本论文由彼此相关而又独立的三章所组成.第一章为预备知识，简要介绍了本文所需要的数学工具.在§1.1节中，简要介绍了分数阶微积分的发展历史、基本概念及在与本文内容相关的几个领域内的研究进展.给出了Riemann—Liouville型分数阶微积分算子和Caputo型微积分算子的定义及主要性质.在§1.2节中，给出了两类特殊函数，即Mittag—Leffler函数与H—Fox函数的定义及其某些重要公式.在§1.3节中，介绍了分数阶微积分的Fourier变换，Laplace变换，以及有限Hankel变换.第一章是以后各章的基础. 第二章，在前人对分数阶薛定谔方程求出了透射系数和反射系数的表达式.讨论了粒子发生共振透射时的条件，进而讨论了整数阶和分数阶薛定谔方程的关系.其结论与参考文献[29]中结果一致.最后，给出了在动量表象中含有双δ势垒的空间分数阶薛定谔方程的解的表达式 第三章建立了有限分形介质中带有分数阶振子的分数阶反应扩散方程利用Laplace变换，有限Hankel变换及相应的逆变换给出了以广义Mittag—Leffler函数表示的上述问题浓度分布的解析解我们将二维、三维空间以及整数阶的有限分形介质中反应扩散的模型作为本文的特例给予了讨论.最后，分析讨论了不含吸附项的二维和三维欧式空间情形下有限分形介质中分数阶反应扩散方程，其结果与参考文献[35]中的结果是一致的.