【摘 要】
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趋化性是指细胞等微生物对环境中某些具有刺激性的化学物质产生的定向趋近或者远离运动的性质.例如,细胞粘液霉菌自身释放出某种化学物质,并且会向该物质浓度高的区域运动.对于这一生物现象,1970年Keller和Segel建立了著名的反应-对流-扩散趋化模型,该模型已成为生物学研究普遍使用的模型之一.近年来,实验现象显示,某些自然界中的相关现象并不完全适用经典的趋化模型来模拟,人们寻求对细胞群体与自身化学
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趋化性是指细胞等微生物对环境中某些具有刺激性的化学物质产生的定向趋近或者远离运动的性质.例如,细胞粘液霉菌自身释放出某种化学物质,并且会向该物质浓度高的区域运动.对于这一生物现象,1970年Keller和Segel建立了著名的反应-对流-扩散趋化模型,该模型已成为生物学研究普遍使用的模型之一.近年来,实验现象显示,某些自然界中的相关现象并不完全适用经典的趋化模型来模拟,人们寻求对细胞群体与自身化学信号相互作用的更准确的描述.研究结果表明,用分数阶算子代替拉普拉斯算子可以更好的模拟细胞的扩散.因此,具有分数阶扩散的相关问题成为了当下偏微分方程领域的前沿问题,引起了许多学者的关注.自然界中,细胞等微生物通常存在于流体中,这种细胞和流体的相互作用比较复杂,不仅包括趋化性,还包括流体动力学行为.为了描述这种耦合现象,Tuval等人提出了趋化-流体模型.近年来许多数学家与生物学家对这类模型进行了深入研究,得到了大量结果,例如,用来模拟和揭示肿瘤的形成与转移规律.对此类问题的研究属于应用数学前沿的领域,有重要的科学价值和应用前景.本文主要围绕趋化系数的信号依赖性、奇异性、吸引-排斥性及与流体间相互作用等多个因素展开,讨论分数阶趋化模型解的整体存在唯一性及其长时间渐近行为.具体分为以下几个内容.第一章介绍研究主题的背景知识、研究现状及最新研究结果.第二章,我们给出研究内容所涉及的基本概念及相关引理.第三章主要研究Rn（n≥ 2）上带有信号依赖敏感函数的分数阶趋化模型.该模型由两个分数阶抛物方程组成.通过选取一个合适的泛函空间作为基本的迭代空间,利用压缩映像原理及Sobolev嵌入定理,同时得到小初值条件下模型古典解的整体存在唯一性及其任意阶导数的衰减估计.第四章考虑三维空间上带有奇异敏感函数的分数阶趋化模型.首先,通过构造合适的近似解,引入Riesz变换,得到模型解的局部存在性.其次,结合先验估计、局部存在性及连续性理论建立小初值条件下模型解的整体存在唯一性.最后,引入负Sobolev空间H-s（R3）（0＜s＜3/2）,我们获得解的任意阶导数的长时间渐近行为.第五章主要研究高维全空间Rn（n≥ 2）上分数阶吸引-排斥趋化模型.我们考虑趋化敏感性系数分别为常数与函数的情形.对于常数情形,当排斥力占优时,我们建立模型古典解的整体适定性.对于函数情形,在吸引力与排斥力谁占优势未知假设下,通过不动点定理,同时得到了小初值条件下模型古典解的整体存在唯一性及其任意阶导数的衰减估计.第六章研究一个高维空间上的趋化-流体模型.该模型是由分数阶趋化方程耦合粘性不可压缩流体方程组成的.通过构建一个框架,同时处理解的存在唯一性及衰减估计,在小初值假设下得到模型温和解（mild解）的整体存在唯一性及其任意阶导数的衰减估计.在第七章中,我们对全文工作进行简要总结,并对今后的研究方向作了进一步展望.
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