【摘 要】
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正交多项式理论是分析数学的一个重要分支,它联系着数学和物理的许多重要方向,所以对正交多项式的研究尤为重要.通常情况下,运用多项式的递推式和Gram-Schimit正交化方法求解正交多项式数值解,当n较小时,这类方法是可行的,但其算法不稳定.在Riemann-Hilbert方法的应用中,权函数是随着n变化的,当n充分大时,其结果相对地独立于n,所以过于依赖于n的经典算法并不适用这种情形,而Riema
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正交多项式理论是分析数学的一个重要分支,它联系着数学和物理的许多重要方向,所以对正交多项式的研究尤为重要.通常情况下,运用多项式的递推式和Gram-Schimit正交化方法求解正交多项式数值解,当n较小时,这类方法是可行的,但其算法不稳定.在Riemann-Hilbert方法的应用中,权函数是随着n变化的,当n充分大时,其结果相对地独立于n,所以过于依赖于n的经典算法并不适用这种情形,而Riemann-Hilbert方法可以有效地解决这一问题.本文主要是基于Riemann-Hilbert方法研究实轴上第二类正交三角多项式的渐近性.首先对实轴上第二类正交三角多项式进行特征刻画,即根据第二类正交三角多项式,构造2 × 2阶解析矩阵值函数Y的Riemann-Hilbert问题,且证明该Riemann-Hilbert问题有唯一解;其次运用最速下降方法对Y的Riemann-Hilbert问题进行分析,即将Y的Riemann-Hilbert问题由一列线性变换依次转化为F、S和R的Riemann-Hilbert问题,这也被称为Riemann-Hilbert方法,对于解析矩阵值函数Y的Riemann-Hilbert问题需要考虑的是其解矩阵的矩阵元素函数Y1,1是首一正交三角多项式,并且在利用最速下降方法分析Y的Riemann-Hilbert问题时,其中由第二变换得到的Riemann-Hilbert 问题的因子矩阵能分解成所需要的情形;最后分别讨论各区域内关于 Y 的Riemann-Hilbert问题的解矩阵的渐近性,进而得到实轴上第二类正交三角多项式的渐近式.
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