率”就是分母的最小公倍数。例如分数ba，dc，fe，其中分母的最小公倍数为m，“母除率”就是ma，mc，me，“率乘子为齐”就是分别以b×ma，d×mc，f×me为新分数的分子，以m为公分母，分数b×mam，d×mcm，f×mem就是“齐同”的结果。
刘徽认为“一乘一除，适足相消，故所分犹存”，即一个分数的分子分母同时用一个非零数相乘(除)，其值不变。刘徽说：“法实俱长，意亦等也”，意思是分子(实)、分母(法)都扩大同一倍数，结果和原来的分数一样；他还第一次对《九章算术》中“方田”章早已提出的化带分数为假分数的实际求法进行了解释：命母入者，须还出之。“母入者”就是指形如mba的带分数，“还出之”就是把它化为ma+ba形的假分数。分数运算只有先做到这一步，然后才能实际加、减、乘、除。
3 在重差术方面的成就
重差是我国古代数学在测量上的一种应用，《周髀算经》上卷有依据两个测望数据推算太阳“高、远”的方法。因为推算高、远的公式中用着两个差数，所以这种方法称为“重差术”。 [8]重差术在小范围的地面上使用，有很大的实际价值，张衡曾将它用于天体测量。
刘徽在前人工作的基础上，对重差术继续研究，并作了一些总结。他说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，句股则必以重差为率，故曰重差也。”这是说重差术是用于测量那些不可到达的远距离。 [2]他的《重差》一卷九个问题，附在《九章算术》之末。到唐代图6人们又把它拿出来(改为单行本)，以第一问测海岛高远而称为《海岛算经》。[2]
现以第一题“望海岛”为例，介绍刘徽的重差术。如图6“今有望海岛(AB)。立两表(FD，GM)齐高三丈，前后相去(GF)千步，令后表与前表参相直。从前表(GM)却行(NG)一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合。从后表(FD)却行(EF)一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合。问岛高(AB)及去表(AG)各几何?”
“术曰：以表高(GM)乘表间(GF)为实，相多(EF-NG)为法，除之，所得加表高即得岛高。求前表去岛远近者，以前表却行(NG)乘表间(GF)为实，相多(EF-NG)为法，除之，得岛去表里数。”
即AB=GF·GMEF-NG+GM，AG=NG·GFEF-NG，
式中的GFEF-NG实际上是两个差数之比。[8]
如果把重差术用三角去解，所得结果一致。由此可见，我国的重差术和西方的平面三角起着同样的作用，这也是我国数学的一个特色。[2]
以上仅仅是刘徽众多数学成就的一部分，他的这些数学成就为数学的发展奠定了坚实的理论基础。但金无足赤，人无完人，由于刘徽对一些理论缺乏实际的应用，他也与一些重要理论的研究成果失之交臂。但是，这丝毫不能影响他作为中国古代一位伟大的数学家的不朽地位。
参考文献
[1] 郭书春.关于刘徽的割圆术[J].高等数学研究，2007.1，(118)
[2] 李迪.中国数学史简编[M].沈阳：辽宁人民出版社，1984.5，(90，104，93，107，108，110)
[3] 李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，1999.8，(78，79，85，82，80)
[4] 吴文俊.《九章算术》与刘徽[M].北京：北京师范大学出版社，1982.9，(141，59，70)
[5] 李宇袆.“牟合方盖”研究[J].雁北师范学院学报，2003.10，(108)
[6] 蔡伟、李劲.阿基米德和刘徽求积的“余部分割法”[J]. 天水师范学院学报，2005.4，(3)
[7] 徐品方.数学简明史[M].北京：学苑出版社，1992.4，(50)
[8] 钱克仁.数学史选讲[M].南京：江苏教育出版社，1989.1，(5，6)
收稿日期：2007-11-02
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】刘徽；数学成就；几何；分数；重差术
The Discussion about Liu Hui’s Achievements in Mathematics
Jiang Xian
【Abstract】Liu Hui is one the great mathematician in Chinese history. The achievements got by him have great influence on the mathematical history in China，even in the world. And among the achievements，his impact on geometry，fraction，Chong Cha Theory and so on is specially deep and profound.
【Key words】Liu Hui；Mathematical Achievements；Geometry；Fraction；Chong Cha Theory
【中图分类号】O119
【文献标识码】A
【文章编号】1005-250X(2007)11-0089-04
刘徽是我国数学史上一位伟大的数学家，他在数学方面取得的成就在中国乃至世界数学史上都有深远影响。他对数学的理论研究相当深入，他的数学著作《九章算术注》、《重差》(后人称《海岛算经》)、《九章重差图》(今已失传)等是我国十分宝贵的数学遗产。对现代数学的发展具有重大贡献。
1 几何学方面的成就
刘徽在几何学方面的成就主要包括割圆术、球体积、阳马术等方面。
1.1 割圆术：割圆术是刘徽为《九章算术》方田章圆田术作注时引入的。《九章算术》提出了圆田术：图1半周半径相乘得积步。这就是圆面积公式
其中S，L，r分别是圆面积、周长和半径。[1]
在刘徽之前人们用圆内接正六边形的周长代替圆周长，刘徽指出圆周率“非周三径一之率也。周三者从其六觚之图2环耳”。就是说，周三仅是圆内接正六边形之周长，而不是圆周长。[2]为此，刘徽提出了割圆术。他从圆的内接正六边形出发，将边数逐次加倍(图1)，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积。[3]刘徽指出：“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。”(图2)
“若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。”(图2)
刘徽从圆内接正六边形出发，并取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出了圆周率的精确到小数后二位的近似值π≈3.14，化成分数为15750，这就是有名的“徽率”.刘徽一再声明：“此率尚微少”。[3]
南北朝时期的祖冲之算出了圆周率数值的上下限：
3.1415926<π<3.1415927，
一般认为这个“正数”范围的获得是沿用了刘徽的割圆术。[3]
1.2 关于球体积的研究：刘徽首先指出了《九章算术》中的球体积公式是不正确的，并在《九章算术》“开立圆术”注文中指出了一条推算球体积公式的正确途径。[3]他作球的外切立方体，同时用两个直径等于球径的圆柱从立方体内切贯穿(图3)，这时球就被包含在两圆柱相交的公共部分中，而且与圆柱相切。刘徽只保留两圆柱的公交部分，给它取名为“牟合方盖” (图4)。球和“牟合方盖” 用水平截面去截，其面积之比恒为，[2]利用“出入相补原理”：一个平面图形从一处移置它处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。[4]刘徽得到球和“牟合方盖”的体积比也为π∶4，也就是说，只要求出“牟合方盖”的体积即可得到球的体积。然而，刘徽没有能够直接求出“牟合方盖”的体积。
二百年后，祖冲之父子继续“牟合方盖”的研究，终于得到
V牟=23(2r)3，
并将刘徽的思想上升为理论，提出了祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异”，这里势指高，幂指截面积。 [5]即两个等高立体如果在所有等高处的水平截面积相同，则两个立体的体积相同。
图3图41.3 阳马术：《九章算术》“商功章”阳马术给出阳马的体积公式为其三条直角边乘积的三分之一[3]，即：
V=13Sh，
这里的V，S，h分别为四棱锥的体积、底面面积和高。
为了证明这个公式，刘徽将一个长方体斜剖为两个堑堵，再将堑堵斜分为两个立体，一个为阳马，一个为鳖臑(这里所说的堑堵，是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形，一个侧棱与底面垂直的四棱锥，[6]鳖臑是指各面为直角三角形的四面体(图5)。然后过堑堵长、宽、高的中点作截面，将阳马剖为一个长方体，两个小堑堵和两个小阳马；将鳖臑剖分成两个小堑堵和两个小鳖臑。如此继续分割以至于无穷，便可推知阳马和鳖臑体积之比为 2∶1。 [7]用刘徽的原话是：“阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。” [4]利用“出入相补原理”阳马体积为长方体体积的13，由长方体的体积
V长=Sh
(V长，S，h分别是长方体的体积，底面面积和高)便可得阳马体积。
图52 在分数研究方面的成就[2]
2.1 十进小数：刘徽创造了十进小数(用十进分数形式给出)，这在世界数学史上是一项伟大的成就。刘徽用数名丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽记长度，忽是最小的，刘徽在研究中遇到忽以下的小数，他没有继续命名，而是创造了十进小数。他在《九章算术注》的方田章圆田术注、少广章开方术注和少广章开立圆术注中分别用到了十进小数。
2.2 分数计算：跟刘徽差不多同时期的赵爽首先引用了“齐同”这一术语，但没有形成完整的理论，在应用上也只是零星的。
刘徽出色的完成了齐同术的应用。齐同术——凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。就一组分数而言，要使分母相同，对分子也要做相应的变动。例如对分数ba和dc通分，“凡母互乘子谓之齐”就是把ad和bc定义为“齐”，“群母相乘谓之同”就是把 定义为“同”。
刘徽还提出了当分母很大时利用分母的最小公倍数去求“齐”、“同”的方法即“母除率(最小公倍数)，率乘子为齐”，“率”就是分母的最小公倍数。例如分数ba，dc，fe，其中分母的最小公倍数为m，“母除率”就是ma，mc，me，“率乘子为齐”就是分别以b×ma，d×mc，f×me为新分数的分子，以m为公分母，分数b×mam，d×mcm，f×mem就是“齐同”的结果。
刘徽认为“一乘一除，适足相消，故所分犹存”，即一个分数的分子分母同时用一个非零数相乘(除)，其值不变。刘徽说：“法实俱长，意亦等也”，意思是分子(实)、分母(法)都扩大同一倍数，结果和原来的分数一样；他还第一次对《九章算术》中“方田”章早已提出的化带分数为假分数的实际求法进行了解释：命母入者，须还出之。“母入者”就是指形如mba的带分数，“还出之”就是把它化为ma+ba形的假分数。分数运算只有先做到这一步，然后才能实际加、减、乘、除。
3 在重差术方面的成就
重差是我国古代数学在测量上的一种应用，《周髀算经》上卷有依据两个测望数据推算太阳“高、远”的方法。因为推算高、远的公式中用着两个差数，所以这种方法称为“重差术”。 [8]重差术在小范围的地面上使用，有很大的实际价值，张衡曾将它用于天体测量。
刘徽在前人工作的基础上，对重差术继续研究，并作了一些总结。他说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，句股则必以重差为率，故曰重差也。”这是说重差术是用于测量那些不可到达的远距离。 [2]他的《重差》一卷九个问题，附在《九章算术》之末。到唐代图6人们又把它拿出来(改为单行本)，以第一问测海岛高远而称为《海岛算经》。[2]
现以第一题“望海岛”为例，介绍刘徽的重差术。如图6“今有望海岛(AB)。立两表(FD，GM)齐高三丈，前后相去(GF)千步，令后表与前表参相直。从前表(GM)却行(NG)一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合。从后表(FD)却行(EF)一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合。问岛高(AB)及去表(AG)各几何?”
“术曰：以表高(GM)乘表间(GF)为实，相多(EF-NG)为法，除之，所得加表高即得岛高。求前表去岛远近者，以前表却行(NG)乘表间(GF)为实，相多(EF-NG)为法，除之，得岛去表里数。”
即AB=GF·GMEF-NG+GM，AG=NG·GFEF-NG，
式中的GFEF-NG实际上是两个差数之比。[8]
如果把重差术用三角去解，所得结果一致。由此可见，我国的重差术和西方的平面三角起着同样的作用，这也是我国数学的一个特色。[2]
以上仅仅是刘徽众多数学成就的一部分，他的这些数学成就为数学的发展奠定了坚实的理论基础。但金无足赤，人无完人，由于刘徽对一些理论缺乏实际的应用，他也与一些重要理论的研究成果失之交臂。但是，这丝毫不能影响他作为中国古代一位伟大的数学家的不朽地位。
参考文献
[1] 郭书春.关于刘徽的割圆术[J].高等数学研究，2007.1，(118)
[2] 李迪.中国数学史简编[M].沈阳：辽宁人民出版社，1984.5，(90，104，93，107，108，110)
[3] 李文林.数学史教程[M].北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，1999.8，(78，79，85，82，80)
[4] 吴文俊.《九章算术》与刘徽[M].北京：北京师范大学出版社，1982.9，(141，59，70)
[5] 李宇袆.“牟合方盖”研究[J].雁北师范学院学报，2003.10，(108)
[6] 蔡伟、李劲.阿基米德和刘徽求积的“余部分割法”[J]. 天水师范学院学报，2005.4，(3)
[7] 徐品方.数学简明史[M].北京：学苑出版社，1992.4，(50)
[8] 钱克仁.数学史选讲[M].南京：江苏教育出版社，1989.1，(5，6)
收稿日期：2007-11-02
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”