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众所周知,复数域上有限维单李代数分为An、Bn、Cn、Dn四类典型李代数和E6、E7、E8、F4、G2五个例外李代数。复半单李代数的结构与表示均已有完整的结果。在复半单李代数的结构理论中,Cartan子代数的共轭性定理起到至关重要的作用。作为复半单李代数的推广,由于其在数学其他分支以及理论物理等其他学科中的重要应用,仿射型Kac-Moody代数理论亦得到很好的发展。其中仿射型Kac-Moody代数的Cartan子代数的共轭性定理已于1983年由Perterson和Kac得到[1]。作为有限维单李代数和仿射Kac-Moody代数的推广,扩张仿射李代数(Extended Affine Lie Algebra)的表示理论亦引起很多代数学家的兴趣并得到很大发展。但扩张仿射李代数Cartan子代数的共轭性问题,至今悬而未决。尽管扩张仿射李代数可以通过量子环面Cq上的典型李代数得以实现,但量子环面Cq是非交换的,而且其中大部分元素都没有逆元,与复数域上的情形有着本质的区别,至今量子环面Cq上李代数Cartan子代数的共轭性问题也没有任何进展,即便是最简单sl(2,Cq)也没有人能够证明。
尽管如此,数学家们并没有放弃努力。2007年,加拿大数学家StephenBerman和日本数学家Jun Morita对唯一分解整环上的典型李代数的Cartan子代数的共轭性进行了证明[2]。虽然唯一分解整环中的元素未必有逆元,但它仍是一个交换代数。本文考虑四元数体H上的典型李代数。虽然四元数体H中的元素都存在逆元,但它却是不可交换的。类似于复数域的情形,我们定义sln(H)={A∈Hn×m｜tr(A)=0mod([H,H])}由于四元数体的非交换性,对李代数sln(H),我们引入MAD子代数的概念。对于复半单李代数,MAD子代数就是通常的Cartan子代数,MAD子代数是Cartan子代数的一个合理替代物。
本文的主要结论是:四元数体上A型典型李代数sln(H)的所有MAD子代数都是共轭的。