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内容摘要:根据农村初中学生的具体情况,把“想”的空间留给学生,把“问”的权力还给学生,把“做”的过程交给学生,运用正确的方法思路培养农村学生的数学问题意识迫在眉睫。引导学生利用三角形相似全等证明了《中学数学》2007年第3期上论文《问题链中的意外插曲》中的“命题7”。通过对找寻答案过程的精彩描述,生动形象地说明了解题方法思路的重要性,展现问题意识、情感意志在问题探索中的巨大作用。
关键词:方法思路问题解答
正文:随着课堂改革不断深入,“学生是课堂的主人” ,确保课堂上没有学生是“局外人”,没有学生被“边缘化”等教学理念,已成为大家的共识。但在具体教学中,在普及九年义务教育的农村初中数学课堂上,教师还是较多地考虑如何使课前预设的不同程度的教学目标一一达成,如何让学生学会知识,掌握技能,如何教会学生既快又省地解决问题,很少涉及学生如何学,尤其很少涉及让学生带着“问题”想法去解决问题。因此我们的学生越来越不会提问,也越来越不会深入思考。多数学生在长期的被动接受中渐渐丧失了学习数学的激情和主见,逐步被“局外”和“边缘”。面对这样的现状,我认为要使学生积极主动地参与到数学学习中来,教师应了解学生的知识起点,调动学生的意志情感、让学生采用正确的方法思路主动探索层出不穷的数学问题,逐步学会学习,即“授之以渔”,再“授之以‘问题’渔场”,从而收获“数学知识大鱼”。
以下仅举一例,借以展示笔者在平常的教学中是如何培养学生“大胆提问、巧妙提问、生生互问,带着“问题”想法去解决问题”这一能力的。
“五一”长假,几位“得意门生”到我家来玩。闲谈中,一学生信手翻阅杂志,突然发出惊叹:“这么复杂!初中的还是高中的?”此生话音一落,大家都聚拢在一起,好奇传阅,原来是《中学数学》2007年第3期上论文《问题链中的意外插曲》(以下简称《问题》)中的“命题7”引起的。其“链V” 即“命题7”的内容是:有两边及两边夹角的平分线对应相等的两个三角形全等。
“不会吧?初中生懂得起才怪!”另一学生说道。我灵机一动,何不让弟子们再次联手,攻攻这道难题?我马上发出号召:用初中知识解决“命题7”的证明!一呼百应,客厅顿时变成了临时教室。
开始,学生们的信心有点不足。我鼓励道:“相信你的直觉,不清楚结果的探索才更有意義。”其实,我心里也没有底,一时拿不准该从何入手。
段时间后,每人画的图形中都添加了一大堆的辅助线,有用平行的,有用对称的,有用圆弧的,有用反证法的,五花八门,不一而足,但都无法把条件集中,解题陷入僵局。我也一直在思考解题的方法思路,心中不断嘀咕:常规方法别人肯定都思考过。换一种思路,考虑尺规作图。如果能利用条件(给定两边及两边夹角的平分线)作出三角形,就能从中找到证明的方法。
我心中一阵窃喜,感觉有了一点眉目,有生大胆质疑:关系式(指《问题》中的式子 )那么麻烦,咋作得出来?我回答说:“你不能受它的干扰,它用的是计算的方法。”
“从哪里下手?”
“注意公式推导中用到了三角形角平分线定理。能不能用比例线段作出第三边?第三边的长度肯定是确定的。”
“只用比例没法作。因为两条线段可长可短,只要按比例缩放都行。”
“应该用给定的角平分线来限制。从两方面入手,看能否唯一确定。”师生们一边勾画着,一边自问自答或互问互答着。解题兴致又提了起来。
一通探索之后,大家纷纷摇头,都感觉无法两者兼顾。看到大家似乎办法用尽仍无从下手,颓丧无获的神态,我示意弟子们暂停,三人一组作个总结。
我提醒道:“文章的作者不是权威,他们花的时间也有限,没有发现证明途径很正常。作者暂时没完成,不能代表我们解决不了。反复审查,把各人想到的有价值的东西集中,看哪些地方被我们忽略了,再把那些比较有用的思路归纳一下”。
“角平分线与中线很相似。这道题肯定要构造三角形,用‘边边边’证全等。”
“对,给的条件是三条线段对应相等,不可能利用角证全等。”
“用中线好构造。用角平分线构造的三角形边长咋计算?”
“作平行线后,有等腰三角形。”
“平行既能得相似,又能得线段成比例。”
弟子们正七嘴八舌地讨论,我脑中灵光一现,连忙叫停,冷静说道:“用平行线构造等腰三角形”,“再用比例线段算边长!”有一学生马上接过话头。
希望出现在每个人的脸上。笔头一阵刷刷之际,一弟子握拳伸臂,冲口而出:“耶!”
欢欣愉悦自不必说。赏析一番之后,命题证明过程的梳理与三角形作图步骤的安排都轻易完成了。一时间,师生们意犹未尽,略抒感叹:利用相似证全等,既在意料之外又在情理之中。
我顺势提出一个假设:假如你们正在冲刺初三,我在课外练习或考试题中设置这个命题的证明,你们会有放弃的念头吗?
几乎是异口同声:“不会!绝对是证得出来才会在这种权威杂志或中考题中出现,即便不能,这种探索也很有价值”
“这正是学习知识的关键所在!”我继续说道:“学习由于确信有结果而变得容易,但也减少了乐趣;多数人对真理的探索由于结果的不确定而半途止步,但坚持者终能感受到无可比拟的快乐,得到意想不到的收获。”
下面将《问题》中 “命题7”的解答过程书写出来,供读者一阅:
已知:如图1,在△ABC和△A1B1C1中,AB=A1B1=c,AC=A1C1=b,AD和A1D1分别平分∠BAC和∠B1A1C1,且AD=A1D1=m。
求证:△ABC≌△A1B1C1
证明:过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E;过点C1作C1E1∥A1B1交A1D1的延长线于点E1。
∴∠BAD=∠E∠B1A1D1=∠E1
又∠BAD=∠CAD ∠B1A1D1=∠C1A1D1
∴∠CAD=∠E ∠C1A1D1=∠E1
∴CA=CE C1A1=C1E1
又AC=A1C1=b
∴CE=C1E1=b
∵CE∥ABC1E1∥A1B1
∴△CDE∽△BDA △C1D1E1∽△B1D1A1
∴= =
又AB=A1B1=c AD=A1D1=m CA=CE=b C1A1=C1E1 =b
∴DE= D1E1=
∴DE=D1E1
∴AE=A1E1
∴△ACE≌△A1C1E1
∴∠CAD=∠C1A1D1
∴∠BAC=∠B1A1C1
∴△ABC≌△A1B1C1证毕。
在平常教学中,象这种例子还有很多。只要教师善于根据每个学生的实际情况并将其作为教学的实际出发点,从提高自身提问的艺术性、启发性、开放性、创造性入手,最大限度地激活学生的思维,让学生逐步形成自己正确独特的解题思路方法,让学生学习数学的能力得到最大限度的发展,数学课堂教学就是一种愉悦的“头脑体验”。
参考文献:
陈浩,李乐利.问题链中的意外插曲.中学数学.2007年第3期:7-8.
关键词:方法思路问题解答
正文:随着课堂改革不断深入,“学生是课堂的主人” ,确保课堂上没有学生是“局外人”,没有学生被“边缘化”等教学理念,已成为大家的共识。但在具体教学中,在普及九年义务教育的农村初中数学课堂上,教师还是较多地考虑如何使课前预设的不同程度的教学目标一一达成,如何让学生学会知识,掌握技能,如何教会学生既快又省地解决问题,很少涉及学生如何学,尤其很少涉及让学生带着“问题”想法去解决问题。因此我们的学生越来越不会提问,也越来越不会深入思考。多数学生在长期的被动接受中渐渐丧失了学习数学的激情和主见,逐步被“局外”和“边缘”。面对这样的现状,我认为要使学生积极主动地参与到数学学习中来,教师应了解学生的知识起点,调动学生的意志情感、让学生采用正确的方法思路主动探索层出不穷的数学问题,逐步学会学习,即“授之以渔”,再“授之以‘问题’渔场”,从而收获“数学知识大鱼”。
以下仅举一例,借以展示笔者在平常的教学中是如何培养学生“大胆提问、巧妙提问、生生互问,带着“问题”想法去解决问题”这一能力的。
“五一”长假,几位“得意门生”到我家来玩。闲谈中,一学生信手翻阅杂志,突然发出惊叹:“这么复杂!初中的还是高中的?”此生话音一落,大家都聚拢在一起,好奇传阅,原来是《中学数学》2007年第3期上论文《问题链中的意外插曲》(以下简称《问题》)中的“命题7”引起的。其“链V” 即“命题7”的内容是:有两边及两边夹角的平分线对应相等的两个三角形全等。
“不会吧?初中生懂得起才怪!”另一学生说道。我灵机一动,何不让弟子们再次联手,攻攻这道难题?我马上发出号召:用初中知识解决“命题7”的证明!一呼百应,客厅顿时变成了临时教室。
开始,学生们的信心有点不足。我鼓励道:“相信你的直觉,不清楚结果的探索才更有意義。”其实,我心里也没有底,一时拿不准该从何入手。
段时间后,每人画的图形中都添加了一大堆的辅助线,有用平行的,有用对称的,有用圆弧的,有用反证法的,五花八门,不一而足,但都无法把条件集中,解题陷入僵局。我也一直在思考解题的方法思路,心中不断嘀咕:常规方法别人肯定都思考过。换一种思路,考虑尺规作图。如果能利用条件(给定两边及两边夹角的平分线)作出三角形,就能从中找到证明的方法。
我心中一阵窃喜,感觉有了一点眉目,有生大胆质疑:关系式(指《问题》中的式子 )那么麻烦,咋作得出来?我回答说:“你不能受它的干扰,它用的是计算的方法。”
“从哪里下手?”
“注意公式推导中用到了三角形角平分线定理。能不能用比例线段作出第三边?第三边的长度肯定是确定的。”
“只用比例没法作。因为两条线段可长可短,只要按比例缩放都行。”
“应该用给定的角平分线来限制。从两方面入手,看能否唯一确定。”师生们一边勾画着,一边自问自答或互问互答着。解题兴致又提了起来。
一通探索之后,大家纷纷摇头,都感觉无法两者兼顾。看到大家似乎办法用尽仍无从下手,颓丧无获的神态,我示意弟子们暂停,三人一组作个总结。
我提醒道:“文章的作者不是权威,他们花的时间也有限,没有发现证明途径很正常。作者暂时没完成,不能代表我们解决不了。反复审查,把各人想到的有价值的东西集中,看哪些地方被我们忽略了,再把那些比较有用的思路归纳一下”。
“角平分线与中线很相似。这道题肯定要构造三角形,用‘边边边’证全等。”
“对,给的条件是三条线段对应相等,不可能利用角证全等。”
“用中线好构造。用角平分线构造的三角形边长咋计算?”
“作平行线后,有等腰三角形。”
“平行既能得相似,又能得线段成比例。”
弟子们正七嘴八舌地讨论,我脑中灵光一现,连忙叫停,冷静说道:“用平行线构造等腰三角形”,“再用比例线段算边长!”有一学生马上接过话头。
希望出现在每个人的脸上。笔头一阵刷刷之际,一弟子握拳伸臂,冲口而出:“耶!”
欢欣愉悦自不必说。赏析一番之后,命题证明过程的梳理与三角形作图步骤的安排都轻易完成了。一时间,师生们意犹未尽,略抒感叹:利用相似证全等,既在意料之外又在情理之中。
我顺势提出一个假设:假如你们正在冲刺初三,我在课外练习或考试题中设置这个命题的证明,你们会有放弃的念头吗?
几乎是异口同声:“不会!绝对是证得出来才会在这种权威杂志或中考题中出现,即便不能,这种探索也很有价值”
“这正是学习知识的关键所在!”我继续说道:“学习由于确信有结果而变得容易,但也减少了乐趣;多数人对真理的探索由于结果的不确定而半途止步,但坚持者终能感受到无可比拟的快乐,得到意想不到的收获。”
下面将《问题》中 “命题7”的解答过程书写出来,供读者一阅:
已知:如图1,在△ABC和△A1B1C1中,AB=A1B1=c,AC=A1C1=b,AD和A1D1分别平分∠BAC和∠B1A1C1,且AD=A1D1=m。
求证:△ABC≌△A1B1C1
证明:过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E;过点C1作C1E1∥A1B1交A1D1的延长线于点E1。
∴∠BAD=∠E∠B1A1D1=∠E1
又∠BAD=∠CAD ∠B1A1D1=∠C1A1D1
∴∠CAD=∠E ∠C1A1D1=∠E1
∴CA=CE C1A1=C1E1
又AC=A1C1=b
∴CE=C1E1=b
∵CE∥ABC1E1∥A1B1
∴△CDE∽△BDA △C1D1E1∽△B1D1A1
∴= =
又AB=A1B1=c AD=A1D1=m CA=CE=b C1A1=C1E1 =b
∴DE= D1E1=
∴DE=D1E1
∴AE=A1E1
∴△ACE≌△A1C1E1
∴∠CAD=∠C1A1D1
∴∠BAC=∠B1A1C1
∴△ABC≌△A1B1C1证毕。
在平常教学中,象这种例子还有很多。只要教师善于根据每个学生的实际情况并将其作为教学的实际出发点,从提高自身提问的艺术性、启发性、开放性、创造性入手,最大限度地激活学生的思维,让学生逐步形成自己正确独特的解题思路方法,让学生学习数学的能力得到最大限度的发展,数学课堂教学就是一种愉悦的“头脑体验”。
参考文献:
陈浩,李乐利.问题链中的意外插曲.中学数学.2007年第3期:7-8.