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在现实生活中,我们可以建立各种各样的系统,而在自然界中处处存在的对称性是很多系统的一个重要特征。从数学的角度来看,李群作用很好的刻画了这种对称性。根据李群作用建立的动量映射可以把问题简化,这在天体力学中起到了非常重要的作用。在本篇文章中,我们所考虑的对称简单力学系统就是指:在一个力学系统中,它的Hamilton函数为动能加上势能的形式。本文分四部分对对称简单力学系统进行拓扑结构分析,并且考虑其在平面n体问题中的应用。
首先,我们来介绍一些基础知识。包括流形上一般向量场和它的流的定义和性质;动力系统的临界点和闭轨道的各种稳定性定义和判断方法,以及各种稳定性之间的关系。
其次,介绍对称Hamilton系统的正则辛约化理论。先介绍李群作用的有关概念和性质,然后引入动量映射的概念,利用动量映射进行正则辛点约化。对于约化以后的流形,引入相对平衡点的概念,并给出了它的一些性质。
进一步,运用以上理论,对对称简单力学系统进行拓扑结构分析。先介绍了有关向量丛的一些构造和性质,然后研究了简单力学系统的相对平衡点,最后在微分同胚意义下,把系统的不变流形和约化不变流形构造出来。
最后,把以上理论应用于平面n体问题。我们详细的研究了n=3时的情形,这在天体力学中是非常有用的。例如:当我们发射探测月球卫星时,便可以把地球、月亮和卫星看做三体问题,利用计算机进行模拟计算,确定其临界点。这样,在发射的过程中,就可以对卫星的轨道进行更好的控制。