家庭资产配置问题由来已久,相关学术文献已浩如烟海.尽管它在实际生活中常常为普通家庭所忽视,但随着家庭的收入增长和财富积累,此类问题的研究需求也逐渐凸显出来.研究家庭资产配置问题,既能为家庭提供合理的消费与投资建议,实现家庭福利的优化,也有助于职能部门充分了解家庭需求对于经济环境的反应机制,从而恰当地进行政策设计和目标规划.一种常用的研究方法是:研究者以实际数据所体现出的某一特征,或者家庭可能具有的某类偏好为基础,建立数学模型并对决策进行优化,然后通过数值实验观察最优策略是否符合实际数据的特征.随机控制理论便是适用于对跨期决策进行动态优化的框架之一,而家庭的投资﹣消费跨期决策正是在这一框架之下的经典线性控制问题.在随机控制框架下研究投资﹣消费问题,主流的使用方法包括三种:动态规划、鞅方法、极大值原理.动态规划是借助Bellman最优性原理推导最优值函数在光滑性假设下满足的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程,并由此建立最优控制的充分条件,验证HJB方程提供的解正是最优值函数和投资﹣消费策略的控制反馈函数.鞅方法是将最优性条件表示为消费过程和终端财富在风险中性测度下几乎必然等于某些与影子价格相关的随机变量,然后借助鞅表示定理得出投资过程.极大值原理是利用针状变分对投资﹣消费策略在一个充分小的时区上进行扰动,比较扰动前后的状态过程和目标函数的差异,然后引入两个作为对偶方程的倒向随机微分方程,使得最优性充分必要条件可以表示为Hamilton量关于控制变量逐时点优化.基于以上方法或它们的改进和推广,本论文收录了数个具体的投资﹣消费问题的求解和结果.它们分为三类,作为论文的主体内容陈列于第3章到第5章:传统的以消费﹣终端财富效用最大化为目标的问题,因最大化效用的策略具有时间非一致性转而寻求时间一致策略的问题,以财富的高阶矩为目标函数的寻求时间一致策略的问题.第一类包括三个问题:带有随机收入与收入依赖的负债限制的投资﹣消费问题、带有多重内生消费习惯的效用最大化问题、基于跳﹣扩散模型的带有机制转换与内生习惯的投资﹣消费问题.第二类包括两个问题:带有机制依赖的内生习惯的投资﹣消费问题、非指数效用贴现下带有习惯形成的投资﹣消费﹣寿险问题.第三类包括两个问题:高阶矩准则下的时间一致投资决策问题、高阶中心矩准则的随机控制问题.在第2章,对经典的Merton投资﹣消费问题的介绍和求解演示了如何使用上述随机控制的三种主流方法解决这一问题.这可作为全文的数理准备工作.此外,本论文的第1章是绪论,陈述了研究背景、内容、思路和方法,就研究现状和文献分别进行了整体性的和按主题划分的细致的介绍,并整理了文中使用的数学符号以便查阅;最后的第6章对研究内容、技术突破、结果和经济启示等方面进行了一些总结,并列示了一些相关的后续研究问题.作为研究特色和创新,本论文进行了一项挑战性的尝试:在问题求解过程中使用尽可能一般性的效用函数,在得出最优控制或时间一致控制的解析形式或充分条件后,再设定效用函数的具体形式计算相应的结果.因此,问题的求解方式并非总是先构造解的形式再代入HJB方程或正倒向随机微分方程进行充分性的验证,而是从必要性的角度逐步刻画解的性质甚至给出解的表达式.这使得求解过程本身也可能产生对解决数理金融领域其它问题的启发.在3.1节的带有随机收入与收入依赖的负债限制的投资﹣消费问题中,家庭负债以未来收入现值所代表的人力资本为限这一情形是易于通过动态规划原理以及HJB方程的对偶变换解决的.但当家庭负债仅以人力资本的某一比例为限时,在该边界处的最优性条件会变得相当复杂,同时也使HJB方程的对偶变换不再适用.鉴于家庭收入是非受控过程,将其视为模型参数可以将问题的最优值用随机场表示.动态规划原理给出该最优值随机场对应的随机HJB方程.通过对偶变换,尤其是针对边界条件的,随机HJB方程可以被转化为另一个带约束的倒向随机偏微分方程,从而与一类奇异控制问题相关联.利用鞅凸对偶方法的步骤可以论证原问题与该奇异控制问题的极大极小对偶关系.最后,在幂效用函数、无穷时区、固定收入率和常数参数的情形下,基于对偶的奇异控制问题的闭式解,获得原问题最优控制的反馈函数的较为清晰明确的表达式.在3.2节的带有多重内生消费习惯的效用最大化问题中,家庭的当前偏好不仅依赖于当前消费,还同历史的消费水平相关.过去的消费会形成习惯,使得家庭当前对这部分习惯性的消费不产生效用.而且在决策时区内产生的消费习惯也会对终端时刻之后的偏好产生潜在的影响,从而体现在终端财富效用中.同时,该问题还考虑了家庭对消费的分类,例如日常生活开支、教育投入、医疗保健费用等,并且不失一般性地假定了所有类别消费的习惯形成具有交互影响.假定习惯的形成是基于消费过程的一个线性系统.那么,该线性系统的泛函不动点相较于问题的可行消费策略而言具有最小性.据此,在家庭财富中减去这部分最低消费的现值以构造新的状态过程,然后使用动态规划原理以及HJB方程的对偶变换即可获得最优控制.结果显示,最优消费过程直接表示为习惯部分和非习惯部分之和,而且非习惯部分正比于这一新构造的状态过程;最优投资过程不仅同样正比于新的状态过程,还作为对冲策略使得该状态过程的终值几乎必然等于某一个相关于终端财富效用的随机变量.在各消费类别的幂效用函数简单加和,以及所有消费的常数弹性替代函数的幂效用这两种情形下,最优的投资﹣消费策略都是清晰明确的.在3.3节的基于跳﹣扩散模型的带有机制转换与内生习惯的投资﹣消费问题中,股票价格由一个带有模拟宏观经济系统性变换的Markov链的跳﹣扩散随机微分方程刻画,同时家庭的偏好和习惯形成也都受到宏观经济系统性变化的影响.为获得最优控制的解析式而有必要引入额外的资产进行市场完全化.为此引入的Poisson跳资产和Markov跳资产主要是为了对冲由习惯形成模型产生的最低消费水平的随机性,而其最优头寸则可以视为家庭对巨灾保险、指数连结保险、年金、反向抵押债券等衍生品的需求.问题仍是基于财富和最低消费现值之差构造的状态过程,通过动态规划原理给出相应的Markov机制转换调制的随机HJB方程来求解.借助影子价格,求解随机HJB方程转化为求解一组线性的正倒向随机微分方程,进而转化为一个抛物型的倒向随机偏微分方程的求解.利用后者解的条件期望形式,最优的投资﹣消费策略得以被清晰地表示出来.该节最后展示了在两状态机制转换模型和幂效用函数下,最优投资﹣消费策略的闭式表达式;另外还考虑了在连续股价和特定习惯形成模型下的非完全市场问题,以展示市场是否完全化在求解最优值函数方面产生的技术差异.在4.1节的带有机制依赖的内生习惯的投资﹣消费问题中,家庭的习惯形成完全依赖于当前的宏观经济状态.直观而言,家庭每时每刻都会根据当前的境况对所有历史消费信息回顾,重新计算得出一个习惯水平,同时以当前标准来预估未来的习惯形成.因此,宏观经济状态的系统性转换会导致最优解的时间非一致性,也即宏观经济状态一旦发生系统性改变,那么使得当前时刻效用最大化的投资﹣消费策略也会背离过去的最优规划.为克服时间非一致性,家庭可以坚持以最大化某一时刻或某一状态下的效用为准,在最优策略制订后便不再随着宏观经济状态变化而更改.这样的策略被称为预先承诺策略,而且在本论文中可以通过上一问题的主要步骤得出.另一克服时间非一致性的考虑是,将当前与未来的决策视为一个序贯博弈,博弈的均衡策略可以在整个决策时区上自发地得到执行,不会出现实际执行的投资﹣消费决策偏离预期规划的情形.特别的是,该节使用的是合作博弈,也即每一个参与人都将后续参与人的效用作为自己的终端效用,而不是像非合作博弈那样以自己的偏好去重新评估后续参与人的策略.这一做法的合理性在于,单个家庭的决策问题本不存在博弈的对手方,序贯博弈中的“后续参与人”仍是未来的家庭本身.通过合作博弈,寻找时间一致策略的问题可以被简洁地描述为一个具有时间一致性的效用最优化问题,并且相应最优控制的表达式也是清晰的.4.2节的非指数效用贴现下带有习惯形成的投资﹣消费﹣寿险问题在涉及家庭成员死亡风险的同时,还将消费﹣遗产﹣终端财富效用的跨期贴现因子进行了一般性设定.而且,参考多重消费习惯形成模型的建模动机,这里的遗产也带有内生的参考水平,还同消费习惯形成有着交互影响.由于遗产与死亡保险的保额直接相关,消费习惯与遗产参考水平的交互影响也可以视为对家庭在消费和死亡保险投保方面的需求关系的刻画.鉴于贴现因子的一般性和异质性,最大化效用的投资﹣消费﹣寿险策略呈现出时间非一致性.除了预先承诺策略以外,该节还寻找了具有时间一致性的开环Nash均衡控制对应的策略.基于针状变分方法,预先承诺策略和开环Nash均衡控制可以在同一套处理流程下分别得到各自的随机极大值原理;而通过调转它们对应的耦合随机微分方程的“方向”并连续嵌入到一族标准的线性正倒向随机微分方程中,它们的解得以被清晰地表示出来.针对幂效用函数和双曲贴现函数对应的具体闭式解,该节给出了数值模拟的结果,包括预先承诺策略和开环Nash均衡控制分别对应的消费﹣保费﹣投资﹣财富过程的比较,是否带有消费习惯和遗产参考水平对开环Nash均衡控制对应的上述过程的影响,以及开环Nash均衡控制对应的上述过程对于双曲贴现因子、消费习惯和遗产参考水平形成等参数的敏感性.5.1节的高阶矩准则下的时间一致投资决策问题简化了家庭财富的动态方程,专注于投资组合决策的优化.该节从均值﹣方差问题切入,回顾了最大化目标函数的预先承诺策略和从有限参与人的序贯博弈中得出了时间一致策略,进而自然地提出以财富终值的期望和高阶中心矩的线性组合为目标函数的控制问题.为获得时间一致策略,该节使用一列乘子连接财富终值的原点矩的Feynman-Kac表示式,并施加以逐时点的优化条件,从而建立备选的扩展HJB方程组,对可行的控制反馈函数进行初步筛选.闭环Nash均衡控制的充分性条件可由设置上述乘子的特定形式得出,并且求解相应的扩展HJB方程组可以避开均衡值函数的Bellman方程.另一方面,采用序贯博弈的方式推导时间一致策略也可以使用备选的扩展HJB方程组,将每一段时区上对投资策略的最优化转化为对乘子选择的优化.在时区剖分足够精细的情形下,序贯博弈得到的扩展HJB方程组和闭环Nash均衡控制对应的是趋于一致的.对该方程组求解的结果显示,当目标函数里中心矩的线性组合系数同当前财富水平无关并满足一定凹性条件时,问题存在一个与财富水平和奇数阶中心矩的系数无关的时间一致投资策略.作为上述时间非一致问题的抽象化,最后5.2节的高阶中心矩准则的随机控制问题建立在较为一般的理论模型基础上,其中的目标函数被设定为依赖于初始时刻和状态的、包含了状态变量终值的期望和数阶中心矩的函数.闭环Nash均衡控制的充分条件仍是以扩展HJB方程组为核心进行构建,而该方程组是通过指定连接状态终值原点矩Feynman-Kac表示式的乘子确立的.为验证该扩展HJB方程组与文献提出的、围绕均衡值函数的Bellman方程构建的扩展HJB方程组相一致,该节也推导了相应于控制反馈函数针状变分的目标函数值的展开式,由此获得了均衡值函数的Bellman方程并证明了所需的一致性.而对于开环Nash均衡控制,该节根据相应于控制过程针状变分的目标函数值的展开式建立正倒向随机微分方程,然后获得了充分性极大值原理.有趣的是,在目标函数不依赖于初始状态、关于状态终值的期望呈线性,并且状态方程整体呈线性、扩散项不含状态变量的情形下,若某一凹性条件得到满足,那么不仅闭环和开环Nash均衡控制分别存在,还都可以无关于状态变量和决策者对奇数阶中心矩的偏好.而且,这两个Nash均衡控制对应的控制过程是完全一致的.在最后,该节陈列了两个目标函数为期望和中心矩的线性组合,并且中心矩最高阶数趋于无穷的特例,验证了有限阶数结果的极限情形也给出了经绝对收敛级数规范后的目标函数对应的闭环和开环Nash均衡控制.在注重广泛合理运用随机控制理论技术解决上述问题的同时,本论文也从这些问题的解析解或数值结果中获得了家庭资产配置动态决策的一些直观启示.例如,家庭在负债触及设定上限时应立即停止对风险资产的投资,并通过将消费控制在即时收入水平以下,使用剩余收入偿还债务,而非通过投资获益来弥补.在面对不同类型的风险时,家庭可以通过在市场上搜索这些风险相关的衍生品,在对冲风险的同时还可增进效用福利.在制订时间一致策略时,家庭可以考虑以合作的视角看待当前与未来的决策,至少这样做的好处是能有效减少精神的或物质上的决策成本.如果家庭在当前的效用偏好中适当地加入对历史行为的考量,那么在时间一致策略得到执行的前提下,家庭财务状况是可能得到些许改善的.最后,高阶矩投资组合决策问题的结果稍稍有些反直觉——它们表明在相当广泛的一类高阶矩准则下,家庭对于投资组合的时间一致决策不应受到家庭财富水平和收入状况的左右,同时也不应被对奇数阶中心矩的偏好或是厌恶所影响.