最高阶导数项前带有小参数ε的微分方程问题称为边界层型奇异摄动问题,其特性是解在某区域内变化剧烈(此区域称为边界层或内层),在自然科学和工程技术中都有广泛应用。本文主要研究这类问题的数值解法。　　 谱方法的最大优势在于谱精度,但用在奇异摄动问题时,经典谱方法需要大量节点才能显现出指数阶收敛并得到高精度的数值解。为了能够用可接受的节点数目来计算较薄的边界层问题,许多学者提出了改进的谱方法,主要思想是通过引入适当的变换使配点在边界层处更加密集。本文采用带sinh变换的有理谱配点法(RSC-sinh)求解奇异摄动问题。　　 重心形式的有理谱配点法具有指数阶收敛精度,而且在引入适当变换后,原微分方程不必随之变化。引入sinh变换的作用是使得变换后的Chebyshev节点在边界层处比较密集,在其他区域比较稀疏。因此,带sinh变换的有理谱配点法特别适合求解边界层问题。　　 sinh变换中含有边界层位置和宽度的参数,如果直接把原微分方程中的小参数ε作为边界层宽度代入此变换中,会影响结果的精度。对此,本文提出了利用渐近展开的理论结果来确定sinh变换中的参数的思想。　　 本文用带sinh变换的有理谱配点法求解了多种奇异摄动问题,包括两点边值问题、一阶参数化问题、三阶问题和强、弱耦合的方程组等。对每类问题,分别进行了渐近展开分析,并给出数值算法。数值实验表明,RSC-sinh方法具有诸多优点,比如,边界层区域内配点合适,误差收敛速度快,算法简便易行,可处理多种类型的边界层问题(包括单、双边界层问题、内层问题以及强、弱耦合的方程组问题)等等。　　 对于奇异摄动发展型问题,在时间离散方面,本文研究了Laplace变换法和指数时程差分法。利用Talbot方法求数值Laplace逆变换,并结合增量线性化的技巧求解了Burgers问题；采用复平面上围线积分计算矩阵函数的方法克服了指数时程差分法中的ETDRK4格式的数值不稳定难题,在奇异摄动Burgers-Huxley问题上取得了较好的结果。