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【摘要】从习题的背景、数学认知、运算、推理以及知识综合这五个因素入手，对三版教材中“认识小数”的习题难度进行量化描述和比较，发现三个版本的习题在背景、运算、知识综合水平上偏低，而在推理和数学认知上的水平层次相对较高。
【关键词】小学数学教材 认识小数 习题难度 量化比较
习题是指教材中为学生进行数学练习而编制的题目。习题难度是指学生解答习题时思维的难易程度。通常来说，学生解答习题的难度不仅与文本中的习题有关，也与学生本身以及教学活动有关，这里只限于对教材文本内容的静态分析。静态习题的难易涉及因素也比较多，王建磐、鲍建生（2014）提出的难度模型有一定的代表性，主要是从背景、数学认知、运算、推理以及知识综合这五个因素入手，每个因素都分为3～4级水平，并分别赋值1～3或4，再利用以下公式计算各版教材中习题在每个难度因素上的加权平均值。
其中，di表示第i个难度因素上的加权平均值，dij表示第i个难度因素的第j级水平的权重，这里直接采用等级权重，即dij=j，nij表示这种教材习题中属于第i个难度因素第j级水平的题目数，n是这种教材的习题总数。显然，对于任何i（i=1，2，3，4，5）都有∑jnij=n。最后根据计算所得的五个因素的结果，画出反映习题综合难度的五边形模型（雷达图），并根据图形的整体态势分析教材中习题的综合水平和难度特征。
一、三个版本教材中习题数量统计
“认识小数”包括小数的意义、读写、数位顺序、性质、大小比较等知识。此知识点在苏教版教材中置于三年级下册第八单元和五年级上册第三单元，在人教版教材中置于三年级下册第七单元和四年级下册第四单元，在沪教版教材中置于四年级下册第二单元。沪教版教材是依据本地区课程标准编制的，人教版与苏教版教材是依据部颁课程标准编制且选用地区较多，选择该三种教材进行比较研究更具应用意义。
这里，苏教版习题是指练一练、想想做做、练习、思考题栏目中的题目，人教版是指练习题、思考题和复习题，沪教版是指试一试、练一练以及小练习中的题目。在统计习题数时，均按第一层次序号计算。
苏教版与人教版中的“认识小数”均分别设置在两个学段，其中苏教版一共设置了48道习题，数量最多，沪教版未做分段安排，集中在一个单元中，一共设置了32道习题，相对较少。
二、习题难度在五个因素上的比较
采用上述难度模型，对三个版本教材中“认识小数”的习题按背景、数学认知、运算、推理、知识综合五个因素分别进行鉴定，并按1～3或4进行赋值，算出各因素的加权平均值。
根据上述统计数据，我们分别对每个难度因素特征进行描述和比较，再进一步总结它们的综合难度。
1.习题背景上的比较
三版教材的习题在背景上的水平如下图1：
可见，三版教材的习题背景都以“无背景”为主，且以沪教版教材占比最多达90.6%，都涉及“个人生活”“公共常识”，但“科学情境”很少，其中沪教版未曾涉及。由于“认识小数”一般在中年段教学，联系个人生活、家庭生活更易于学生理解和运用概念，而“科学情境”则需要学生有更多的知识积累。
2.数学认知水平上的比较
三版教材的习题在数学认知水平上的情况如下图2：
通过上面的折线图我们可以清晰地看到，三版教材中操作水平和分析探究水平都很少，主要是概念水平和领会说明水平。我们认为，概念水平反映学生能知道、说出或辨认相关对象的特征，相当于课标中提出的“了解”水平，而“领会、说明”水平相当于课标中的“理解”水平，以这两个层次的要求为主应该说符合课标精神。具体比较可以发现，在概念水平上，沪教版占比最多，在领会说明水平上，苏教版占比最多，人教版均居于中间;在分析探究水平上，人教版相对较低，而苏教版和沪教版水平一致也仅占比6.3%，根据本次课改精神，这方面的习题应适当加强。
3.运算水平上的比较
三版教材的习题在运算水平上的情况如下图3：
图中三线重合，说明苏教版、人教版和上海版“认识小数”习题在数学运算水平上一致，并且都属于无运算水平，主要是这部分知识只涉及小数的概念和性质，不包括小数的运算，知识的性质和特殊性，導致了三个版本均没有出现数值运算或符号运算。
4.推理水平上的比较
三版教材的习题在推理水平上的情况如下图4：
三版教材均以“简单推理”为主并以人教版占比最高，“复杂推理”占比最少并且比较接近。由于“认识小数”是小数教学的前置部分，综合运用的内容尚未展开，因而较少有“复杂推理”的问题。从细节上看，无推理水平的题目人教版在三个版本中是设置最少的，而含有“推理”的习题最多，占比68.3%，说明人教版教材对数学推理的训练更为重视一些。
5.知识综合水平上的比较
三版教材的习题在知识综合水平上的情况如下图5：
从整体上看，三版教材在“认识小数”设置的习题综合水平都以1个知识点为主，凸显对本单元新知内容的直接理解。具体看，沪教版“1个知识点”水平占比81.3%为最高，“3个知识点”水平占比3.1%为最低，因而其加权平均值最小仅为1.22。苏教版和人教版在三个水平上的习题占比差异不大，加权平均值分别是1.50和1.44，比较接近。
6.综合难度的比较
以上从五个难度因素出发，分别比较了苏教版、人教版以及沪教版小学数学教材中“认识小数”习题的难度。根据表2中加权平均值的统计，可以进一步得到如下雷达图：
图中看到，三版教材的习题在运算水平上没有差别;在推理水平上差别不大，人教版略高于苏教版和沪教版;在背景水平上，人教版水平最高为1.39，沪教版最低为1.16，说明人教版教材在创设问题情境方面给予了更多关注。在数学认知水平上，由高到低依次是苏教版、沪教版、人教版;在知识综合水平上，由高到低依次是苏教版、人教版、沪教版。苏教版在数学认知、知识综合水平上均居前列，说明苏教版教材中“认识小数”习题的整体难度应处于领先。总体看来，图中的三个五边形有向左下倾和向右上倾的趋势，说明这三个版本的习题在背景、运算、知识综合水平上都偏低，而在推理和数学认知上的水平层次相对较高，这与我国小学数学教学重视系统知识学习和逻辑推理训练的传统不无关系。
【关键词】小学数学教材 认识小数 习题难度 量化比较
习题是指教材中为学生进行数学练习而编制的题目。习题难度是指学生解答习题时思维的难易程度。通常来说，学生解答习题的难度不仅与文本中的习题有关，也与学生本身以及教学活动有关，这里只限于对教材文本内容的静态分析。静态习题的难易涉及因素也比较多，王建磐、鲍建生（2014）提出的难度模型有一定的代表性，主要是从背景、数学认知、运算、推理以及知识综合这五个因素入手，每个因素都分为3～4级水平，并分别赋值1～3或4，再利用以下公式计算各版教材中习题在每个难度因素上的加权平均值。
其中，di表示第i个难度因素上的加权平均值，dij表示第i个难度因素的第j级水平的权重，这里直接采用等级权重，即dij=j，nij表示这种教材习题中属于第i个难度因素第j级水平的题目数，n是这种教材的习题总数。显然，对于任何i（i=1，2，3，4，5）都有∑jnij=n。最后根据计算所得的五个因素的结果，画出反映习题综合难度的五边形模型（雷达图），并根据图形的整体态势分析教材中习题的综合水平和难度特征。
一、三个版本教材中习题数量统计
“认识小数”包括小数的意义、读写、数位顺序、性质、大小比较等知识。此知识点在苏教版教材中置于三年级下册第八单元和五年级上册第三单元，在人教版教材中置于三年级下册第七单元和四年级下册第四单元，在沪教版教材中置于四年级下册第二单元。沪教版教材是依据本地区课程标准编制的，人教版与苏教版教材是依据部颁课程标准编制且选用地区较多，选择该三种教材进行比较研究更具应用意义。
这里，苏教版习题是指练一练、想想做做、练习、思考题栏目中的题目，人教版是指练习题、思考题和复习题，沪教版是指试一试、练一练以及小练习中的题目。在统计习题数时，均按第一层次序号计算。
苏教版与人教版中的“认识小数”均分别设置在两个学段，其中苏教版一共设置了48道习题，数量最多，沪教版未做分段安排，集中在一个单元中，一共设置了32道习题，相对较少。
二、习题难度在五个因素上的比较
采用上述难度模型，对三个版本教材中“认识小数”的习题按背景、数学认知、运算、推理、知识综合五个因素分别进行鉴定，并按1～3或4进行赋值，算出各因素的加权平均值。
根据上述统计数据，我们分别对每个难度因素特征进行描述和比较，再进一步总结它们的综合难度。
1.习题背景上的比较
三版教材的习题在背景上的水平如下图1：
可见，三版教材的习题背景都以“无背景”为主，且以沪教版教材占比最多达90.6%，都涉及“个人生活”“公共常识”，但“科学情境”很少，其中沪教版未曾涉及。由于“认识小数”一般在中年段教学，联系个人生活、家庭生活更易于学生理解和运用概念，而“科学情境”则需要学生有更多的知识积累。
2.数学认知水平上的比较
三版教材的习题在数学认知水平上的情况如下图2：
通过上面的折线图我们可以清晰地看到，三版教材中操作水平和分析探究水平都很少，主要是概念水平和领会说明水平。我们认为，概念水平反映学生能知道、说出或辨认相关对象的特征，相当于课标中提出的“了解”水平，而“领会、说明”水平相当于课标中的“理解”水平，以这两个层次的要求为主应该说符合课标精神。具体比较可以发现，在概念水平上，沪教版占比最多，在领会说明水平上，苏教版占比最多，人教版均居于中间;在分析探究水平上，人教版相对较低，而苏教版和沪教版水平一致也仅占比6.3%，根据本次课改精神，这方面的习题应适当加强。
3.运算水平上的比较
三版教材的习题在运算水平上的情况如下图3：
图中三线重合，说明苏教版、人教版和上海版“认识小数”习题在数学运算水平上一致，并且都属于无运算水平，主要是这部分知识只涉及小数的概念和性质，不包括小数的运算，知识的性质和特殊性，導致了三个版本均没有出现数值运算或符号运算。
4.推理水平上的比较
三版教材的习题在推理水平上的情况如下图4：
三版教材均以“简单推理”为主并以人教版占比最高，“复杂推理”占比最少并且比较接近。由于“认识小数”是小数教学的前置部分，综合运用的内容尚未展开，因而较少有“复杂推理”的问题。从细节上看，无推理水平的题目人教版在三个版本中是设置最少的，而含有“推理”的习题最多，占比68.3%，说明人教版教材对数学推理的训练更为重视一些。
5.知识综合水平上的比较
三版教材的习题在知识综合水平上的情况如下图5：
从整体上看，三版教材在“认识小数”设置的习题综合水平都以1个知识点为主，凸显对本单元新知内容的直接理解。具体看，沪教版“1个知识点”水平占比81.3%为最高，“3个知识点”水平占比3.1%为最低，因而其加权平均值最小仅为1.22。苏教版和人教版在三个水平上的习题占比差异不大，加权平均值分别是1.50和1.44，比较接近。
6.综合难度的比较
以上从五个难度因素出发，分别比较了苏教版、人教版以及沪教版小学数学教材中“认识小数”习题的难度。根据表2中加权平均值的统计，可以进一步得到如下雷达图：
图中看到，三版教材的习题在运算水平上没有差别;在推理水平上差别不大，人教版略高于苏教版和沪教版;在背景水平上，人教版水平最高为1.39，沪教版最低为1.16，说明人教版教材在创设问题情境方面给予了更多关注。在数学认知水平上，由高到低依次是苏教版、沪教版、人教版;在知识综合水平上，由高到低依次是苏教版、人教版、沪教版。苏教版在数学认知、知识综合水平上均居前列，说明苏教版教材中“认识小数”习题的整体难度应处于领先。总体看来，图中的三个五边形有向左下倾和向右上倾的趋势，说明这三个版本的习题在背景、运算、知识综合水平上都偏低，而在推理和数学认知上的水平层次相对较高，这与我国小学数学教学重视系统知识学习和逻辑推理训练的传统不无关系。