数列是高中数学的重要内容，高考中具有重要的地位.在考试说明（江苏）中属于“C”级要求，是八大重要考点之一，主要考查数列的概念、公式、性质及其综合应用.透视历届学生的易错题，往往因为初学时其中的公式、概念、方法理解不透彻，进而导致出错.在后续学习和考试中，怎样才能避免重蹈覆辙呢？笔者结合自己的理解，拟以如何准确把握常见易错题的视角，将部分易错题进行分类，剖析错误、给出正解、并指出应对的方略.
　　一、记清公式
　　虽然教材上数列的基本公式较少，但其变式的灵活性、数列的抽象性和限制条件的多样性很容易导致解答时出现错误.
　　易错点1“前几项”出错
　　例1已知数列{an}的前n项的和为Sn，若Sn=2n2 3n-1，求an.
　　错误解答：∵Sn=2n2 3n-1，∴Sn-1=2（n-1）2 3（n-1）-1=2n2-n-2，
　　∴an=Sn-Sn-1=4n 1.
　　错因分析：此解法直接利用“Sn-Sn-1”求“an”，忽略了由“Sn”求“Sn-1”时，“n”要满足“n≥2”这个条件，忽视了a1的特殊性.
　　正确解答：1° 当n=1时，a1=S1=4；
　　2° 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n 1.
　　综上所述，an=4n=14n 1n≥2.
　　准确把握：记清公式an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，只有当“n=1”的结果能并入“n≥2”的式子，才能合成一个式子，否则必须写成分段函数的形式.
　　易错点2“等比数列求和”出错
　　例2在等差数列中{an}中，a1=1，前n的和Sn满足S2nSn=4n 2n 1，n∈N*.
　　（1）求数列{an}的通项公式.
　　（2）记bn=（2an 1）pan（p>0），求{bn}的前n项和Tn.
　　错误解答：（1）设数列{an}的公差为d，
　　∴S2nSn=2n 2n（2n-1）2dn n（n-1）2d=4dn-2d 4dn 2-d，
　　∵S2nSn=4n 2n 1，∴4dn-2d 4dn 2-d=4n 2n 1，易得d=1，∴an=n.
　　（2）∵an=n，∴bn=（2n 1）pn，∴Tn=3p 5p2 … （2n-1）pn-1 （2n 1）pn，
　　∴pTn=3p2 5p3 … （2n-1）pn （2n 1）pn 1，∴（1-p）Tn=3p 2（p2 … pn）-（2n 1）pn 1①
　　=3p 2p2（1-pn）1-p-（2n 1）pn 1，
　　∴Tn=3p1-p 2p2（1-pn）（1-p）2-（2n 1）pn 11-p②
　　错因分析：对于问题（2）采用“错位相减法”求和，①式中的“p2 … pn”是一个等比数列的和，其项数为“n-1”，错为“n”项.且由于“p>0”，求和时还必须讨论“p=1”和“p≠1”.
　　正确解答：（上同）1° 当p=1时，bn=2n 1，∴Tn=n2 2n.
　　2° 当p≠1时，∴（1-p）Tn=3p 2（p2 … pn）-（2n 1）pn 1
　　=3p 2p2-pn 11-p-（2n 1）pn 1
　　=3p-p21-p-（21-p 2n 1）pn 1，
　　∴Tn=3p-p2（1-p）2-2（1-p）n 3-p（1-p）2pn 1.
　　准确把握1：等比数列的求和公式：
　　Sn=na1q=1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-qq≠1
　　首先，运用公式时，要讨论“公比q”是否为“1”；其次，当q≠1时，若项数不能确定，可以采用公式Sn=a1-anq1-q.
　　准确把握2：“归纳”是一种重要的合情推理，而在数列中问题的条件大多是一些对n∈N*均成立的等式，我们可以从特殊的前几项入手进行归纳推理，或研究其相邻的式子.例如，本题中的第（1）问，由于已经知道是等差数列，所以可以采用“特殊化”的想法，求出“d”即可.具体做法如下：
　　∵S2nSn=4n 2n 1，n∈N*，∴S2S1=4 21 1=3，∴S2=3S1=3a1=3，
　　∴a2=S2-S1=2，∴an=n.
　　将“n∈N*均成立的等式”采用特殊化法，明显简单多了，直接影响着问题解决的速度.
　　二、厘清概念
　　易错点3“等差（比）数列”的概念
　　无论是等差数列还是等比数列，其概念无疑是最重要的.例如，等差数列的定义是“从第二项开始，后项与前项的差是同一个常数”，如果将“an”看成后项，则“an-1”是前项，等差数列的概念就可以用数学符号简洁地表达：“an-an-1=d”，但必须加上条件“n≥2”这样才能体现“从第二项开始”.
　　例3{an}，{bn}都是等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=2n-13n 2，则a9b9=.
　　错误解答：∵SnTn=2n-13n 2，不妨设：Sn=2n-1，Tn=3n 2，
　　∴a9=S9-S8=2；b9=T9-T8=3，∴a9b9=23.
　　错因分析：由“SnTn=2n-13n 2”，不可以设“Sn=2n-1，Tn=3n 2”，因为如果Sn=2n-1，其通项为an=1n=12n≥2，不是等差数列.
　　正确解答：∵SnTn=2n-13n 2，不妨设：Sn=2n2-n，Tn=3n2 2n.
　　∴a9=S9-S8=33；b9=T9-T8=53，∴a9b9=3353.
　　准确把握1：数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点，应用函数知识解决问题.特别地，等差数列的前n项和Sn=a1n n（n-1）2d=d2n2 （a1-12d）n，它是关于n的没有常数项的二次函数形式.反之，前n项和公式满足形如Sn=An2 Bn所对应的数列也必然是等差数列.等比数列中也有类似的结论：当前n项和公式Sn=A Bqn（A≠0，B≠0，q≠0、1），如果“A B=0”则所对应的数列也必然是等比数列. 　　例如：等差数列{an}的前n项和Sn=（n-1）（n-2）（n2 10）n2 m p，则m p=.
　　略解：根据数列前n项和的特征，易知m=10，p=-2.
　　准确把握2：本题还可以运用“等差数列”的性质：“若m n=p q=2t，则am an=ap aq=2at”.本题还可以这样解：a9b9=a1 a17b1 b17=（a1 a17）×17（b1 b17）×17=S17T17=3353.
　　当然，如果本题所求的变式为：“a9b7=”，“用性质”不可求解，而上一种构造数列的解法仍然可用.
　　易错点4“递增（减）数列”的概念
　　例4已知an=n2-3kn 4，若数列{an}是单调递增数列，则k的取值范围是.
　　错误解答：∵an=n2-3kn 4是递增数列，∴y=x2-3kx 4，在x≥1上是增函数，因为，对称轴为x=3k2，所以，∴3k2≤1，得，k≤23.
　　错因分析：函数y=x2-3kx 4，x≥1上是增函数数列an=n2-3kn 4一定是增数列，但是，“数列an=n2-3kn 4一定是增数列”a1　　正确解答：∵an=n2-3kn 4是递增数列，∴an　　（n 1）2-3k（n 1） 4>n2-3kn 4，n≥1，n∈N恒成立3k<2n 1，n≥1，n∈N恒成立3k<（2n 1）min（n≥1）k<1.
　　准确把握：处理数列问题，首先要“厘清”问题中的概念，我们初学时如果只记住概念的大概，后续学习时往往会在一些细微处犯错，“一失全无”，所以我们要在对易错题的反思中，准确地把握概念.对于本题，由于数列是一个定义域为正整数集的特殊函数，作为“函数”的数列，其图象是“一组离散的点”，数列所对应的函数若单调则数列一定单调，但数列单调，其所在的函数不一定单调，处理数列的单调性问题，宜用“数列单调性的定义”转化为“不等式恒成立问题”.数列的性质与函数的性质有共性也有个性.再如：数列的最大（小）项问题.
　　变式：已知an=n 7n，则{an}的最小项的值为.
　　如果把数列错当成连续的函数，易错得答案“27”.事实上，这里的“n”取不到“7”，但其最小项却与“7”有关，结合图象可知，是其附近的横坐标为整数的点，∵a2=112>a3=163，所以最小项为a3=163.
　　数列中常见的易错题还有很多，由于篇幅的限制，本文仅给出了一些最常见问题的处理方法，虽然无法穷尽其类型，但我们如果准确把握直面易错题的方略：记清公式、厘清概念、分清方法，学习的效果将会事半功倍！
　　（作者：陆贤彬，江苏省靖江高级中学）