非线性差分方程及泛函微分方程在很多领域中有着广泛的应用，例如计算机科学、经济学、神经网络、生态学等。本论文对这两类方程进行了深入的研究，讨论了非线性差分方程边值问题与泛函微分方程的周期解及Hopf分支。主要工具是临界点理论及泛函微分方程的Hopf分支理论。通过一些实例，说明了我们所得结果的应用。全文共分为四章。　　 第一章为综述，简要回顾非线性差分方程及泛函微分方程的发展、现状及研究这些领域的一些问题所用的工具，并介绍了本文的主要工作。　　 第二章利用临界点理论中的山路引理、局部环绕定理及Clarke定理讨论了二阶差分方程边值问题和一类更普遍的高维二阶非线性差分方程边值问题多重解的存在性。本文所得结果推广了已有文献中相应的结论，而且通过实例说明了所得到的新判别准则，对于以前文献所不能处理的某些边值问题，仍然可以判断其多重解的存在性。　　 第三章利用非光滑的临界点理论研究了一类泛函微分包含问题的周期解。迄今有许多作者曾经利用光滑函数的临界点理论研究了相应问题的解存在性及多重解个数，而本节所研究的泛函微分包含问题在已有的文献中还没有被研究过。此外，利用临界点理论讨论了一类二阶混合泛函微分方程的周期解的存在性，得到了新的结果。　　 第四章讨论了两类时滞泛函微分方程的Hopf分支，研究了时滞对系统的动力学行为产生的影响。首先讨论了一类具有时滞及HollingⅣ反应的捕食者。被捕食者系统的Hopf分支，用规范型及中心流形理论得到了决定Hopf分支的方向及分支周期解稳定性的表达式。同时，利用对称的Hopf分支定理研究了一类有时滞的神经网络模型的Hopf分支。当相关的纯虚根是单根时，得到了决定分支的方向及分支周期解稳定性的表达式。当相关的纯虚根是多重根时，得到了存在2(n+1)个周期解的结果。所得结论改进了Krawcewicza，Vivip与Wu(1998)相应的研究结果。