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【关键词】反思经历;考究思考;分数除法;数学思维
【背景】
杜威说：“我们不是从经历中学习，而是从反思经历中学习。”“让学生在反思经历中学习”是全景式数学教育编织思考力培养课程和实施思考力培养活动的重要方式和路径。笔者在台湾和第七届中国教育创新年会上执教的“分数除法”，就是一节让学生在反思“思考经历”中学习的典型范式。在教学中，笔者期望学生在自主探索、创新多样算法的同时，着重回味、反思每一种新创算法的经历，琢磨“它”到底是怎样一步步想出来的，启迪学生“思维的自我认知”，让学生逐步学会洞察自己和他人的思考机制、思考流程、思考方法、思考规律。长此以往，学生就能养成自觉从反思经历中学习的意识和习惯，养成自觉关注、重视思考机制、思考过程、思考方法、思考规律的意识和习惯，学会思考“思考”、考究“思考”，学会更好地独立思考。同时，在不一样的方法和思考中，看见更多的个性，产生更多的碰撞。而这，也正是让学生的思维趋向多元、趋向完整、趋向深刻、趋向灵活、趋向批判不可或缺的重要磁场与路径。下面，笔者把这节课的教学实录以及相关思考简述如下，敬请大家指正。
【教学过程】
一、奇算暖场
播放用十指直接掰“□□×9”的方法（□□的个位>十位）（详见“全景式数学”微信公众号“张宏伟老师陪你玩数学——数学手指游戏”系列https：//mp.weixin.qq.com/s/xyUP28cOmPbneh JYZPwIMA）。
学生大呼神奇，倍感惊异，原来两位数乘9还可以这样算。
师：很多数学知识都像这样，背后隐藏着很神奇的秘密。
二、原态计算
生（出奇地一致）：简单！
师：把大家都认为很简单的事情做出不一样来，是很不简单、很了不起的事情。你能用5种以上不同的方法计算它吗？
生（非常意外、异口同声）：啊？
师：只要你想尽一切办法去做，大胆尝试，你一定能！
三、另类计算
学生独立尝试，教师巡视，很快采集到了5种不同的算法。
师：少数学生研究出5种新算法后，就停止了尝试和思考。2020年11月7日，我在台湾上这节课时，全班的算法超过了7种！
一些研究出5种算法的学生又开始了新的探索，之后小组交流。
四、考究“思考”
师：我非常激动、非常自豪！你们又创造出了7种算法，加上刚才的1种，一共8种，太了不起了！想不想把这7种新算法都欣赏欣赏？
生：想！
师（一一板书7种方法）：比这些算法更重要的，是你要试着思考“思考”（板书），也就是看透每一种解法人家（自己）是如何一步步思考出来的，嘗试看见每一步触发思考的节点，看见如何链接已有的知识和经验，看见思考的流程、机制和规律，这是学习中最重要的事情。因为我们不是从经历中学习，而是从反思经历中学习（板书）。下面，我们先一起来反思“以童宇成同学为代表的算的经历”，研究他们是如何一步步思考出这种算法的。
生：我猜他是看到分数想到了小数，就想，能不能把分数除法变成小数除法。
师：这种方法是由“分数÷分数”中的谁下手开启思考的？
生：分数。
师：由分数联想到小数，需要搜索、联想学过的哪个知识，才能实现从分数→小数呢？
生：分数和小数互化，用分子除以分母，就变成了小数。
教师相机板书这种算法的思维流程和触发机制：分数→小数→怎么变→子÷母→小数除法。
生：我猜她也是从分数下手，看见分数想到整数，然后想“怎么变成整数，商又不变呢？”，就用被除数和除数同时乘相同的数。
师：真好！0要除外。这是联想学过的哪个知识点来解决的？
生：商不变的性质。
教师让马东篱自己说一遍自己是怎么一步步把这个想法想出来的，并板书：分数→整数→怎么变→利用商不变的性质→整数除法。
学生在讨论中理清了曹同学的思维流程和触发机制：分数→整数→怎么变→利用分数和除法的关系→分数就是整数除以整数→再利用学过的运算定律→整数除法。
引导学生对比：同样是把分数除法变成整数除法，马氏算法和曹氏算法在哪个思考节点上不同，为什么会产生这样的不同？
生1：因为前面做出了结果是32，反过来看除法式子，发现用分子9除以分子3正好等于3，用分母10除以分母5等于2，所以就想用分子除以分子作分子，用分母除以分母作分母。
师：把已知的正确结果放回原题中，去寻找它们的关系和规律，这是一种非常棒的研究方法，叫“执果索因”。还有不同的猜想吗？
生2：我看到分数除以分数想起了分数乘以分数的算法“分子乘分子作分子，分母除以分母作分母”，顺着这个思路，我就想是不是除法就是“分子除以分子作分子，分母除以分母作分母”，我一试，真的行。
师：这种算法与前面三种算法下手的点一样吗？
生：不一样，他们是从“分数”下手，刘雨鑫是从“÷”下手……
教师板书：从除法下手，除法→乘法→乘法算法：子×子作子、母×母作母→除法：子÷子作子、母÷母作母。
生2：我想除法和乘法的意思是相反的，那么它们算的方法也应该是相反的，乘法是分子乘分子，现在分子不去乘分子了，反过来去乘分母作分子;分母也不去乘分母作分母了，反过来去乘分子作分母。
童宇成不住地点头，说自己就是这样想的。
六、验证——从具体到一般、从归纳到演绎
师：我们研究出了11种算法，基本上搞明白了它们是怎样一步步思考出来的，还分析了它们的共同点与联系，到这里可以停止了吗？
生：不能。 师：那下一步要做什么？（生茫然）这道题的确可以用小数计算，可是……
学生先后想到：（1）分数如果不能化成有限小数时，这种方法就不能用了;（2）这种方法不能做所有的分数除法;（3）这些方法都要验证，看看是不是适用于所有的分数除法;（4）“子÷子作子”“母÷母作母”，只有分子、分母都能整除時才能用，而且简便，但是，当分子、分母不能整除时不能用。
师：太棒了！不同的分数除法各有更适合自己的算法。我们要根据具体情况灵活选择更合适的方法来解决。那么，这些方法到底怎么来验证呢？
生：多举一些例子！
师：举例法是人们发现规律常用的方法，但是一些分数除法能用，并不能代表所有的分数除法都能用。想一想，在数学里，什么可以代替、代表所有的数？
生：字母！用字母来证明！
于是，师生一起完成了证明（如图1，a、b、c、d 都不等于0）。
学生从上文所述的8（1）算法、8（3）算法、方程算法中自选其一尝试用字母证明，因篇幅有限，这里仅分享学生对8（1）算法的证明（如图2，a、b、c、d 都不等于0）。
七、第二次整体回顾——觉醒自己的改变
师：和上课之前相比，你的思想认识发生了哪些改变？有了哪些新的感受或感慨？
学生反馈如下：（1）我原来以为分数除以分数只有乘除数的倒数这一种算法，没想到竟然有这么多种算法;（2）我知道了要思考“思考”，知道了怎么一步步去思考;（3）不仅要学别人怎么做题，更要学别人怎么思考……
【课程创生的价值和意义】
本节课教学，除了开篇提到的尝试启迪学生“思维的自我认知”，让他们学会“在反思经历中学习”，学会考究自己和他人如何思考，学会更好地独立思考，巩固、打通、提升分数除法的知识和技能，笔者还试图达成以下几项更重要、更深层的目标：其一，为学生打开更多的窗。让学生看见通常学习中很多“没看见”的东西——看见更多思考、更多方法、更多可能、更多惊奇;看见打通、印证、殊途同归;看见更多联系、更丰富多彩的数学世界，进一步开阔学生的视野，激发他们对数学学习的兴趣、信心和好奇心。其二，高年级要延续归纳能力的培养，更要注重演绎能力的培养（后面的字母证明就是），让学生不仅看见归纳的数学，更看见演绎的数学。其三，抛砖引玉。数学教学实质上是数学思维活动的教学。笔者希望大家在日常教学中能像“分数除法”这节课一样，在教每一项内容、上每一节课甚至做每一道题时，都能明晰：它培养学生数学思考的课程价值到底是什么？它能给学生的思考力带来哪些增量？即它能在丰富思维方法、改善思维方式、启迪“思维的自我认知”等方面提供哪些支撑？为学生的思维成长做出哪些贡献？……努力把数学学习的重心从过度注重数学知识技能的获取，更多地转移、回归、聚焦到数学思考能力的系统培养上，启生心智，开其慧根，使数学知识的教学转变为启迪数学智慧的教育。
【背景】
杜威说：“我们不是从经历中学习，而是从反思经历中学习。”“让学生在反思经历中学习”是全景式数学教育编织思考力培养课程和实施思考力培养活动的重要方式和路径。笔者在台湾和第七届中国教育创新年会上执教的“分数除法”，就是一节让学生在反思“思考经历”中学习的典型范式。在教学中，笔者期望学生在自主探索、创新多样算法的同时，着重回味、反思每一种新创算法的经历，琢磨“它”到底是怎样一步步想出来的，启迪学生“思维的自我认知”，让学生逐步学会洞察自己和他人的思考机制、思考流程、思考方法、思考规律。长此以往，学生就能养成自觉从反思经历中学习的意识和习惯，养成自觉关注、重视思考机制、思考过程、思考方法、思考规律的意识和习惯，学会思考“思考”、考究“思考”，学会更好地独立思考。同时，在不一样的方法和思考中，看见更多的个性，产生更多的碰撞。而这，也正是让学生的思维趋向多元、趋向完整、趋向深刻、趋向灵活、趋向批判不可或缺的重要磁场与路径。下面，笔者把这节课的教学实录以及相关思考简述如下，敬请大家指正。
【教学过程】
一、奇算暖场
播放用十指直接掰“□□×9”的方法（□□的个位>十位）（详见“全景式数学”微信公众号“张宏伟老师陪你玩数学——数学手指游戏”系列https：//mp.weixin.qq.com/s/xyUP28cOmPbneh JYZPwIMA）。
学生大呼神奇，倍感惊异，原来两位数乘9还可以这样算。
师：很多数学知识都像这样，背后隐藏着很神奇的秘密。
二、原态计算
生（出奇地一致）：简单！
师：把大家都认为很简单的事情做出不一样来，是很不简单、很了不起的事情。你能用5种以上不同的方法计算它吗？
生（非常意外、异口同声）：啊？
师：只要你想尽一切办法去做，大胆尝试，你一定能！
三、另类计算
学生独立尝试，教师巡视，很快采集到了5种不同的算法。
师：少数学生研究出5种新算法后，就停止了尝试和思考。2020年11月7日，我在台湾上这节课时，全班的算法超过了7种！
一些研究出5种算法的学生又开始了新的探索，之后小组交流。
四、考究“思考”
师：我非常激动、非常自豪！你们又创造出了7种算法，加上刚才的1种，一共8种，太了不起了！想不想把这7种新算法都欣赏欣赏？
生：想！
师（一一板书7种方法）：比这些算法更重要的，是你要试着思考“思考”（板书），也就是看透每一种解法人家（自己）是如何一步步思考出来的，嘗试看见每一步触发思考的节点，看见如何链接已有的知识和经验，看见思考的流程、机制和规律，这是学习中最重要的事情。因为我们不是从经历中学习，而是从反思经历中学习（板书）。下面，我们先一起来反思“以童宇成同学为代表的算的经历”，研究他们是如何一步步思考出这种算法的。
生：我猜他是看到分数想到了小数，就想，能不能把分数除法变成小数除法。
师：这种方法是由“分数÷分数”中的谁下手开启思考的？
生：分数。
师：由分数联想到小数，需要搜索、联想学过的哪个知识，才能实现从分数→小数呢？
生：分数和小数互化，用分子除以分母，就变成了小数。
教师相机板书这种算法的思维流程和触发机制：分数→小数→怎么变→子÷母→小数除法。
生：我猜她也是从分数下手，看见分数想到整数，然后想“怎么变成整数，商又不变呢？”，就用被除数和除数同时乘相同的数。
师：真好！0要除外。这是联想学过的哪个知识点来解决的？
生：商不变的性质。
教师让马东篱自己说一遍自己是怎么一步步把这个想法想出来的，并板书：分数→整数→怎么变→利用商不变的性质→整数除法。
学生在讨论中理清了曹同学的思维流程和触发机制：分数→整数→怎么变→利用分数和除法的关系→分数就是整数除以整数→再利用学过的运算定律→整数除法。
引导学生对比：同样是把分数除法变成整数除法，马氏算法和曹氏算法在哪个思考节点上不同，为什么会产生这样的不同？
生1：因为前面做出了结果是32，反过来看除法式子，发现用分子9除以分子3正好等于3，用分母10除以分母5等于2，所以就想用分子除以分子作分子，用分母除以分母作分母。
师：把已知的正确结果放回原题中，去寻找它们的关系和规律，这是一种非常棒的研究方法，叫“执果索因”。还有不同的猜想吗？
生2：我看到分数除以分数想起了分数乘以分数的算法“分子乘分子作分子，分母除以分母作分母”，顺着这个思路，我就想是不是除法就是“分子除以分子作分子，分母除以分母作分母”，我一试，真的行。
师：这种算法与前面三种算法下手的点一样吗？
生：不一样，他们是从“分数”下手，刘雨鑫是从“÷”下手……
教师板书：从除法下手，除法→乘法→乘法算法：子×子作子、母×母作母→除法：子÷子作子、母÷母作母。
生2：我想除法和乘法的意思是相反的，那么它们算的方法也应该是相反的，乘法是分子乘分子，现在分子不去乘分子了，反过来去乘分母作分子;分母也不去乘分母作分母了，反过来去乘分子作分母。
童宇成不住地点头，说自己就是这样想的。
六、验证——从具体到一般、从归纳到演绎
师：我们研究出了11种算法，基本上搞明白了它们是怎样一步步思考出来的，还分析了它们的共同点与联系，到这里可以停止了吗？
生：不能。 师：那下一步要做什么？（生茫然）这道题的确可以用小数计算，可是……
学生先后想到：（1）分数如果不能化成有限小数时，这种方法就不能用了;（2）这种方法不能做所有的分数除法;（3）这些方法都要验证，看看是不是适用于所有的分数除法;（4）“子÷子作子”“母÷母作母”，只有分子、分母都能整除時才能用，而且简便，但是，当分子、分母不能整除时不能用。
师：太棒了！不同的分数除法各有更适合自己的算法。我们要根据具体情况灵活选择更合适的方法来解决。那么，这些方法到底怎么来验证呢？
生：多举一些例子！
师：举例法是人们发现规律常用的方法，但是一些分数除法能用，并不能代表所有的分数除法都能用。想一想，在数学里，什么可以代替、代表所有的数？
生：字母！用字母来证明！
于是，师生一起完成了证明（如图1，a、b、c、d 都不等于0）。
学生从上文所述的8（1）算法、8（3）算法、方程算法中自选其一尝试用字母证明，因篇幅有限，这里仅分享学生对8（1）算法的证明（如图2，a、b、c、d 都不等于0）。
七、第二次整体回顾——觉醒自己的改变
师：和上课之前相比，你的思想认识发生了哪些改变？有了哪些新的感受或感慨？
学生反馈如下：（1）我原来以为分数除以分数只有乘除数的倒数这一种算法，没想到竟然有这么多种算法;（2）我知道了要思考“思考”，知道了怎么一步步去思考;（3）不仅要学别人怎么做题，更要学别人怎么思考……
【课程创生的价值和意义】
本节课教学，除了开篇提到的尝试启迪学生“思维的自我认知”，让他们学会“在反思经历中学习”，学会考究自己和他人如何思考，学会更好地独立思考，巩固、打通、提升分数除法的知识和技能，笔者还试图达成以下几项更重要、更深层的目标：其一，为学生打开更多的窗。让学生看见通常学习中很多“没看见”的东西——看见更多思考、更多方法、更多可能、更多惊奇;看见打通、印证、殊途同归;看见更多联系、更丰富多彩的数学世界，进一步开阔学生的视野，激发他们对数学学习的兴趣、信心和好奇心。其二，高年级要延续归纳能力的培养，更要注重演绎能力的培养（后面的字母证明就是），让学生不仅看见归纳的数学，更看见演绎的数学。其三，抛砖引玉。数学教学实质上是数学思维活动的教学。笔者希望大家在日常教学中能像“分数除法”这节课一样，在教每一项内容、上每一节课甚至做每一道题时，都能明晰：它培养学生数学思考的课程价值到底是什么？它能给学生的思考力带来哪些增量？即它能在丰富思维方法、改善思维方式、启迪“思维的自我认知”等方面提供哪些支撑？为学生的思维成长做出哪些贡献？……努力把数学学习的重心从过度注重数学知识技能的获取，更多地转移、回归、聚焦到数学思考能力的系统培养上，启生心智，开其慧根，使数学知识的教学转变为启迪数学智慧的教育。