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本文研究了p-群的三个公开问题及有限几乎单群的数量刻画，全文共五章. 第1章研究背景及主要结果 首先，介绍了本文用到的常用符号，概念及定义;然后，介绍了本文研究的背景;最后，列出了本文的主要研究结果. 第2章 p-群的三个公开问题 第1节，我们研究含有某些特殊有限中心化子子群的局部幂零p-群.这一问题与Blackburn在文献[2]提出的如下问题6相关: 分类非交换p-群G，使得G含有p阶元t满足CG(t)=×C，其中p＞2且C(≈)Cpm，m＞1. 我们在局部幂零p-群下，研究满足下列条件的群: 1.群G中存在某子群H使得CG(H)=H，其中|H|=p2或者|H|=p3且H为初等交换群; 2.群G中存在某元素x使得CG(x)=×C，其中|x|=p且C是pm阶的循环子群，这里m＞1. 当条件1成立时，我们证明了:如果G是局部幂零p-群，则当H是一个p2的子群时，G是秩为p-1的可除交换p-群被p-阶循环群的扩张;当H是阶为p3的初等交换群时，G是秩或者为p-1或者为2p-2的可除交换p-群被一个有限p-群的扩张. 当条件2成立时，我们证明了:如果G是局部幂零p-群，则G是秩为p-1的可除交换p-群被一个有限p-群的扩张. 第2节，我们研究Berkovich和Janko在文献[1]中提出的问题237: 研究有限p-群G，其任意两元生成的子群H满足|H|≤p2exp(H). 我们研究任意二元生成的子群含有较大的循环子群的有限p-群，得到了这类群的幂零类、导群的方次数和Gpi的一些性质. 第3节，我们考虑Berkovich和Janko在文献[2]提出的关于正规闭包的公开问题805: 研究p-群G使得对所有非正规交换子群A＜G的正规闭包AG是极小非交换子群的. 我们研究所有非正规子群的正规闭包是极小非交换子群的有限p-群，得到了该类群的完全分类. 第3章几乎单群的OD-刻画 群的OD-刻画问题于2005年兴起，由A.R.Moghaddamfar最早提出并研究，本章继续这方面的研究.证明了:特殊线性群L7(3)是可OD-刻画的，即有hOD(L7(3))=1，作为推论得到hOD(PGL7(3))=hOD(SL7(3))=1;一般线性群GL7(3)是可3-重OD-刻画的，即有hOD(GL7(3))=3，这里GL7(3)是素图连通的群. 第4章共轭类长刻画几乎单群 1987年Thompson提出如下猜想[40，问题12.38]: 设群G是有限群，Z(G)=1，N(G)={n|G有共轭类C使得|C|=n}.如果M是一个非交换单群使得N(G)=N(M)，则G≈M. 该猜想是对非交换单群提出来的，已经很多人作过研究.本章对M不是单群的情况加以讨论，证明了:M是单K3-群的自同构群时，Thompson猜想也是正确的. 第5章用群的阶及最高阶元刻画几乎单群 在1987年，施武杰教授提出如下的著名猜想: 设G和S是有限群，其中S是某有限非交换单群，则G≈S当且仅当|G|=|S|且πe(G)=πe(S). 近年来，随着该猜想被完全证明，有群论工作者用更少的元素阶和群阶来刻画单群，即选取πe(S)中某些特殊的元素的阶来刻画单群. 在本章中，我们用群的阶|S|及最高阶元m1(S)来刻画L2(q)型单K4-群和L3(p)型单K5-群.证明了:L2(q)型单K4-群和L3(p)型单K5-群由群的阶及最高阶元来唯一决定。另外，我们给出了实例说明:对L2(q)型单K4-群的自同构群一般不能用群的阶及最高阶元来刻画.