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【摘要】借用计数器理解算理可以使计算思维可视化，发展形象思维和抽象思维，发展合情推理和演绎推理。但是，教师不能把学生看成是一张白纸，要关注学生的认知基础，重视学生的现实经验。数学新旧知识之间是相互有联系的，让学生经历基于原有的知识经验生成意义、建构理解的过程，体会数学知识是不断生长的，从而自然生长知识。
【关键词】算理 思维可视化 学情 双向建构
在教学中，笔者先后对苏教版数学三年级上册“整十、整百数除以一位数口算”进行了两种不同的教学实践尝试，现记录如下：
[第一次课堂教学实践]
（一） 重温计数器，引入新课
师：（出示计数器）有6颗珠子，全部放在个位表示什么？全部放在十位呢？还可以全部放在哪里？又表示什么？
师：计数器不仅可以帮助我们认数，还是学习计算的好帮手。
（二）用好计数器，理解算理
1.出示情景图
师：如果老师有60支铅笔，平均分给3个小朋友，谁来提一个问题？（平均每人分到多少支？）你会列式计算吗？
2.列式计算
师：60÷3你觉得等于多少？你是怎么想的？
生1：3个20是60，60÷3=20。
生2：20×3=60，60÷3=20，想乘法算除法。
生3：先算6÷3=2， 根据表内除法推想得出60÷3=20。
生4：想象着把铅笔分一分，6捆铅笔平均分成3份，每份2捆，也就是20支。
3.研究算理
师：大部分同学喜欢先算6÷3，然后推想60÷3=20。计算背后的道理是什么？你是怎么想的？同桌交流。
（指名学生回答，边指计数器边指出：6个十平均分成3份，每份2个十，2个十就是20）
[第二次课堂实践]
（一）复习引入，伏笔建构
计算挑战赛
师：计算时，你联想到了哪一句乘法口诀？
（二）自主探索，研究算理
师：6÷3=2，为什么可推想出60÷3=20呢？计算背后的道理是什么？请以小组为单位进行研究。可以借助计数器、小棒、铅笔等学习工具，也可以用画图、实物展示等方法来说明你计算的道理。然后进行集体交流。
（三）迁移比较，建构知识
1.提问
600÷3=200，你是怎么想的？
2.比较
6÷3=2 ，60÷3=20，600÷3=200。
师：请大家仔细观察6÷3=2 ，60÷3=20，600÷3=200，计算时，有什么异同点？
3.形象比喻，知识建构
数学知识是不断生长的，6÷3=2 就像一颗种子，60÷3、600÷3，等等，这些算式就像是由这颗种子长出来的绿叶。
如果种子是8÷4=2，它能长出怎样的绿叶？
如果叶子是90÷3=30、900÷3=300，数学的种子又是什么呢？
师：下面是一张除法表，其实它就是一些除法的种子和土壤。比如4÷2=2这粒种子，就可以长出40÷2=20、400÷2=200等绿叶。请你在除法表中任意寻找一颗除法的种子，然后和同桌说一说你联想到了怎样的数学绿叶。
[两次实践后的反思]
（一）借用计数器可以使计算思维可视化
“整十、整百数除以一位数口算”这节课的重点是要让学生知道计算背后的道理，同时能够发展形象思维和抽象思维，以及合情推理和演绎推理的能力。上这节课之前，大部分学生是会算的，可能还会多种算法，但是算理他们并不明白。学生最喜欢的算法是：先算6÷3=2，推想出60÷3=20、600÷3=200、6000÷3=2000……这可能就是一种直觉，感觉要这样算，至于算理，他们说不清楚，因为算法是抽象的东西。第一次实践尝试是通过拨计数器上的珠子，直观展示计算的算理，非常的具体形象，学生容易接受。都是6颗珠子，摆放的数位不一样，表示的数也不相同。60的6在十位，表示6个十，平均分成3份每份是2个十，所以60÷3=20，借助计数器很好理解为什么60÷3=20、600÷3=200、6000÷3=2000。三年级小学生的思维正处于具象形象思维过渡到抽象思维的阶段，借助计数器理解算理，学生有个思维的拐杖，有利于加深对算法的理解。
（二）不同学生采用不同的方法，尊重班级学生学情，灵活组织教学
第一次实践尝试，班级学生基本掌握了计算方法，但课堂气氛沉闷，学生的思维不活跃。而第二次尝试，学生的眼睛是发光的，激发了学生探求新知的欲望，引发了学生的数学思考，在掌握知识的同时学会了学习数学的方法。不把学生看成是一张白纸，关注学生的认知基础，重视学生的现实经验，由于学生所处的生活環境不同以及个体差异，他们的学习起点也就各不相同，可以由他们灵活选择自己的喜欢方式说清楚算理。三年级的学生对整数的抽象认知已经有所提升，对用阿拉伯数字表示的数的意义、数位、计数单位、数的组成等概念是有认知的。大部分学生只看算式就可以说出整十数、整百数除以一位数口算的算理。如60÷3=20，6在十位表示6个十，把6个十平均分成3份，每份是2个十，也就是20。看计数器或不看计数器都能解释算理，而且思维的抽象性更强，教师硬要学生结合计数器说算理，学生反而觉得麻烦。在“两三位数除以一位数口算”这节课上，借助计数器理解算理是把“双刃剑”，用了计数器可以让听课老师觉得有新意，但一定要学生去观察计数器理解算理感觉非常别扭。是否用工具，选择什么工具，采用怎样的学习方式，要根据学情让学生自由、灵活地选择。
（三）沟通知识间的联系，生长新的知识
“整十、整百数除以一位数口算”这节课的知识逻辑起点是表内除法和整十数、整百数乘一位数的口算，而两者的知识基础是表内乘法（乘法口诀）。整十数、整百数除以一位数口算与整十数、整百数乘一位数的口算之间有互逆关系。第二次教学实践，通过计算挑战赛的形式为学生建构知识孕伏。学习的内容与学生的已有知识背景越接近，他们就越容易接纳新知。数学新旧知识之间是相互有联系的，让学生经历基于原有的知识经验生成意义、建构理解的过程，体会新的数学知识是由原有的数学知识经验生长出来的。用种子和绿叶比喻新旧知识之间的联系，比喻从旧知识不断生长出新知识，非常生动形象，三年级的小学生也更加喜欢。用原有的学生对计算的认知体系来认识整十、整百数除以一位数的口算，学生会觉得没有特别之处，利用好计算之间的内在联系，克服认知上的困难，弥合两者之间的割裂状态，使学生真正理解并掌握整十、整百数除以一位数的口算。
瑞士心理学家皮亚杰认为，学习的实质就是主客体双向建构的过程。所谓“双向建构”，是指新知识和旧知识的相互作用关系，一方面，要在旧知识的基础上获得新知识，另一方面，在获得新知识的过程中又对旧知识加以丰富和改造。 第二次课堂实践在新旧知识之间构建起了联系，使学生在掌握旧知识的基础上循序渐进地学习新知识，并对旧知识不断扩展和改进，沟通新旧知识间的联系，有意义地建构新知识，培养学生在旧知识的基础上构建新知识的能力，以及创新思维和自学能力。
【关键词】算理 思维可视化 学情 双向建构
在教学中，笔者先后对苏教版数学三年级上册“整十、整百数除以一位数口算”进行了两种不同的教学实践尝试，现记录如下：
[第一次课堂教学实践]
（一） 重温计数器，引入新课
师：（出示计数器）有6颗珠子，全部放在个位表示什么？全部放在十位呢？还可以全部放在哪里？又表示什么？
师：计数器不仅可以帮助我们认数，还是学习计算的好帮手。
（二）用好计数器，理解算理
1.出示情景图
师：如果老师有60支铅笔，平均分给3个小朋友，谁来提一个问题？（平均每人分到多少支？）你会列式计算吗？
2.列式计算
师：60÷3你觉得等于多少？你是怎么想的？
生1：3个20是60，60÷3=20。
生2：20×3=60，60÷3=20，想乘法算除法。
生3：先算6÷3=2， 根据表内除法推想得出60÷3=20。
生4：想象着把铅笔分一分，6捆铅笔平均分成3份，每份2捆，也就是20支。
3.研究算理
师：大部分同学喜欢先算6÷3，然后推想60÷3=20。计算背后的道理是什么？你是怎么想的？同桌交流。
（指名学生回答，边指计数器边指出：6个十平均分成3份，每份2个十，2个十就是20）
[第二次课堂实践]
（一）复习引入，伏笔建构
计算挑战赛
师：计算时，你联想到了哪一句乘法口诀？
（二）自主探索，研究算理
师：6÷3=2，为什么可推想出60÷3=20呢？计算背后的道理是什么？请以小组为单位进行研究。可以借助计数器、小棒、铅笔等学习工具，也可以用画图、实物展示等方法来说明你计算的道理。然后进行集体交流。
（三）迁移比较，建构知识
1.提问
600÷3=200，你是怎么想的？
2.比较
6÷3=2 ，60÷3=20，600÷3=200。
师：请大家仔细观察6÷3=2 ，60÷3=20，600÷3=200，计算时，有什么异同点？
3.形象比喻，知识建构
数学知识是不断生长的，6÷3=2 就像一颗种子，60÷3、600÷3，等等，这些算式就像是由这颗种子长出来的绿叶。
如果种子是8÷4=2，它能长出怎样的绿叶？
如果叶子是90÷3=30、900÷3=300，数学的种子又是什么呢？
师：下面是一张除法表，其实它就是一些除法的种子和土壤。比如4÷2=2这粒种子，就可以长出40÷2=20、400÷2=200等绿叶。请你在除法表中任意寻找一颗除法的种子，然后和同桌说一说你联想到了怎样的数学绿叶。
[两次实践后的反思]
（一）借用计数器可以使计算思维可视化
“整十、整百数除以一位数口算”这节课的重点是要让学生知道计算背后的道理，同时能够发展形象思维和抽象思维，以及合情推理和演绎推理的能力。上这节课之前，大部分学生是会算的，可能还会多种算法，但是算理他们并不明白。学生最喜欢的算法是：先算6÷3=2，推想出60÷3=20、600÷3=200、6000÷3=2000……这可能就是一种直觉，感觉要这样算，至于算理，他们说不清楚，因为算法是抽象的东西。第一次实践尝试是通过拨计数器上的珠子，直观展示计算的算理，非常的具体形象，学生容易接受。都是6颗珠子，摆放的数位不一样，表示的数也不相同。60的6在十位，表示6个十，平均分成3份每份是2个十，所以60÷3=20，借助计数器很好理解为什么60÷3=20、600÷3=200、6000÷3=2000。三年级小学生的思维正处于具象形象思维过渡到抽象思维的阶段，借助计数器理解算理，学生有个思维的拐杖，有利于加深对算法的理解。
（二）不同学生采用不同的方法，尊重班级学生学情，灵活组织教学
第一次实践尝试，班级学生基本掌握了计算方法，但课堂气氛沉闷，学生的思维不活跃。而第二次尝试，学生的眼睛是发光的，激发了学生探求新知的欲望，引发了学生的数学思考，在掌握知识的同时学会了学习数学的方法。不把学生看成是一张白纸，关注学生的认知基础，重视学生的现实经验，由于学生所处的生活環境不同以及个体差异，他们的学习起点也就各不相同，可以由他们灵活选择自己的喜欢方式说清楚算理。三年级的学生对整数的抽象认知已经有所提升，对用阿拉伯数字表示的数的意义、数位、计数单位、数的组成等概念是有认知的。大部分学生只看算式就可以说出整十数、整百数除以一位数口算的算理。如60÷3=20，6在十位表示6个十，把6个十平均分成3份，每份是2个十，也就是20。看计数器或不看计数器都能解释算理，而且思维的抽象性更强，教师硬要学生结合计数器说算理，学生反而觉得麻烦。在“两三位数除以一位数口算”这节课上，借助计数器理解算理是把“双刃剑”，用了计数器可以让听课老师觉得有新意，但一定要学生去观察计数器理解算理感觉非常别扭。是否用工具，选择什么工具，采用怎样的学习方式，要根据学情让学生自由、灵活地选择。
（三）沟通知识间的联系，生长新的知识
“整十、整百数除以一位数口算”这节课的知识逻辑起点是表内除法和整十数、整百数乘一位数的口算，而两者的知识基础是表内乘法（乘法口诀）。整十数、整百数除以一位数口算与整十数、整百数乘一位数的口算之间有互逆关系。第二次教学实践，通过计算挑战赛的形式为学生建构知识孕伏。学习的内容与学生的已有知识背景越接近，他们就越容易接纳新知。数学新旧知识之间是相互有联系的，让学生经历基于原有的知识经验生成意义、建构理解的过程，体会新的数学知识是由原有的数学知识经验生长出来的。用种子和绿叶比喻新旧知识之间的联系，比喻从旧知识不断生长出新知识，非常生动形象，三年级的小学生也更加喜欢。用原有的学生对计算的认知体系来认识整十、整百数除以一位数的口算，学生会觉得没有特别之处，利用好计算之间的内在联系，克服认知上的困难，弥合两者之间的割裂状态，使学生真正理解并掌握整十、整百数除以一位数的口算。
瑞士心理学家皮亚杰认为，学习的实质就是主客体双向建构的过程。所谓“双向建构”，是指新知识和旧知识的相互作用关系，一方面，要在旧知识的基础上获得新知识，另一方面，在获得新知识的过程中又对旧知识加以丰富和改造。 第二次课堂实践在新旧知识之间构建起了联系，使学生在掌握旧知识的基础上循序渐进地学习新知识，并对旧知识不断扩展和改进，沟通新旧知识间的联系，有意义地建构新知识，培养学生在旧知识的基础上构建新知识的能力，以及创新思维和自学能力。