【摘 要】
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周期Lotka-Volterra模型是最经典与最重要的捕食模型之一.本文应用拓扑度和Poincaré-Birkhoff扭转定理研究Lotka-Volterra模型的周期解和次调和解的存在性与多解性.包括如下三个问题:一、退化Lotka-Volterra模型的次调和解的存在性与多解性;二、具有共惠关系的Lotka-Volterra模型周期解和次调和解的存在性与多解性;三、带有有界脉冲的Lotka-V
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周期Lotka-Volterra模型是最经典与最重要的捕食模型之一.本文应用拓扑度和Poincaré-Birkhoff扭转定理研究Lotka-Volterra模型的周期解和次调和解的存在性与多解性.包括如下三个问题:一、退化Lotka-Volterra模型的次调和解的存在性与多解性;二、具有共惠关系的Lotka-Volterra模型周期解和次调和解的存在性与多解性;三、带有有界脉冲的Lotka-Volterra模型的次调和解的存在性与多解性.第一个问题在生态环境中有许多在某个时间阶段捕食因素停滞的情况,反映到数学模型就是在某个时间阶段系数函数为零的退化情况.研究这类退化Lotka-Volterra模型的次调和解的存在性（对应到平衡态）有特定的数学困难.应用Poincaré-Birkhoff扭转定理进行研究的困难主要来自于原点附近扭转的分析.当系数非退化时,通过非退化条件易得出扭转估计.而当系数退化时,我们能否还能得出扭转估计,这是该问题的出发点.在原点附近,方程是线性的.我们对原方程原点附近线性化进行分析,通过一个周期时间内旋转的估计得出退化Lotka-Volterra模型在原点附近至少逆时针旋转1圈所需的时间,籍此分别构造内外圈.我们利用Poincaré-Birkhoff扭转定理证明了退化Lotka-Volterra模型的次调和解的存在性与多解性.第二个问题对应Lotka-Volterra模型中的介于捕食被捕食型与互惠共利型两种之间的模型我们称之为具有共惠关系的捕食模型,它们反映了某个时间阶段捕食关系的转变,比如季节性的变化.这类问题对应到数学模型的系数函数变号,这给数学研究带来很大困难.具有共惠关系的Lotka-Volterra模型目前还未有比较系统的数学研究.我们在论文中考虑具有共惠关系的Lotka-Volterra模型周期解和次调和解的存在性与多解性.该问题包括两个子问题.一是用拓扑度研究具有共惠关系的Lotka-Volterra模型周期解的存在性,该问题的主要难点在于周期解的先验界的证明比较复杂.我们先对原系统进行合理的同伦变换,我们再通过细致的相平面分析来获得新系统周期解的先验界,从而应用Mawhin的拓扑度延拓定理证明了原系统周期解的存在性.二是应用Poincaré-Birkhoff扭转定理研究具有共惠关系的Lotka-Volterra模型次调和解的存在性与多解性,这部分的困难来自两个方面.一方面,原点附近,因为模型系数的变号,这导致估计原点附近至少旋转1圈所需时间特别困难,需要特别精细的相平面分析.另一方面,因为模型系数的变号,在无穷远处出发的解在第一象限可能会发生blow-up,这导致系统Poincaré映射可能没有意义,为此我们需要巧妙地改造系统来使得改造后系统解具有全局存在性,我们利用Poincaré-Birkhoff扭转定理证明了具有共惠关系的Lotka-Volterra模型次调和解的存在性与多解性.第三个问题考虑带有有界脉冲的Lotka-Volterra模型的次调和解的存在性.脉冲反映生态环境的某种突变因素.在脉冲的影响下,有脉冲与无脉冲的两个运动的轨迹会产生差别.在原点附近,对脉冲做一些线性限制,使得原点附近仍能扭转起来;在无穷远处,通过对脉冲进行有界限制来限制脉冲对方程的影响.运用Poincare-Birkhoff扭转定理证明带有有界脉冲的Lotka-Volterra模型的次调和解的存在性与多解性.
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