二次曲线焦点的分布

来源 :数学学习与研究 | 被引量 : 0次 | 上传用户:piaoyisuifengpiao001
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  将一个非退化的二次曲线的焦点数统一为4个——除圆的四个焦点收缩为中心一点外,其他情况均不重合,也不消失,它们两实两虚,可在有穷远,也可在无穷远.理由如下:
  1.在添加无穷远元素的拓广欧式平面上,实焦点位于实轴(椭圆的长轴,抛物线的对称轴)上,虚焦点位于虚轴(椭圆的短轴,抛物线无穷远直线)上.在实轴上取坐标原点为各曲线的共用顶点之一,共用实轴为x轴,顶点切线为y轴,则各曲线可有统一方程:
  (1-e2)x2 y2-2px=0
  (p:共同的焦参数,e:离心率,还有半实轴a=p|1-e2|,半虚轴b=p|1-e2|,离心率c=ep|1-e2|均为可变参数.)
  因抛物线的实焦点“介于”流动的椭圆、双曲线焦点之间,当其中各一(坐标:(±(a c),0,1))趋于无穷远时,抛物线的实焦点之一的坐标就是(1,0,0).(a,c均趋于无穷大.)又因无穷远直线“介于”流动的椭圆短轴、双曲线的虚轴之间,当它们的虚焦点(坐标:(a,±ic,1))随虚轴趋于无穷远时,无穷远直线上抛物线的虚焦点坐标就是(1,±i,0).(a,c均趋于无穷)
  2.下面三图分别是椭圆、抛物线、双曲线的焦点F,F′(实),G,G′(虚)生成图:(I,J是圆环点)
  比较三图,可以看出当无穷远直线(IJ)从与曲线相离(图1)变为相交(图3),中间经过相切(图2)时,直线(IJ)与(GG′)交换位置.因此,I和G(在切线IF上)、J和G′(在切线JF上)、C∞与C(在对称轴FF′上)亦经过重合而交换位置.所以,F,F′,G,G′四个焦点中的任一均未消失——在抛物线的无穷远直线上有三个焦点:C∞(实)、I、J(虚).
  3.设二次曲线的线式方程为
  S≡∑i,jbijuiuj=0(i,j=1,2,3,bij=bji,|S|=|bij|≠0),
  圆环点I,J的方程是:S′≡u21 u22=0.
  则|S λS′|=0表示曲线束:S λS′=0,(1)
  退化成由四焦点为两组对顶的四线形.
  当b33=0(抛物线),方程:
  |S λS′|=b11 λb12b13b21b22 λb23b31b320=0,(2)
  有解:λ1=∞,λ2=|bij|b213 b223.
  代入(1),分别得到
  u21 u22=0,(3)
  (b22u2 b22u2){[2b22b22 (b22-b22)b22]u2 [2b22b22-(b22-b22)b22]u2 2(b222 b222)u2}=0.(4)
  由(3)解得:G,G′=I,J.
  由(4)解得:F′=C∞和F(圖2).
  【参考文献】
  [1]梅向明,刘增贤,王汇淳,王智秋.高等几何:第2版[M].北京:高等教育出版社,2010:155-157.
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