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摘 要：高效课堂不仅关注学生知识与技能的获得，而且关注学生学习的过程与方法、情感、态度和价值观。小学数学教材中“数学广角”、“数学思考”有一定的学习难度，其一是学生很难找到解决问题的方法；其二是习惯于应用例题里的规律，形成思维定势。提倡适时地放弃，以退为进，这样的策略能让学生更好地体验数学思想方法，真正实现高效课堂。
关键词：小学数学；发现规律；以退为进；思想方法
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2013）09-0063-03
人教版小学数学教材安排了“数学广角”、“数学思考”的内容，渗透了排列、组合、集合、化归、等量代换、逻辑推理、抽屉原理等数学思想方法。这些内容教学有一定难度，其一是学生很难找到解决问题的方法；其二是习惯于应用例题里的规律，出现张冠李戴的现象。反思我们的教学，学以致用，发现的规律与随后的练习一一对应，似乎已约定俗成，成了学生的思维定势。如何破除这种思维定势，适时地放弃，以退为进，这样的策略能让学生更好地体验数学思想方法，提高课堂教学效率。下面就以六年级下册“数学思考——找规律”例4的教学为例，谈谈我的一些教学体会。
一、发现规律是放弃的基础
例4是以平面上几个点为端点，可以连多少条线段。这种以几何形态呈现的问题，便于学生动手操作，通过画图，由简到繁，发现规律。解决这类问题的常用策略是由最简单的情况入手，化繁为简，找出规律。这是基本的数学思想——化归思想。例4的教学目标是让学生运用发现的规律解决较复杂的数学问题，在解决问题的过程中体会“化难为易”的数学思想方法。
（一）构建生活原型是发现规律的起点
數学思想方法来源于生活，是人们在长期劳动生活中积累的发现、发明、解决实际问题的规律和方法，它有着丰富的生活原型。教师要善于创设生活原型的情境，为学生的学习体验做好铺垫。
师：我先请一个同学上来。我们是好朋友，握握手。一次握手就拉近了两个朋友之间的距离，握手的感觉真好。这位同学也是我们的好朋友，原来是两个好朋友，握手一次，现在又来了一个好朋友，两个人之间握手一次，还要握几次手？一共握手几次？我们应该怎样握？如果再来一个朋友，会增加几次握手？
师：我们这个小组有6个同学，两个人握手一次，一共要握手几次？握手是我们经常会遇到的生活问题，要解决这些问题，需要我们用到数学的思想和方法。今天这节课我们将一起学习：数学思考——找规律。
师：在握手活动中，如果把每个人看做是一个点，那握手就是连接两个点之间的线段。6个同学之间相互握手几次，实际上变成6个点之间可以连成多少条线段。这样我们就把刚才生活中的问题转化成数学问题了。研究6个点有点麻烦了，如果点数少一些的话，解决起来容易一些。几个点最容易？（两个点），为什么不是一个点？3个点能解决吗？4个点呢？不难想象，随着点数的增加线段数也会增加。我们就从最简单的两个点开始，逐渐增加点数，看看点数与连成的线段数之间是否存在着规律。
通过创设情境，把生活中握手的问题抽象成数学问题，这样的引入来源于学生的生活经验，能激发他们的学习兴趣。由于“6个点之间可以连成多少条线段” 这个问题比较复杂，学生很难理解，解决问题就更难了。教学中教师要善于从简单的地方入手，尽可能借助生活原型，从最简单的开始，逐步研究，探索其中蕴含的规律。这个过程，就是在体验“化难为易”的数学思想。
（二）把握层次是发现规律的关键
随着学生年龄的增长，学习的知识也越来越复杂。一蹴而就发现规律是不现实的，教师要一步一步、分层次进行引导，减缓学生学习的坡度。
师：为了研究的方便，我们可以借助表格（出示下面表格）。2个点可以连几条线段？
师：3个点呢？
师：4个点时要比3个点增加几条线段呢？请你猜一猜。说说你的想法。那4个点时一共有几条线段，我们还要不要从2个点开始研究呢？为什么？
师：因为前面我们已经研究了3个点的情况，所以我们就可以借助前面的研究成果来研究第4个点连成的线段数。
师：5个点时又会比4个点增加几条线段？请你猜一猜。说说你的想法。
师：那接下来你能自己画画4个点、5个点、6个点的情况吗？请大家在学习用纸上画一画，把表格填写完整。在填写的过程中有疑问可以和同桌或小组交流，也可以参照课本第91页。完成后独立思考以下问题，再和同桌进行交流。
①从2个点开始连成一条线段，增加一个点，就增加_条线段；
再增加一个点，又增加了_条线段… …
②你有什么发现？
生尝试独立探究，师巡视、关注学生探究情况。
学生汇报交流、课间动态演示。
完成表格后，观察对比。
师：仔细观察这张表格，看着这些信息你有什么发现吗？
引导学生明确：2个点时连1条线段，增加到3个点时就增加了2条线段，到4个点时就会再增加3条线段，5个点就增加4条线段，6个点就增加5条线段。每次增加的线段数就是点数相差1。
师：同学们，我们知道了6个点可以连15条线段，现在你们有什么办法知道8个点可以连多少条线段吗？
学生可能会想到7个点连线的情况，再去推理8个点的连线情况。
师追问：还有其他办法吗？如果当点数再大一些时，我们这样去推理是不是很麻烦呢？如果能找到什么规律来计算那该多好呀！
师：请仔细观察这些算式，有什么新的发现吗？
生1：计算3个点的总线段数是1+2，计算4个点的总线段数是1+2+3，计算5个点的总线段数是1+2+3+4，它们都是从1开始依次加的。
生2：我觉得计算总线段数其实就是从1开始加。 生3：可以，比如3个点的总线段数，就是从1加到2；4个点的总线段数，就是从1开始依次加到3，5个点时，就是1一直加到4，这样推理下去，就是从1开始一直加到点数减1的那个数。
师：那么你说的点数减1的那个数其实是什么数？（生：就是每次增加一个点时，增加的线段数。）
师：现在我们知道了总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，依次加到几减1，所得的和就是总线段数。
师：下面我们运用这条规律去计算一下6个点和8个点时共连成的线段数，把算式写下来。
师：如果点数再增加，你还能计算吗？10个点？100个点？如果用字母n（n>2的自然数）表示点数，用算式怎么表示总线段数？
师生小结：我们把握手的问题转化成平面上的“几个点可以连成几条线段”这样的数学问题展开探究，找到了这一类问题的计算方法。在研究中，因为数据比较复杂，所以先从简单的数据入手寻找到了规律，我们把这种思考方法叫做化难为易。
引导学生发现规律时，经历了两个层次。第一层次是发现增加一个点与增加线段条数之间的关系；第二层次是点数与线段总数的关系。第一层次是第二层次的基础，学生有了对第一层次的深刻感悟，对第二层次的理解就会水到渠成。同時，在发现规律后，举一反三，培养学生灵活应用的能力，对规律的认识进一步提高。在进行数学研究时，教师要有意识地引导学生体验借助已有的认知基础进行进一步的研究和探索，可以节省时间和精力。只有在这样的经历中，学生才能积累基本的数学活动经验。在这个学习过程中，学生的兴趣培养、习惯养成、学习能力、思维能力与品质等方面都有了发展，学生受到了积极的影响，达到教学效益的最优化。这是高效课堂的一个重要体现。
二、放弃规律是为了更好地得到
发现规律只是经历的一个过程，体验数学思想才是教学的目的。要达到既见树木又见森林的效果，需要暂时的放弃，有舍才有得。
（一）适时放弃，以退为进
师：如果有一天我们忘记了这个规律，你会怎么办？
师：只要我们能把复杂的问题从最简单的地方开始研究，就能逐步发现规律。看样子“化难为易”的数学思想方法非常重要，那你觉得我们记住什么就可以了？这个规律可不可以忘记？
应用化难为易的数学思想方法，顺利地解决了握手和几个点之间连线的问题。可以说，解决这个问题发现的规律来之不易。但与“化难为易”——化归思想相比，“化难为易”具有解决问题的普遍性、一般性，有着更广泛的适用范围，属于基本的数学思想，它的重要性不言而喻。为了让学生更深入理解、应用这一数学思想方法，显然更需要学生跳出刚刚获得的规律。放弃只是一种策略，以退为进，是为了更好地获得。
（二）举三反一，多角度体验
师：同学们，有许多看似复杂的问题，我们都可以尝试从简单问题去思考。下面我们就来看看书上的练习题，看看能不能运用这样的思想方法去解决它们。
1.画一画，找规律。
① ② ③ ④
（1）第6个图形是什么图形？请画出来。
（2）第7个图形需要多少根小棒？请列出算式。
师：第7个图形需要多少根小棒，你是怎么列式的？三角形数与小棒数有什么规律？你是以什么图形为标准开始研究的？ n个三角形呢？
2.填一填，找规律。
学生正是因为放弃了前面得到的规律，没有思维定势的束缚，因此能从零开始，探索新的规律。这个练习的环节很重要，学生能从不同的角度多次体验“化难为易”。授人以鱼，不如授人以渔。通过不同类型的问题举三反一，逐次呈现，虽然每一题的规律各不相同，但是发现规律的过程却是一样的。这样让学生更加深刻地体会了数学的基本思想。在反复体验中，提升了学生对数学思想方法理解的深度和广度。在一节课里，课堂容量很大，学生的受益非常大，达到效率的最大化。这也是高效课堂的一个重要体现。
课标2011年版对于数学思想方法的教学目标不仅仅在知识和能力层面，更多的是立足于人的发展。时代赋予教师的责任是善于给学生营造数学思想方法所赖以产生的生活情境，引导学生自主探索，逐步丰富认知经验。必要时学会放弃，学生才能从不同的角度去体验，才会感受到基本数学思想方法的概括性和普遍性，学习能力和学习效率才会有更大的提高。只有实现了少教多学，这样的教学才能称之为有效教学，才能达到课堂教学效率的最大化和效益的最优化，实现高效课堂。
关键词：小学数学；发现规律；以退为进；思想方法
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2013）09-0063-03
人教版小学数学教材安排了“数学广角”、“数学思考”的内容，渗透了排列、组合、集合、化归、等量代换、逻辑推理、抽屉原理等数学思想方法。这些内容教学有一定难度，其一是学生很难找到解决问题的方法；其二是习惯于应用例题里的规律，出现张冠李戴的现象。反思我们的教学，学以致用，发现的规律与随后的练习一一对应，似乎已约定俗成，成了学生的思维定势。如何破除这种思维定势，适时地放弃，以退为进，这样的策略能让学生更好地体验数学思想方法，提高课堂教学效率。下面就以六年级下册“数学思考——找规律”例4的教学为例，谈谈我的一些教学体会。
一、发现规律是放弃的基础
例4是以平面上几个点为端点，可以连多少条线段。这种以几何形态呈现的问题，便于学生动手操作，通过画图，由简到繁，发现规律。解决这类问题的常用策略是由最简单的情况入手，化繁为简，找出规律。这是基本的数学思想——化归思想。例4的教学目标是让学生运用发现的规律解决较复杂的数学问题，在解决问题的过程中体会“化难为易”的数学思想方法。
（一）构建生活原型是发现规律的起点
數学思想方法来源于生活，是人们在长期劳动生活中积累的发现、发明、解决实际问题的规律和方法，它有着丰富的生活原型。教师要善于创设生活原型的情境，为学生的学习体验做好铺垫。
师：我先请一个同学上来。我们是好朋友，握握手。一次握手就拉近了两个朋友之间的距离，握手的感觉真好。这位同学也是我们的好朋友，原来是两个好朋友，握手一次，现在又来了一个好朋友，两个人之间握手一次，还要握几次手？一共握手几次？我们应该怎样握？如果再来一个朋友，会增加几次握手？
师：我们这个小组有6个同学，两个人握手一次，一共要握手几次？握手是我们经常会遇到的生活问题，要解决这些问题，需要我们用到数学的思想和方法。今天这节课我们将一起学习：数学思考——找规律。
师：在握手活动中，如果把每个人看做是一个点，那握手就是连接两个点之间的线段。6个同学之间相互握手几次，实际上变成6个点之间可以连成多少条线段。这样我们就把刚才生活中的问题转化成数学问题了。研究6个点有点麻烦了，如果点数少一些的话，解决起来容易一些。几个点最容易？（两个点），为什么不是一个点？3个点能解决吗？4个点呢？不难想象，随着点数的增加线段数也会增加。我们就从最简单的两个点开始，逐渐增加点数，看看点数与连成的线段数之间是否存在着规律。
通过创设情境，把生活中握手的问题抽象成数学问题，这样的引入来源于学生的生活经验，能激发他们的学习兴趣。由于“6个点之间可以连成多少条线段” 这个问题比较复杂，学生很难理解，解决问题就更难了。教学中教师要善于从简单的地方入手，尽可能借助生活原型，从最简单的开始，逐步研究，探索其中蕴含的规律。这个过程，就是在体验“化难为易”的数学思想。
（二）把握层次是发现规律的关键
随着学生年龄的增长，学习的知识也越来越复杂。一蹴而就发现规律是不现实的，教师要一步一步、分层次进行引导，减缓学生学习的坡度。
师：为了研究的方便，我们可以借助表格（出示下面表格）。2个点可以连几条线段？
师：3个点呢？
师：4个点时要比3个点增加几条线段呢？请你猜一猜。说说你的想法。那4个点时一共有几条线段，我们还要不要从2个点开始研究呢？为什么？
师：因为前面我们已经研究了3个点的情况，所以我们就可以借助前面的研究成果来研究第4个点连成的线段数。
师：5个点时又会比4个点增加几条线段？请你猜一猜。说说你的想法。
师：那接下来你能自己画画4个点、5个点、6个点的情况吗？请大家在学习用纸上画一画，把表格填写完整。在填写的过程中有疑问可以和同桌或小组交流，也可以参照课本第91页。完成后独立思考以下问题，再和同桌进行交流。
①从2个点开始连成一条线段，增加一个点，就增加_条线段；
再增加一个点，又增加了_条线段… …
②你有什么发现？
生尝试独立探究，师巡视、关注学生探究情况。
学生汇报交流、课间动态演示。
完成表格后，观察对比。
师：仔细观察这张表格，看着这些信息你有什么发现吗？
引导学生明确：2个点时连1条线段，增加到3个点时就增加了2条线段，到4个点时就会再增加3条线段，5个点就增加4条线段，6个点就增加5条线段。每次增加的线段数就是点数相差1。
师：同学们，我们知道了6个点可以连15条线段，现在你们有什么办法知道8个点可以连多少条线段吗？
学生可能会想到7个点连线的情况，再去推理8个点的连线情况。
师追问：还有其他办法吗？如果当点数再大一些时，我们这样去推理是不是很麻烦呢？如果能找到什么规律来计算那该多好呀！
师：请仔细观察这些算式，有什么新的发现吗？
生1：计算3个点的总线段数是1+2，计算4个点的总线段数是1+2+3，计算5个点的总线段数是1+2+3+4，它们都是从1开始依次加的。
生2：我觉得计算总线段数其实就是从1开始加。 生3：可以，比如3个点的总线段数，就是从1加到2；4个点的总线段数，就是从1开始依次加到3，5个点时，就是1一直加到4，这样推理下去，就是从1开始一直加到点数减1的那个数。
师：那么你说的点数减1的那个数其实是什么数？（生：就是每次增加一个点时，增加的线段数。）
师：现在我们知道了总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。因此，我们只要知道点数是几，就从1开始，依次加到几减1，所得的和就是总线段数。
师：下面我们运用这条规律去计算一下6个点和8个点时共连成的线段数，把算式写下来。
师：如果点数再增加，你还能计算吗？10个点？100个点？如果用字母n（n>2的自然数）表示点数，用算式怎么表示总线段数？
师生小结：我们把握手的问题转化成平面上的“几个点可以连成几条线段”这样的数学问题展开探究，找到了这一类问题的计算方法。在研究中，因为数据比较复杂，所以先从简单的数据入手寻找到了规律，我们把这种思考方法叫做化难为易。
引导学生发现规律时，经历了两个层次。第一层次是发现增加一个点与增加线段条数之间的关系；第二层次是点数与线段总数的关系。第一层次是第二层次的基础，学生有了对第一层次的深刻感悟，对第二层次的理解就会水到渠成。同時，在发现规律后，举一反三，培养学生灵活应用的能力，对规律的认识进一步提高。在进行数学研究时，教师要有意识地引导学生体验借助已有的认知基础进行进一步的研究和探索，可以节省时间和精力。只有在这样的经历中，学生才能积累基本的数学活动经验。在这个学习过程中，学生的兴趣培养、习惯养成、学习能力、思维能力与品质等方面都有了发展，学生受到了积极的影响，达到教学效益的最优化。这是高效课堂的一个重要体现。
二、放弃规律是为了更好地得到
发现规律只是经历的一个过程，体验数学思想才是教学的目的。要达到既见树木又见森林的效果，需要暂时的放弃，有舍才有得。
（一）适时放弃，以退为进
师：如果有一天我们忘记了这个规律，你会怎么办？
师：只要我们能把复杂的问题从最简单的地方开始研究，就能逐步发现规律。看样子“化难为易”的数学思想方法非常重要，那你觉得我们记住什么就可以了？这个规律可不可以忘记？
应用化难为易的数学思想方法，顺利地解决了握手和几个点之间连线的问题。可以说，解决这个问题发现的规律来之不易。但与“化难为易”——化归思想相比，“化难为易”具有解决问题的普遍性、一般性，有着更广泛的适用范围，属于基本的数学思想，它的重要性不言而喻。为了让学生更深入理解、应用这一数学思想方法，显然更需要学生跳出刚刚获得的规律。放弃只是一种策略，以退为进，是为了更好地获得。
（二）举三反一，多角度体验
师：同学们，有许多看似复杂的问题，我们都可以尝试从简单问题去思考。下面我们就来看看书上的练习题，看看能不能运用这样的思想方法去解决它们。
1.画一画，找规律。
① ② ③ ④
（1）第6个图形是什么图形？请画出来。
（2）第7个图形需要多少根小棒？请列出算式。
师：第7个图形需要多少根小棒，你是怎么列式的？三角形数与小棒数有什么规律？你是以什么图形为标准开始研究的？ n个三角形呢？
2.填一填，找规律。
学生正是因为放弃了前面得到的规律，没有思维定势的束缚，因此能从零开始，探索新的规律。这个练习的环节很重要，学生能从不同的角度多次体验“化难为易”。授人以鱼，不如授人以渔。通过不同类型的问题举三反一，逐次呈现，虽然每一题的规律各不相同，但是发现规律的过程却是一样的。这样让学生更加深刻地体会了数学的基本思想。在反复体验中，提升了学生对数学思想方法理解的深度和广度。在一节课里，课堂容量很大，学生的受益非常大，达到效率的最大化。这也是高效课堂的一个重要体现。
课标2011年版对于数学思想方法的教学目标不仅仅在知识和能力层面，更多的是立足于人的发展。时代赋予教师的责任是善于给学生营造数学思想方法所赖以产生的生活情境，引导学生自主探索，逐步丰富认知经验。必要时学会放弃，学生才能从不同的角度去体验，才会感受到基本数学思想方法的概括性和普遍性，学习能力和学习效率才会有更大的提高。只有实现了少教多学，这样的教学才能称之为有效教学，才能达到课堂教学效率的最大化和效益的最优化，实现高效课堂。