众所周知，解析数论是数论中以分析方法作为主要研究工具的一个分支，而研究数论函数的性质也是解析数论的一个重要课题，许多著名的数论难题都与之密切相关。因而研究它们的性质具有很大意义。 为了数论的进一步发展，罗马尼亚著名数论专家F.Smarandache教授在1993年提出了一系列问题在他所著的《Only Problems，Not Solutions》一书中，总共有105个尚未解决的问题，其中大多数问题都与数论有关。 本论文基于对以上所述问题的兴趣，应用初等数论、解析数论等相关知识对一些特殊函数的性质进行了研究，并得出非常重要的结果.与此同时，还对Smarandache的第57个问题即Schur问题进行了研究.具体来说，本论文的主要成果和内容包括在以下几个方面： 1.伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m使得n｜m(m+1)2.即就是第二章主要利用初等方法去研究Z(n)的分布性质，并且得出关于Z(n)分布的两条重要的性质。 2.关于Schur问题的研究，即：对任意正整数n，设r为正整数且满足：集合{1，2，3，…，r)可被分拆为n类且每一类中均不含有元素x，y，z使得xy=z成立，Schur建议我们去寻找最大的r.第三章利用初等方法研究这个问题，并给出r更精确的下界。 3.设k是一个给定的整数，对任意正整数刀，著名的F.Smarandachek次补数函数αk(n)定义为最小的正整数m，使得乘积mn为某一整数u的完全k次方幂，即就是ak(n)=min{m：mn=uk，u∈N}。第四章主要利用初等及组合方法研究了包含Euler函数及Smarandachek次补数函数的方程，并给出三类特殊方程的所有正整数解。