【摘 要】
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本文主要讨论二阶脉冲常微分方程组拟周期解的存在性,其中nl∈N+.文中我们主要应用KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）方法证明了当脉冲项Ij（x,x）,Jj（x.x）,j=±1,±2,…充分小时,上述方程具有无穷多拟周期解.注意到本文考虑的是高维系统（相空间为R2m,m＞1）,因此并不能得到全体解的有界性这一结论（m=1情形下的Littlewood问题详见[9,10]）.全文主
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本文主要讨论二阶脉冲常微分方程组拟周期解的存在性,其中nl∈N+.文中我们主要应用KAM（Kolmogorov-Arnold-Moser）方法证明了当脉冲项Ij（x,x）,Jj（x.x）,j=±1,±2,…充分小时,上述方程具有无穷多拟周期解.注意到本文考虑的是高维系统（相空间为R2m,m＞1）,因此并不能得到全体解的有界性这一结论（m=1情形下的Littlewood问题详见[9,10]）.全文主要分五个部分.第一部分为引言,主要介绍本文研究问题的背景,意义及主要结论等.第二部分讨论一般脉冲方程解的性质,给出在一定条件下系统初值问题解的存在唯一性和全局存在性.第三部分主要应用KAM方法将系统对应的Poincare映射化为近可积的辛映射.具体地,首先将不含脉冲系统对应的哈密顿函数通过一系列辛变换使其非线性扰动项变得足够小.其次处理相应的脉冲项,并证明脉冲系统的Poincaré映射的扰动项部分仍足够小.第四部分应用高维KAM定理证明原系统存在无穷多的拟周期解.第五部分给出结语,总结本文主要的讨论方法和一些证明思路.本文主要有以下两个创新点:与[26]相比,我们考虑的是高维情形,这会给问题的讨论带来两个难点:1.在寻求生成函数构造辛变换的过程中,要克服解同调方程时出现的小分母问题（一维情形下不会有小分母问题）,具体见命题4.1,4.2;2.由于高维KAM定理要求映射是辛的,因此我们要保证最后得到的Poincare映射是辛的,这比平面情形下仅要求变换保相交性的条件更高.相较于文章[5],本文考虑的是在脉冲扰动下系统,该系统关于时间t是不连续的.这类问题具有实际背景,又缺乏研究工具,对于动力系统而言这是一个更大的研究领域.
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本文研究可序群的序空间拓扑以及群自同构群在序空间上诱导作用的动力学性质.A.Navas利用群的动力实现方法证明了非交换自由群Z*Z的序空间O（Z*Z）同胚于康托集.本文将给出这一经典结果的新的更简单的证明,我们的证明避免了A.Navas所用到的复分析方法,只用到了一般拓扑学中的基础知识.另外,我们对自由交换群Z × Z证明了GL（2,Z）在其序空间O（Z × Z）上的诱导作用是极小的.
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