论文部分内容阅读
【摘 要】 在初中平面几何教学中关注初高中衔接，关键是选准教学落脚点，深刻认识初中知识及其对应的方法、结构在高中学习中的应用价值.具体而言，包括微观层面上具体知识的应用和深化，中观层面上研究套路的普适性和宏观层面上核心问题的一致性.
【关键词】 初高中衔接；核心问题；研究套路；知识联系.
作为一名初中数学教师，不应只盯着中考这点“眼前利益”，而应该站在“立德树人”、关注学生长远发展的高度，深入研读教材，挖掘初中数学在培养学生数学素养方面的价值，充分发挥数学内在的育人功能.笔者在《关注初高衔接 实现专业成长》[1]一文中以理解初中代数内容为例，具体讨论了如何研读教材提升内容理解能力，这主要立足于教师的阅读与思考.教师只有“想清楚”，对教学内容了然于胸，才能在课堂教学中“讲明白”，帮助学生构建完整的知识和方法体系.
然而，要从“想清楚”自然过渡到“讲明白”，教师仍需要按照某个方向明确、逻辑严密的观点来组织教学素材，换言之，教师应在教学实施中选准“落脚点”.本文将以初中平面幾何内容的教学为例，从宏观、中观和微观三个维度，谈谈如何选择教学“落脚点”、关注初高中衔接.1 宏观上把握核心问题
新课程改革后，初中平面几何的内容分散于各个年级的教材中，知识体系显得“支离破碎”，其中所蕴藏的思想和方法体系就不易凸显出来.要想在教学中发挥数学的内在力量，教师就需要以“大观点”来重新审视教材中的知识内容，围绕某个逻辑主线来组织教学内容实施课程教学.
宏观上看，定性平面几何所要研究的主题是“全等形”和“平行性”.在本质上，前者是平面对于任给直线的反射对称性的具体反映，而后者则是三角形的内角和恒等于平角所表达的“平直性”[2].也就是说，“平直性”和“对称性”是几何研究的两大核心问题.当我们梳理初中数学教材中平面几何部分的内容时，不难发现“相交线与平行线”、“全等三角形”、“轴对称”三章即是对这两大核心问题的具体研究.也正是基于平直性与对称性在几何研究中的地位，无论是初中平面几何还是高中的平面解析几何和立体几何都“不厌其烦”地讨论以平直性和对称性为背景的问题，比如“将军饮马”问题这个初中平面几何中“老调”，在高中解析几何中会以各种变式的形式“重弹”.下面的例题就是一道以“将军饮马”问题为背景的高考模拟题.图1
例1 如图1，已知平面上两点P0，1、Q3，6，直线y=x上两动点M、N满足MN=2，要使PM MN NQ最短，则点N的坐标为 .
解 由题意知MN=1，1，作向量Q1Q=MN，则点Q1的坐标为2，5，MQ1=NQ.点P0，1关于直线y=x的对称点P11，0，则PM MN NQ=P1M MQ1 2≥P1Q1 2=26 2，当且仅当P1、M、Q1三点共线时取等号，此时M54，54、N94，94.
除了求对称点、两条直线的交点坐标等知识属于解析几何研究的范畴之外，例1中涉及到的平移、对称等知识都是初中平面几何的研究内容，并且正好涉及几何研究的两大核心问题.
同样地，在空间的种种性质中最为基本而且影响无比深远者，首推对称性和平直性，这是整个定量立体几何的基础所在，也是学生学习立体几何的起点与要点所在[2].在平面几何教学实施中，从宏观上立足于核心问题（平直性、对称性）把握数学研究的逻辑主线，可以避免纠缠于“细枝末节”，帮助学生掌握问题的核心，从而提高数学教学的效率.同时，对几何核心问题的把握，也有利于学生在高中学习解析几何和立体几何，最终将平面几何、平面解析几何和立体几何整合成逻辑连贯、内容一致的知识体系，感悟几何学在观察现实世界、思考现实世界和表达现实世界中的所体现出的思想方法与价值.
当然，对平直性和对称性的认识，在不同学段具有不同的方法层次.比如对于圆的轴对称性质的研究，小学生可以依据“圆沿着直径所在的直线折叠能够重合”，在直观感知的基础上判断圆是轴对称图形；在初中阶段，可以通过垂径定理来严格证明圆的轴对称性；到了高中平面解析几何，则可以从方程的角度（代数上）来可以证明圆的轴对称性.2 中观上掌握研究套路
课程改革教材精简后的平面几何，主要学习三角形、四边形、圆等基本图形，其中，三角形和圆是两个最重要的研究对象.关注初高中衔接的平面几何教学，可以在中观层面上引导学生以数学概念的发生发展过程为载体，经历完整的数学思考过程，从而掌握研究一个新的数学对象的“基本套路”，具体包括：明确研究的问题，获得研究的对象，确定研究的内容，选取研究的方法，建构研究的过程，获得研究结论等等[3].
比如“三角形”的知识分散于教材“三角形”、“全等三角形”、“轴对称”、“勾股定理”、“相似”等章节中，在起始课中教师可以帮助学生构建三角形研究的整体框架：
（1）获得研究对象：定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形分类.
（2）研究基本性质：得到“两边之和大于第三边”，“内角和等于180°”，“大角对大边”等，即研究三角形的要素之间的关系.
（3）研究相关性质：诸如“外角等于不相邻两内角之和”，“三条中线（高、角平分线）交于一点”等，即研究高、中线、角平分线、外角等相关要素及其关系.
（4）研究特殊三角形：等腰三角形、直角三角形的性质与判定.
（5）研究两个三角形的关系：三角形的全等、相似.
在初中三年的教学中始终围绕这个“基本套路”来研究和思考三角形的问题，并将相应的研究方法和研究思路类比推广到其他研究对象中去，必能帮助学生对研究数学对象形成完整的认识.
这种按“背景——定义、表示——划分（以要素为标准）——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系（应用）”的路径，从定性（相等、不等、对称性等）到定量（面积、勾股定理、相似、解三角形等）的研究套路，体现了系统思维方式的结构性，因而在数学研究中具有普适性.在高中数学各章节模块的教学中，上述研究数学对象的基本套路依然适用.比如，在高中平面解析几何中研究“双曲线的性质”，可以按照下面的思路展开： （1）研究基本性质：对称性、范围、顶点等；
（2）研究相关性质：渐近线、焦半径、焦点三角形等；
（3）研究特殊双曲线（系）：等轴双曲线、共轭双曲线、共渐近线的双曲线系等；
（4）研究双曲线与直线的位置关系.
虽然在面对具体对象时，研究的过程略有不同，但研究的方法和思路是大致相同的，掌握了研究数学对象的基本套路，就能对零散的数学内容形成完整的结构性认识，做到“心中有数”“成竹在胸”.在初中平面几何教学中，引导学生掌握“研究套路”，是关注初高中衔接的最有效的手段，是教学实施的最佳落脚点.3 微观上理解知识联系
从初中数学到高中数学，在知识内容上有承继、在思想方法上有连续、在思维方式上有跳跃[1].关注初高中衔接，在微观层面上理解初高中知识的内在联系，既要熟悉初中知识在高中的应用点，又要理解高中知识相对于初中的深化处.
初中平面几何知识在高中的应用点很多，比如，在平面解析几何中，运用一些图形的平面几何性质可以避免复杂的运算，常用的平面几何性质有：三角形的内角平分线定理、直径所对的圆周角为直角等.利用平面几何中的第五公设（平行公设），其实可以证明立体几何中的公理4（平行公理）[4].
关于高中知识相对于初中的深化之处，主要体现在两个方面.一方面，对于某些研究对象，高中会借用新的研究方法更有效地发现结论、解决问题.圆是初中平面几何和高中解析几何都有的知识内容，初中运用的是综合方法（几何），高中运用的是解析方法（代数），前者技巧性强、后者普适性强.比如，阿波罗尼斯圆的研究涉及较强的技巧，初中平面几何一般不研究，但利用代数方法可以很方便地加以研究，因此是高中平面解析几何研究的热点问题.另一方面，对于某些研究对象，初高中两个阶段在表现形式上有较大差异，而本质上却是相通的.比如，初中平面几何研究了圆的对称性（轴对称、中心对称等），而高中三角函数则通过三角恒等式来体现圆的对称性：诱导公式、和差化积公式等反映的是圆的反射对称性，和（差）角公式则反映了圆的旋转对称性[2].
在几何教学的初高中衔接上，需要特别强调的是尺规作图.尺规作图在描述“运动”、直观“操作”、问题证明等方面具有不可替代的价值[5]，著名数学家波利亚在其名著《数学的发现》开篇章节就介绍尺规作图，这也从一个侧面说明了尺规作图的重要性.高中阶段，在解斜三角形（判断解的个数）、求轨迹方程、研究圆锥曲线的性质等方面，尺规作图都有重要的应用.下面的例2是一道高考（上海卷）试题.
例2 （1）求椭圆x24 y2=1中斜率为k（常数）的平行弦的中点的轨迹；
（2）用尺规作图方法找出给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.
解 （1）设平行弦AB所在直線的方程为y=kx b，Ax1，y1，Bx2，y2，联立方程y=kx b，x2 4y2=4，得
1 4k2x2 8kbx 4b2-1=0
，Δ=64k2b2-161 4k2b2-1>01 4k2>b2，x1 x2=-8kb1 4k2.
设AB中点Mx，y，则有
x=x1 x22=-4kb1 4k2，y=kx b=b1 4k2.x 4ky=0.图2
轨迹是直线x 4ky=0在椭圆内的部分，即椭圆平行弦的中点轨迹为一条过原点的线段.
（2）如图2，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心.
在初中平面几何教学中关注初高中衔接，并不需要补充高中知识、超前学习，更不是要用初中知识来解高考题，而是要深刻认识初中知识及其对应的方法、结构在高中学习中的应用价值.这里说的应用价值，既包括微观层面上具体知识的应用和深化，也包括中观层面上研究套路的普适性和宏观层面上核心问题的一致性.将初中知识置于整个数学知识结构体系之中，“居高临下”地思考初中教学内容在整个数学教育教学中的地位和价值，选准教学落脚点，充分挖掘和发挥初中数学的内在价值和育人功能，是实现初高中衔接的有效策略.
参考文献
[1]任念兵，徐颖.关注初高衔接 实现专业成长[J].中学数学杂志，2018（4）：8-11
[2]项武义.基础几何学[M].北京：人民教育出版社，2004，9：15，83-86，101
[3]章建跃.发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（2）：1-6，10
[4]任念兵.刍议数学教材编写中的“混而不错”[J].中学数学杂志，2015（11）：14-16
[5]乐嗣康，崔雪芳，张奠宙.尺规作图教学的现代意义[J].中学数学月刊，2005（12）：7-9
作者简介 任念兵（1981—），男，中学高级教师，浦东新区骨干教师，主要研究课堂教学设计，曾获第六届全国高中数学青年教师教学评优一等奖，在《中学数学杂志》等刊物上发表文章80余篇.
【关键词】 初高中衔接；核心问题；研究套路；知识联系.
作为一名初中数学教师，不应只盯着中考这点“眼前利益”，而应该站在“立德树人”、关注学生长远发展的高度，深入研读教材，挖掘初中数学在培养学生数学素养方面的价值，充分发挥数学内在的育人功能.笔者在《关注初高衔接 实现专业成长》[1]一文中以理解初中代数内容为例，具体讨论了如何研读教材提升内容理解能力，这主要立足于教师的阅读与思考.教师只有“想清楚”，对教学内容了然于胸，才能在课堂教学中“讲明白”，帮助学生构建完整的知识和方法体系.
然而，要从“想清楚”自然过渡到“讲明白”，教师仍需要按照某个方向明确、逻辑严密的观点来组织教学素材，换言之，教师应在教学实施中选准“落脚点”.本文将以初中平面幾何内容的教学为例，从宏观、中观和微观三个维度，谈谈如何选择教学“落脚点”、关注初高中衔接.1 宏观上把握核心问题
新课程改革后，初中平面几何的内容分散于各个年级的教材中，知识体系显得“支离破碎”，其中所蕴藏的思想和方法体系就不易凸显出来.要想在教学中发挥数学的内在力量，教师就需要以“大观点”来重新审视教材中的知识内容，围绕某个逻辑主线来组织教学内容实施课程教学.
宏观上看，定性平面几何所要研究的主题是“全等形”和“平行性”.在本质上，前者是平面对于任给直线的反射对称性的具体反映，而后者则是三角形的内角和恒等于平角所表达的“平直性”[2].也就是说，“平直性”和“对称性”是几何研究的两大核心问题.当我们梳理初中数学教材中平面几何部分的内容时，不难发现“相交线与平行线”、“全等三角形”、“轴对称”三章即是对这两大核心问题的具体研究.也正是基于平直性与对称性在几何研究中的地位，无论是初中平面几何还是高中的平面解析几何和立体几何都“不厌其烦”地讨论以平直性和对称性为背景的问题，比如“将军饮马”问题这个初中平面几何中“老调”，在高中解析几何中会以各种变式的形式“重弹”.下面的例题就是一道以“将军饮马”问题为背景的高考模拟题.图1
例1 如图1，已知平面上两点P0，1、Q3，6，直线y=x上两动点M、N满足MN=2，要使PM MN NQ最短，则点N的坐标为 .
解 由题意知MN=1，1，作向量Q1Q=MN，则点Q1的坐标为2，5，MQ1=NQ.点P0，1关于直线y=x的对称点P11，0，则PM MN NQ=P1M MQ1 2≥P1Q1 2=26 2，当且仅当P1、M、Q1三点共线时取等号，此时M54，54、N94，94.
除了求对称点、两条直线的交点坐标等知识属于解析几何研究的范畴之外，例1中涉及到的平移、对称等知识都是初中平面几何的研究内容，并且正好涉及几何研究的两大核心问题.
同样地，在空间的种种性质中最为基本而且影响无比深远者，首推对称性和平直性，这是整个定量立体几何的基础所在，也是学生学习立体几何的起点与要点所在[2].在平面几何教学实施中，从宏观上立足于核心问题（平直性、对称性）把握数学研究的逻辑主线，可以避免纠缠于“细枝末节”，帮助学生掌握问题的核心，从而提高数学教学的效率.同时，对几何核心问题的把握，也有利于学生在高中学习解析几何和立体几何，最终将平面几何、平面解析几何和立体几何整合成逻辑连贯、内容一致的知识体系，感悟几何学在观察现实世界、思考现实世界和表达现实世界中的所体现出的思想方法与价值.
当然，对平直性和对称性的认识，在不同学段具有不同的方法层次.比如对于圆的轴对称性质的研究，小学生可以依据“圆沿着直径所在的直线折叠能够重合”，在直观感知的基础上判断圆是轴对称图形；在初中阶段，可以通过垂径定理来严格证明圆的轴对称性；到了高中平面解析几何，则可以从方程的角度（代数上）来可以证明圆的轴对称性.2 中观上掌握研究套路
课程改革教材精简后的平面几何，主要学习三角形、四边形、圆等基本图形，其中，三角形和圆是两个最重要的研究对象.关注初高中衔接的平面几何教学，可以在中观层面上引导学生以数学概念的发生发展过程为载体，经历完整的数学思考过程，从而掌握研究一个新的数学对象的“基本套路”，具体包括：明确研究的问题，获得研究的对象，确定研究的内容，选取研究的方法，建构研究的过程，获得研究结论等等[3].
比如“三角形”的知识分散于教材“三角形”、“全等三角形”、“轴对称”、“勾股定理”、“相似”等章节中，在起始课中教师可以帮助学生构建三角形研究的整体框架：
（1）获得研究对象：定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形分类.
（2）研究基本性质：得到“两边之和大于第三边”，“内角和等于180°”，“大角对大边”等，即研究三角形的要素之间的关系.
（3）研究相关性质：诸如“外角等于不相邻两内角之和”，“三条中线（高、角平分线）交于一点”等，即研究高、中线、角平分线、外角等相关要素及其关系.
（4）研究特殊三角形：等腰三角形、直角三角形的性质与判定.
（5）研究两个三角形的关系：三角形的全等、相似.
在初中三年的教学中始终围绕这个“基本套路”来研究和思考三角形的问题，并将相应的研究方法和研究思路类比推广到其他研究对象中去，必能帮助学生对研究数学对象形成完整的认识.
这种按“背景——定义、表示——划分（以要素为标准）——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系（应用）”的路径，从定性（相等、不等、对称性等）到定量（面积、勾股定理、相似、解三角形等）的研究套路，体现了系统思维方式的结构性，因而在数学研究中具有普适性.在高中数学各章节模块的教学中，上述研究数学对象的基本套路依然适用.比如，在高中平面解析几何中研究“双曲线的性质”，可以按照下面的思路展开： （1）研究基本性质：对称性、范围、顶点等；
（2）研究相关性质：渐近线、焦半径、焦点三角形等；
（3）研究特殊双曲线（系）：等轴双曲线、共轭双曲线、共渐近线的双曲线系等；
（4）研究双曲线与直线的位置关系.
虽然在面对具体对象时，研究的过程略有不同，但研究的方法和思路是大致相同的，掌握了研究数学对象的基本套路，就能对零散的数学内容形成完整的结构性认识，做到“心中有数”“成竹在胸”.在初中平面几何教学中，引导学生掌握“研究套路”，是关注初高中衔接的最有效的手段，是教学实施的最佳落脚点.3 微观上理解知识联系
从初中数学到高中数学，在知识内容上有承继、在思想方法上有连续、在思维方式上有跳跃[1].关注初高中衔接，在微观层面上理解初高中知识的内在联系，既要熟悉初中知识在高中的应用点，又要理解高中知识相对于初中的深化处.
初中平面几何知识在高中的应用点很多，比如，在平面解析几何中，运用一些图形的平面几何性质可以避免复杂的运算，常用的平面几何性质有：三角形的内角平分线定理、直径所对的圆周角为直角等.利用平面几何中的第五公设（平行公设），其实可以证明立体几何中的公理4（平行公理）[4].
关于高中知识相对于初中的深化之处，主要体现在两个方面.一方面，对于某些研究对象，高中会借用新的研究方法更有效地发现结论、解决问题.圆是初中平面几何和高中解析几何都有的知识内容，初中运用的是综合方法（几何），高中运用的是解析方法（代数），前者技巧性强、后者普适性强.比如，阿波罗尼斯圆的研究涉及较强的技巧，初中平面几何一般不研究，但利用代数方法可以很方便地加以研究，因此是高中平面解析几何研究的热点问题.另一方面，对于某些研究对象，初高中两个阶段在表现形式上有较大差异，而本质上却是相通的.比如，初中平面几何研究了圆的对称性（轴对称、中心对称等），而高中三角函数则通过三角恒等式来体现圆的对称性：诱导公式、和差化积公式等反映的是圆的反射对称性，和（差）角公式则反映了圆的旋转对称性[2].
在几何教学的初高中衔接上，需要特别强调的是尺规作图.尺规作图在描述“运动”、直观“操作”、问题证明等方面具有不可替代的价值[5]，著名数学家波利亚在其名著《数学的发现》开篇章节就介绍尺规作图，这也从一个侧面说明了尺规作图的重要性.高中阶段，在解斜三角形（判断解的个数）、求轨迹方程、研究圆锥曲线的性质等方面，尺规作图都有重要的应用.下面的例2是一道高考（上海卷）试题.
例2 （1）求椭圆x24 y2=1中斜率为k（常数）的平行弦的中点的轨迹；
（2）用尺规作图方法找出给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.
解 （1）设平行弦AB所在直線的方程为y=kx b，Ax1，y1，Bx2，y2，联立方程y=kx b，x2 4y2=4，得
1 4k2x2 8kbx 4b2-1=0
，Δ=64k2b2-161 4k2b2-1>01 4k2>b2，x1 x2=-8kb1 4k2.
设AB中点Mx，y，则有
x=x1 x22=-4kb1 4k2，y=kx b=b1 4k2.x 4ky=0.图2
轨迹是直线x 4ky=0在椭圆内的部分，即椭圆平行弦的中点轨迹为一条过原点的线段.
（2）如图2，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心.
在初中平面几何教学中关注初高中衔接，并不需要补充高中知识、超前学习，更不是要用初中知识来解高考题，而是要深刻认识初中知识及其对应的方法、结构在高中学习中的应用价值.这里说的应用价值，既包括微观层面上具体知识的应用和深化，也包括中观层面上研究套路的普适性和宏观层面上核心问题的一致性.将初中知识置于整个数学知识结构体系之中，“居高临下”地思考初中教学内容在整个数学教育教学中的地位和价值，选准教学落脚点，充分挖掘和发挥初中数学的内在价值和育人功能，是实现初高中衔接的有效策略.
参考文献
[1]任念兵，徐颖.关注初高衔接 实现专业成长[J].中学数学杂志，2018（4）：8-11
[2]项武义.基础几何学[M].北京：人民教育出版社，2004，9：15，83-86，101
[3]章建跃.发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（2）：1-6，10
[4]任念兵.刍议数学教材编写中的“混而不错”[J].中学数学杂志，2015（11）：14-16
[5]乐嗣康，崔雪芳，张奠宙.尺规作图教学的现代意义[J].中学数学月刊，2005（12）：7-9
作者简介 任念兵（1981—），男，中学高级教师，浦东新区骨干教师，主要研究课堂教学设计，曾获第六届全国高中数学青年教师教学评优一等奖，在《中学数学杂志》等刊物上发表文章80余篇.